{"id":182,"date":"2010-09-10T23:50:26","date_gmt":"2010-09-10T21:50:26","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=182"},"modified":"2022-10-10T17:45:21","modified_gmt":"2022-10-10T15:45:21","slug":"il-paradosso-delle-due-buste","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/09\/10\/il-paradosso-delle-due-buste\/","title":{"rendered":"Il paradosso delle due buste"},"content":{"rendered":"<p>Carlo e Alice sono stati invitati a partecipare a un esperimento scientifico. Su un tavolo sono state poste due buste, A e C; i due amici devono sceglierne una per ciascuno. I due vengono poi separati, in modo che non possano comunicare tra di loro, e li si invita ad aprire la busta, che contiene un assegno. A questo punto i ricercatori comunicano a ciascuno che gli assegni nelle due buste sono di valore uno il doppio dell&#8217;altro, senza specificare quale sia il maggiore; chiedono quindi loro se intendono cambiare o no la propria busta con l&#8217;altra. Supponiamo che Alice abbia scelto la busta A, che contiene un assegno di <em>a<\/em> euro; il suo ragionamento \u00e8 pi\u00f9 o meno il seguente. &#8220;Ho una probabilit\u00e0 del 50% di avere preso la busta con l&#8217;assegno maggiore, e quindi cambiando busta avrei solo <em>a<\/em>\/2 euro; ma ho la stessa probabilit\u00e0 di aver preso la busta con l&#8217;assegno minore, e quindi cambiando busta avrei ben 2<em>a<\/em> euro. La media \u00e8 (5\/4)<em>a<\/em> euro, quindi mi conviene cambiare&#8221;. Carlo per\u00f2, con la sua busta C che ha un assegno di <em>c<\/em> euro, pu\u00f2 fare esattamente lo stesso ragionamento; anche per lui il ricavo probabile cambiando busta \u00e8 (5\/4)<em>c<\/em> euro contro i <em>c<\/em> euro attuali, e quindi vorr\u00e0 farlo anche lui. Ma come \u00e8 possibile che per entrambi convenga cambiare busta?<\/p>\n<p><!--more-->Il modo pi\u00f9 semplice di disinnescare il paradosso \u00e8 quello di immaginare che gli assegni abbiano una coppia di valori scelti casualmente, ma comunque inferiori a una certa cifra; diciamo 100 euro per fissarci le idee. Questo significa che il valore dell&#8217;assegno minore sar\u00e0 compreso tra un centesimo e 50 euro, mentre l&#8217;altro varr\u00e0 tra due centesimi e 100 euro. (Il caso zero lo possiamo escludere, visto che tanto il doppio di zero \u00e8 sempre zero e quindi da un lato \u00e8 irrilevante cambiare o no busta, dall&#8217;altro i ricercatori passerebbero un brutto quarto d&#8217;ora se solo provassero a fare uno scherzetto del genere). Avrete gi\u00e0 capito che non \u00e8 pi\u00f9 vero che sia impossibile sapere quale busta \u00e8 stata scelta; se l&#8217;assegno \u00e8 di 42.85 euro \u00e8 quella minore, perch\u00e9 non possiamo avere mezzi centesimi, mentre se \u00e8 di 90 euro \u00e8 quella maggiore.<\/p>\n<p>Se ci si mette a fare i conti attentamente, cosa che vi risparmio &#8211; se proprio volete, <a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Paradosso_delle_due_buste\">Wikipedia<\/a> li ha tutti &#8211;  \u00e8 possibile dimostrare che la cosa vale anche usando numeri reali compresi tra i valori interi positivi <em>n<\/em> e <em>N<\/em>, con <em>N &gt; 2n<\/em>; pi\u00f9 precisamente, immaginando che la busta minore contenga tra <em>n<\/em> e <em>N\/2<\/em> euro, possiamo calcolare come con un valore compreso tra <em>n<\/em> e <em>2n<\/em> euro convenga cambiar busta, con un valore tra <em>N\/2<\/em> e <em>N<\/em> euro convenga tenersela, e con un valore intermedio la cosa sia indifferente. Si potrebbe pertanto pensare che facendo scendere <em>n<\/em> a zero e crescere <em>N<\/em> all&#8217;infinito abbiamo ottenuto la nostra risposta; per\u00f2 io personalmente eviterei di accettare pedissequamente una generalizzazione di questo tipo. Spesso infatti il passaggio all&#8217;infinito non rispetta affatto le regole valide per i numeri finiti!<\/p>\n<p>La mia risposta personale al paradosso \u00e8 che tanto non \u00e8 possibile dare una distribuzione di probabilit\u00e0 uniforme se si ha un numero infinito di valori tra cui scegliere. Anche nel caso apparentemente pi\u00f9 semplice di soli valori interi, e quindi un&#8217;infinit\u00e0 numerabile di possibilit\u00e0, la probabilit\u00e0 di pescare un ben definito valore \u00e8 zero, il che non ci porta troppo lontano. Voi che ne pensate?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Noi siamo generalmente convinti di conoscere perfettamente i numeri, e di cavarcela abbastanza bene la probabilit\u00e0 elementare; ma in effetti basta un semplicissimo esempio per confonderci le idee.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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