Chiss\u00e0 quante altre persone si erano gi\u00e0 accorte della cosa: ma Newcomb fu il primo a pensarci abbastanza su e a scrivere nel 1881 un articolo al riguardo, articolo che cadde rapidamente nel dimenticatoio. Ci vollero altri cinquant’anni e pi\u00f9 prima che qualcun altro si mettesse a rimuginare su quella che in fin dei conti era una curiosit\u00e0: il nuovo ricercatore fu per l’appunto il fisico Frank Benford. A differenza di Newcomb, Benford – che lavorava s\u00ec per la General Electric, ma nei suoi Research Laboratories, e quindi poteva presumibilmente permettersi di fare questo tipo di ricerche – inizi\u00f2 a raccogliere una grande mole di dati di tutti i tipi, in modo da capire se quello che gli era capitato era soltanto un caso oppure c’era sotto qualcosa di pi\u00f9 importante. Nel 1938, dopo aver radunato pi\u00f9 di 20000 valori di ogni tipo, present\u00f2 i dati sperimentali in un articolo dove formul\u00f2 anche una legge per stimare la distribuzione sulla prima cifra di un insieme di numeri “generati casualmente in un contesto reale”. Era nata la Legge di Benford.<\/p>\n
La formula della legge \u00e8 forse un po’ complicata, almeno per chi alle formule \u00e8 allergico: la probabilit\u00e0 B(c<\/i>) che la prima cifra di un valore scelto “a caso in un contesto reale” sia c<\/i> \u00e8 data da<\/p>\n \nB(c<\/i>) = log10<\/sub> (1 + 1\/c<\/i>)\n<\/p><\/blockquote>\n In effetti \u00e8 abbastanza facile vedere che se si prende una classifica con un numero sufficiente di dati ordinati, per esempio un gruppo di statistiche del Calendario Atlante DeAgostini, e la distribuzione delle prime cifre segue effettivamente una distribuzione, allora questa distribuzione deve essere la legge di Benford. Il trucco \u00e8 dato dall’invarianza di scala<\/b>. Supponiamo che tutte le statistiche misurino i dati in chilogrammi. Ma lo stesso tipo di distribuzione deve per ipotesi saltare fuori se prendiamo un altro insieme di statistiche: che succede se questo “nuovo” insieme \u00e8 quello di prima, solo che stavolta lo misuriamo in libbre, oppure in carati, o in una qualunque altra unit\u00e0 di misura? Se putacaso lavorassimo in mezzi chili, tutti i numeri che prima iniziavano con una cifra da 5 a 9 adesso inizieranno per 1; pertanto – ammesso e non concesso che una legge di distribuzione esista per davvero – la probabilit\u00e0 di iniziare con 1 \u00e8 pari alla somme delle probabilit\u00e0 di iniziare con 5, 6, 7, 8 oppure 9.<\/p>\n Ma insomma, la legge esiste o non esiste? La risposta chiara e definitiva \u00e8 “n\u00ec.” Il problema non \u00e8 tanto la necessit\u00e0 di avere un numero abbastanza grande di dati; quello \u00e8 naturale quando si parla di statistica. Prendiamo per\u00f2 per esempio l’altezza di tutti i diciottenni italiani; penso di andare sul sicuro dicendo che in ben pi\u00f9 del 95% dei casi la prima cifra sar\u00e0 1, e che non ci sono esempi di 3, 4 oppure 5. In pratica, se la distribuzione \u00e8 una gaussiana non vale la legge di Benford, mentre se si prende una distribuzione con valori molto diversi tra loro, oppure si prendono tante distribuzioni magari anche gaussiane ma indipendenti l’una dall’altra, le legge spunter\u00e0 fuori.<\/p>\n Se volete saperne di pi\u00f9, Wikipedia<\/a> e MathWorld<\/a> sono le solite fonti (ma ne ha scritto anche il sottoscritto<\/a>…). Pi\u00f9 divertente forse andare a vedere la successione dell’OEIS<\/a> (con le successive fino a A055442) che mostra quali sarebbero le cifre iniziali di una successione tipica che segua la legge di Benford. S\u00ec, non \u00e8 che la cosa abbia un gran senso, per\u00f2 mi pare che renda bene l’idea di quanti uno vi si trovino!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Sembra incredibile, ma se si prende a caso un numero nel mondo reale \u00e8 molto pi\u00f9 probabile che la sua prima cifra sia 1 anzich\u00e9 9. Non \u00e8 un complotto contro l’equiprobabilit\u00e0, ma il sintomo di un comportamento molto complesso.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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<\/a>Se preferite vederla in un altro modo, qui a fianco c’\u00e8 un grafico a torta dove si vedono le percentuali corrispondenti alle varie cifre iniziali; oppure, se la parola logaritmo non vi fa troppa paura, la probabilit\u00e0 di avere c<\/i> come cifra iniziale \u00e8 pari alla differenza tra il logaritmo di c<\/i>+1 e quello di c<\/i>. Questo fatto potrebbe forse darvi qualche idea del perch\u00e9 la legge di Benford funziona in pratica; le prime cifre dei numeri variano in modo strano, ma la prima cifra dopo la virgola dei logaritmi<\/i> dei numeri \u00e8 distribuita in maniera uniforme. <\/p>\n