{"id":1673,"date":"2020-03-12T05:05:56","date_gmt":"2020-03-12T04:05:56","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1673"},"modified":"2020-03-07T22:49:59","modified_gmt":"2020-03-07T21:49:59","slug":"la-media-dellindeciso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2020\/03\/12\/la-media-dellindeciso\/","title":{"rendered":"La media dell’indeciso"},"content":{"rendered":"

Si fa presto a dire media. Quando diciamo “la media \u00e8 tot”, in genere pensiamo alla media aritmetica: si sommano tutti i valori, si divide per il numero di soggetti, e tutto \u00e8 a posto. Vantaggio: non \u00e8 poi cos\u00ec difficile fare i conti, ci si pu\u00f2 riuscire senza troppa fatica anche senza calcolatrice. Svantaggio: se siete in dieci, volete calcolare quanto guadagnate in media in un anno, e tra voi c’\u00e8 Bill Gates troverete un risultato che non ha nessun senso pratico. I matematici per\u00f2 – anche se non sembra… – sono gente pratica, e hanno inventato altri tipi di medie. Una che viene usata abbastanza spesso \u00e8 la media geometrica, che prende gli n valori, li moltiplica tra di loro, e poi tira fuori la radice ennesima. Si suppone che tutti i valori siano positivi, altrimenti si pu\u00f2 finire male! La media geometrica si chiama cos\u00ec perch\u00e9 nel caso di due elementi di partenza ha una visualizzazione geometrica molto semplice: si costruisce il rettangolo avente come lati le misure corrispondenti ai due elementi e poi si costruisce un quadrato di area uguale (lo sapete fare, vero?). Il lato di quel quadrato \u00e8 la media geometrica, che si pu\u00f2 facilmente dimostrare essere minore o uguale della media aritmetica, con l’uguaglianza solo se i due numeri di partenza sono uguali.<\/p>\n

Per\u00f2 a volte la media geometrica risulta troppo bassa, e si vorrebbe qualcosa pi\u00f9 o meno a met\u00e0. I matematici sono persone molto gentili, e hanno tirato fuori la media aritmo-geometrica<\/a>, dal nome un po’ intimorente ma nemmeno troppo complicata. Essa \u00e8 definita solo nel caso di due numeri, e viene calcolata con un procedimento iterativo. Cerchiamo per esempio la media aritmo-geometrica di 1 e 2. Per prima cosa calcoliamo la loro media aritmetica e quella geometrica, che sono rispettivamente 3\/2 e \u221a2. Calcoliamo ora la media aritmetica e geometrica di questi due nuovi valori; otterremo circa 1,457 e 1,456. Come vedete, stiamo avvicinandoci rapidamente a un valore ben specifico, che \u00e8 per l’appunto la media aritmo-geometrica che nel nostro caso \u00e8 1,45679…. Che la convergenza sia rapida lo si pu\u00f2 dimostrare con un po’ di matematica avanzata; voi fidatevi. <\/p>\n

L’unico guaio \u00e8 che per come \u00e8 costruita si pu\u00f2 calcolare solo la media aritmo-geometrica di due valori: se ce ne sono di pi\u00f9, dopo il primo passo ne rimangono comunque due. Certo, si pu\u00f2 comunque proseguire l’algoritmo, ma potremmo avere il dubbio di esserci persi qualcosa. Ma i matematici, oltre ad essere persone molto gentili, sono anche pieni di risorse. Ecco cos\u00ec che Evelyn J Lamb si \u00e8 inventata la media dell’indeciso<\/a> (“the ditherer’s mean”). Come funziona? semplice. Si calcolano la media aritmetica e quella geometrica dell’insieme dei numeri, e si sostituiscono il maggiore e il minore dei numeri di partenza con quelli calcolati. Da qui si riparte con la stessa operazione. A che serve? Per il momento a nulla, ammmette Lamb; per\u00f2 magari qualche indeciso potr\u00e0 darsi una mossa (e comunque, aggiungo io, l’operazione \u00e8 ben definita quindi male non fa). <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ah: se siete arrivati fino a qua, magari vi siete chiesti come si costruisce la media geometrica. Semplice: si affiancano i due segmenti di misura corrispondente ai numeri di partenza, si costruisce il (semi)cerchio con diametro il segmento somma, si alza la perpendicolare dal punto di contatto dei due segmenti. Il segmento da quel punto all’intersezione con il cerchio \u00e8 quello cercato. Per la dimostrazione che la media geometrica \u00e8 sempre minore di quella aritmetica (parlando di numeri positivi), almeno per due numeri, basta un po’ d’algebra. Abbiamo infatti che (a<\/i>−b<\/i>)² = a<\/i>²+b<\/i>²−2ab<\/i>; ≥ 0; se sommiamo 4ab<\/i> a entrambi i membri e prendiamo la radice quadrata, otteniamo (a<\/i>−b<\/i>) ≥ 2√(ab<\/i>) e dividendo per due entrambi i membri abbiamo il risultato cercato.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un modo interessante per calcolare una media sensata nel caso di valori molto distanti.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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