{"id":154,"date":"2012-02-03T17:15:42","date_gmt":"2012-02-03T16:15:42","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=154"},"modified":"2022-10-11T10:31:59","modified_gmt":"2022-10-11T08:31:59","slug":"cinque-bastano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/03\/cinque-bastano\/","title":{"rendered":"Cinque bastano"},"content":{"rendered":"

Il primo febbraio Terry Tao ha comunicato sul suo blog<\/a> di avere pubblicato su arXiv il preprint di un suo articolo, dove dimostra che ogni numero dispari maggiore di 1 \u00e8 esprimibile come la somma di al pi\u00f9 cinque numeri primi. Detto cos\u00ec non sembra una gran cosa: ma questo \u00e8 un nuovo piccolo passo verso la dimostrazione di uno dei teoremi di teoria dei numeri dall’enunciato semplicissimo ma dalla dimostrazione elusiva, un po’ come l’oramai risolto Ultimo Teorema di Fermat.<\/p>\n

Torniamo indietro di quasi tre secoli. \u00c8 il 7 giugno 1742: il matematico tedesco (prussiano, per la precisione) Christian Goldbach scrive una lettera<\/a> a Leonhard Euler in cui gli propone le due seguenti congetture:<\/p>\n

Se un numero intero pu\u00f2 essere scritto come la somma di due primi, allora pu\u00f2 essere scritto come la somma di quanti numeri primi si vuole, fino a una quantit\u00e0 pari al numero stesso<\/p><\/blockquote>\n

Un qualsiasi intero maggiore di 2 pu\u00f2 essere scritto come la somma di tre numeri primi<\/p><\/blockquote>\n

(questa seconda congettura per la precisione venne scritta come nota a margine)<\/p>\n

Eulero rispose il 30 giugno, dicendo che la prima congettura di Goldbach poteva essere riscritta nella forma <\/p>\n

Ogni intero pari maggiore di 2 \u00e8 esprimibile come somma di due numeri primi<\/p><\/blockquote>\n

chiosando in un misto di svizzero-tedesco e latino \u00abDass … ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich f\u00fcr ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe necht demonstriren kann.\u00bb<\/i>, cio\u00e8 \u00abche… ogni numero pari sia la somma di due primi, \u00e8 un’affermazione che per me \u00e8 un teorema assolutamente certo, anche se non riesco a dimostrarlo\u00bb. Beh, non ci \u00e8 ancora riuscito nessuno, e la terza affermazione oggi \u00e8 nota come Congettura di Goldbach<\/b> (“forte”, perch\u00e9 c’\u00e8 anche la congettura “debole” che afferma che ogni numero dispari<\/i> maggiore di 7 \u00e8 esprimibile come somma di tre numeri primi. La congettura forte implica la debole, ma non viceversa)<\/p>\n

Un paio di cosette per chi non \u00e8 cos\u00ec addentro nel gossip matematico. Innanzitutto Goldbach ed Eulero usano la convenzione che 1 \u00e8 un numero primo (perch\u00e9 “\u00e8 divisibile solo per s\u00e9 stesso e per 1”, ed essendo noi tutti matematici chissenefrega che i due casi siano la stessa cosa). Da allora sono cambiate molte cose persino in matematica, e ora 1 non \u00e8 pi\u00f9 considerato numero primo visto che la nuova definizione \u00e8 “ha esattamente due divisori”: il tutto perch\u00e9 una volta che Gauss ha dimostrato il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica<\/a> – quello che afferma che ogni numero \u00e8 fattorizzabile in un unico modo a meno di fattori 1 che si possono aggiungere a piacere – la comunit\u00e0 ha deciso che era pi\u00f9 semplice eliminare i fattori 1 a prescindere. La seconda noticina \u00e8 sulla definizione di Goldbach come matematico: lo era pi\u00f9 o meno quanto lo sono io, tanto che la sua fama attuale \u00e8 semplicemente il riflesso della sua corrispondenza con Eulero ma anche coi Bernoulli. Anche allora scegliersi gli amici giusti era utilissimo!<\/p>\n

