{"id":1591,"date":"2019-10-21T05:05:24","date_gmt":"2019-10-21T04:05:24","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1591"},"modified":"2019-10-20T11:22:48","modified_gmt":"2019-10-20T10:22:48","slug":"svaligiare-la-banca","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/10\/21\/svaligiare-la-banca\/","title":{"rendered":"Svaligiare la banca"},"content":{"rendered":"

Un paio di settimane fa Alex Bellos ha presentato nella sua rubrica sul Guardian questo problema matematico<\/a>. Abbiamo una “banca matematica”, come mostrato nella figura qui sotto: un quadrato due per due all’angolo di un infinito quadrante. Come vedete, la banca contiene al suo interno tre monete. Una moneta in una qualunque posizione pu\u00f2 essere tolta se la posizione a destra e quella sotto di essa sono entrambe libere: in tal caso esse verranno automaticamente riempite con due nuove monete. Le monete tratteggiate nella figura spiegano cosa succede: quella bianca viene tolta, quelle azzurre aggiunte. Si direbbe che con la creazione di danaro dal nulla si pu\u00f2 diventare ricchi, ma come sempre c’\u00e8 un codicillo: si possono prendere tutte le monete presenti nello schema solo se la banca non ne contiene pi\u00f9 nessuna. Come si pu\u00f2 riuscire nell’intento? Pensateci un po’ su.
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\nSe avete un minimo di dimestichezza con i problemini matematici – che non significa avere dimestichezza con la matematica… – immaginerete subito che la cosa non \u00e8 possibile. Se poi siete dei Veri Matematici probabilmente conoscete il gioco dei soldati di Conway: il mio amico zar l’ha sviscerato una decina di anni fa nel suo blog. (Qui<\/a>, qui<\/a> e qui<\/a> le tre puntate). In effetti io avevo avuto l’idea giusta, ma poi ho sbagliato i conti (…) e quindi ho dovuto verificare la soluzione. Per la cronaca, Bellos assegna l’origine del problema al matematico argentino Carlos Sarraute; ma la settimana dopo mi \u00e8 capitato di vedere lo stesso problema, solo formulato in modo diverso, nel libro di James Tanton How Round Is a Cube?<\/i><\/a>. Come sempre, le priorit\u00e0 in matematica sono un po’ incasinate.<\/p>\n

Prima di passare alla dimostrazione, una premessa. Se il fiuto matematico fa pensare che un problema sia insolubile, una delle prime idee che viene in mente \u00e8 provare a usare la parit\u00e0: se un risultato deve essere dispari e qualunque cosa si faccia rimanga pari, un po’ come gli schiaffoni a due a due finch\u00e9 diventano dispari, non ci si pu\u00f2 arrivare. Il guaio in questo caso \u00e8 che a ogni mossa il numero di monete aumenta, e quindi la parit\u00e0 non sembra una buona strada. Il Bravo Matematico allora prende la seconda freccia al proprio arco: gli invarianti<\/b>. In pratica cerca di trovare una funzione che non cambi mai valore nei vari passaggi: se il valore di partenza non \u00e8 quello cercato si \u00e8 a posto. (Esiste anche la versione light, il monovariante<\/i> che si muove sono in un senso, ma non complichiamoci la vita per il momento). L’idea meravigliosa a questo punto \u00e8 pensare che si pu\u00f2 dare a ciascuna delle nuove monete met\u00e0 del valore di quella originale, e vedere l’effetto che fa. Si pu\u00f2 allora assegnare un valore a tutte le caselle del quadrante, come nella figura qui sotto.<\/p>\n

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\u00c8 immediato vedere che ciascuna mossa non cambia il valore totale delle monete. Il secondo passo \u00e8 calcolare qual \u00e8 il valore totale del quadrante. La prima riga ha una somma infinita 1 + 1\/2 + 1\/4 + 1\/8 + 1\/16 + …; magari vi ricorda il paradosso di Achille e della tartaruga. Con un po’ di funambolismo algebrico di cui vi risparmio la formalizzazione, suppponiamo che la somma valga S<\/i>; allora raddoppiando tutti i termini abbiamo 2 + 1 + 1\/2 + 1\/4 + 1\/8 + 1\/16 + … che da un lato vale 2S<\/i> per costruzione e dall’altro 2 + S<\/i> per visualizzazione. Uguagliando le due espressioni otteniamo S<\/i>=2. La seconda riga \u00e8 la met\u00e0 della riga, quindi la somma dei suoi valori \u00e8 1; la terza \u00e8 la met\u00e0 della seconda, e quindi avr\u00e0 soma 1\/2; e cos\u00ec via. Tutti questi valori non vi sono un po’ familiari? Proprio cos\u00ec: sono quelli di 2S<\/i>. Quindi la somma di tutti i valori del quadrante \u00e8 4. Da qui la strada \u00e8 ormai spianata. Le quattro caselle della banca hanno somma 9\/4; pertanto le caselle fuori dalla banca hanno somma 7\/4. Ma le tre monete iniziali hanno somma 1 + 1\/2 + 1\/2 = 2; poich\u00e9 il valore totale \u00e8 un invariante, non si potr\u00e0 mai evitare di occupare almeno una casella della banca. Fine delle trasmissioni.<\/p>\n

La dimostrazione sfrutta le somme infinite: ma se uno proprio vuole \u00e8 possibile farne a meno, al costo di una serie di trucchi per nascondere l’infinito che non sono poi cos\u00ec diversi dalla non-dimostrazione che ho scritto qui sopra. Per il resto \u00e8 un po’ come l’uovo di Colombo: una volta che \u00e8 stata vista \u00e8 facile da comprendere, ma non viene certo in mente se non si \u00e8 Veri Matematici, o se non si \u00e8 studiato apposta come risolvere questi problemi (cosa che vi sconsiglierei vivamente, detto tra noi, a meno che non vogliate vincere le gare matematiche). Per\u00f2 la matematica ricreativa \u00e8 fatta cos\u00ec: spesso il divertimento \u00e8 anche solo nel vedere come i pezzi di un puzzle si combinano, anche se noi non riusciamo a combinarli. Probabilmente in una scuola superiore si pu\u00f2 presentare il problema e portare gli studenti alla soluzione, e alla fine se la ricorderanno pi\u00f9 di tante formule e formulette che sono da imparare a memoria. Non vi ho convinti? Peccato…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un problema matematico che sembra impossibile, ma si risolve facilmente se si conosce il trucco.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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