L’enunciato della congettura \u00e8 insomma semplicissimo: lo pu\u00f2 capire un ragazzo delle medie. La sua dimostrazione no, tanto che non la si \u00e8 ancora trovata: il risultato di Terry Tao<\/a> (che poi non \u00e8 esattamente l’ultimo arrivato, anzi \u00e8 una Fields Medal il che significa una delle migliori menti del pianeta), anche se \u00e8 ancora pi\u00f9 debole della congettura debole di Goldbach. Beh, a dire il vero il risultato di Tao era gi\u00e0 stato dimostrato nel 1995 dal matematico polacco Leszek Kaniecki<\/a> (cos\u00ec poco noto che non ho neppure trovato una voce su di lui in Wikipedia), ma con l’assunzione ulteriore della validit\u00e0 dell’Ipotesi di Riemann: cosa che quasi tutti i matematici ritengono vera ma che non \u00e8 anch’essa stata ancora dimostrata. I teoremi dimostrati ammettendo l’Ipotesi di Riemann sono in matematica l’equivalente dei record di atletica leggera ottenuti con troppo vento a favore: li si registra, ma non li si considera pi\u00f9 di tanto.<\/p>\n

Mi piacerebbe darvi un’idea di base della dimostrazione di Tao, ma mi sono perso alla quinta riga del suo riassunto. Sono solo in grado di dirvi che la strada da lui scelta \u00e8 abbastanza classica nella teoria dei numeri, anche se incredibile per chi non \u00e8 avvezzo a queste cose. In pratica, per dimostrare un risultato sui numeri interi<\/b> si usa l’analisi complessa<\/b>, calcolando integrali di un circuito (che non sono gli integrali classici). La logica dietro il trucco \u00e8 semplice: se sappiamo che il risultato deve essere un intero, basta vedere che \u00e8 abbastanza vicino a un intero e che l’errore possibile \u00e8 piccolo per ricavare che deve essere quell’intero. La tecnica \u00e8 stata definita quasi cent’anni fa da Hardy, Littlewood e Ramanujan, e raffinata da Ivan Matveyevich Vinogradov<\/a> che nel 1937 dimostr\u00f2 che la congettura debole di Goldbach \u00e8 vera per tutti i numeri “sufficientemente grandi”. Purtroppo la definizione di “sufficientemente grande” \u00e8 molto<\/b> grande: la dimostrazione originale di Vinogradov non dava nemmeno un limite esplicito, ma un suo studente nel 1939 dimostr\u00f2 che 314348907<\/sup> (un numero di quasi sette milioni di cifre, altro che un googol che ha solo cento cifre!) era “sufficiente”. Al momento<\/a> il limite \u00e8 sceso a e<\/i>3100<\/sup>, circa 2·101346<\/sup>; per darvi un’idea la congettura \u00e8 stata dimostrata al computer per i numeri fino a circa 1018<\/sup>, quindi di distanza da fare ce n’\u00e8 ancora un bel po’. <\/p>\n

Si sa anche che la congettura forte di Goldbach \u00e8 “quasi sempre vera”, nel senso che dato un numero pari qualunque la probabilit\u00e0 che non sia esprimibile come somma di due primi \u00e8 zero; peccato che con gli insiemi infiniti “probabilit\u00e0 zero” non significa affatto impossibilit\u00e0 e anzi possa corrispondere a un numero infinito di controesempi. Pensate per esempio al fatto che preso un numero reale a caso la probabilit\u00e0 che sia intero \u00e8 0… ma di numeri interi ce ne sono eccome! <\/p>\n

Immagino che abbiate capito come almeno con le conoscenze attuali nessuno abbia la sia pur minima idea di come ricavare una dimostrazione della congettura: quando l’editore inglese di Zio Petros e la congettura di Goldbach<\/em> promise un milione di dollari a chi avesse dimostrato la congettura entro un anno dalla pubblicazione del libro, and\u00f2 abbastanza sul sicuro :-)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La congettura di Goldbach resiste da quasi tre secoli ai tentativi di dimostrazione. Ci \u00e8 voluta una Fields Medal per ottenere un nuovo risultato dopo ottant’anni.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[53,19],"class_list":["post-154","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-congetture","tag-teoria-dei-numeri"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-2u","jetpack-related-posts":[{"id":2608,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/05\/14\/no-ne-bastano-tre-pillole\/","url_meta":{"origin":154,"position":0},"title":"no, ne bastano tre [Pillole]","author":".mau.","date":"14\/05\/2013","format":false,"excerpt":"un altro passo verso la soluzione della congettura di Goldbach","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2584,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/03\/euclide-aritmetico\/","url_meta":{"origin":154,"position":1},"title":"Euclide aritmetico","author":".mau.","date":"03\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Gli Elementi non parlano solo di geometria, ma anche di aritmetica; 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