{"id":1503,"date":"2019-07-10T08:28:06","date_gmt":"2019-07-10T07:28:06","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1503"},"modified":"2019-07-10T08:28:06","modified_gmt":"2019-07-10T07:28:06","slug":"numeri-felici","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/07\/10\/numeri-felici\/","title":{"rendered":"Numeri felici"},"content":{"rendered":"

\"\" Avete mai sentito parlare dei numeri felici<\/a>? Io no, almeno fino alla settimana scorsa. La loro definizione \u00e8 molto semplice. Prendete un numero intero positivo (in base 10), e calcolate la somma dei quadrati delle sue cifre, ottenendo un nuovo numero. Rifate la stessa operazione (che chiamer\u00f2 per comodit\u00e0 f<\/i> con il nuovo numero, e continuate cos\u00ec a piacere, fino a che succeder\u00e0 una di queste tre possibilit\u00e0: i numeri ottenuti continueranno a crescere all’infinito; finite all’interno di un ciclo che evidentemente si ripeter\u00e0 all’infinito; giungete a un numero tale che la somma dei quadrati delle sue cifre sia il numero stesso. I numeri in quest’ultima categoria sono i numeri felici, mentre gli altri sono evidentemente tristi. Il bello di questi numeri \u00e8 che possono essere oggetto di una lezione di matematica non standard gi\u00e0 alle scuole medie, se il professore sa gestire bene la classe. Nel seguito del post vi racconter\u00f2 alcune di queste propriet\u00e0: per chi vuole la pappa fatta e se la cava con l’inglese, questo post di Evelyn Lamb<\/a> ha un link a un pdf con le varie domande che si possono fare.<\/p>\n

La prima cosa che si pu\u00f2 vedere \u00e8 che la prima categoria che ho ipotizzato (valori che crescono all’infinito) in realt\u00e0 non esiste. Prendiamo infatti un numero di n<\/i> cifre, con n<\/i> maggiore o uguale a 4: la somma dei quadrati delle sue cifre sar\u00e0 minore di 100n<\/i>, e quindi inferiore a quello di partenza. Questo significa tra l’altro che se siamo armati di una calcolatrice possiamo trovare tutti i cicli possibili e quali sono i valori “di arrivo” per i numeri felici. Ma prima di fare i conti conviene come al solito usare il cervello per vedere se ne possiamo fare di meno! Innanzitutto se applichiamo f<\/i> a due numeri con le stesse cifre in ordine diverso otterremo lo stesso risultato, quindi possiamo solo considerare i numeri le cui cifre siano in ordine non decrescente, ed evitare quelli che hanno degli zeri. \u00c8 poi chiaro che almeno un numero felice esiste! Se partiamo da 1 otteniamo infatti ancora 1. Ma questo significa che i numeri felici sono infiniti, perch\u00e9 tutte le potenze di 10 dopo il primo passo danno 1. Ci saranno dei cicli? Beh, vediamo cosa succede applicando pi\u00f9 volte f<\/i> a partire da 2. Otteniamo 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20. Il valore successivo \u00e8 4, e quindi abbiamo trovato un ciclo. Andando avanti, possiamo scoprire facilmente che tutti i numeri felici raggiungono 1. Cercando un numero tale che f<\/i>(n<\/i>)=n<\/i>, sappiamo che il numero ha al pi\u00f9 tre cifre; ma allora deve essere al massimo 9²+9²+9² = 243; ma allora deve essere al massimo 1²+9²+9² = 163. Da qua non conosco vie rapide, ma il numero di controlli da fare non \u00e8 molto alto, e quindi si trova facilmente che 1 \u00e8 l’unica soluzione. Sempre facendo un po’ di conti, si scopre anche qualcosa di meno aspettato: il ciclo che contiene 4 \u00e8 l’unico possibile. In definitiva, quindi, i numeri felici sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f<\/i> li fa giungere a 1, mentre i tristi sono quelli per cui l’applicazione ripetuta di f<\/i> li fa giungere a 4.<\/p>\n

I numeri felici hanno anche un’altra caratteristica, che fa capire come non si possa fare matematica solo e unicamente con il calcolatore. Contiamo i numeri felici dino a 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000; sono rispettivamente 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071. Un fisico :-) salterebbe subito alla conclusione che la probabilit\u00e0 che un numero a caso sia felice tende al 14,3% circa. E invece non \u00e8 cos\u00ec! La sempre benemerita OEIS ha una successione con qualche valore in pi\u00f9<\/a> di numeri felici da 1 a una potenza di 10, da cui si vede che la percentuale comincia a scendere. Quello che in realt\u00e0 capita \u00e8 che non c’\u00e8 una probabilit\u00e0 limite<\/b>! La percentuale (i matematici in questo caso la chiamano densit\u00e0 asintotica) continua a oscillare. Un comportamento di questo tipo non \u00e8 inusuale: prendiamo per esempio i numeri la cui prima cifra \u00e8 1. Se controlliamo la percentuale di tali numeri tra 1 e 999…..9, sar\u00e0 evidentemente 1\/9; ma se la calcoliamo tra 1 e 1999….9 sar\u00e0 pi\u00f9 o meno 5\/9, pertanto non potr\u00e0 mai esserci un limite. In quest’ultimo caso per\u00f2 il comportamento delle percentuali \u00e8 abbastanza facile da visualizzare: nel caso dei numeri felici le cose sono pi\u00f9 complicate, e al momento si sa solo che la percentuale scende infinitamente spesso sotto il 12% e sale infinitamente spesso oltre il 18%.<\/p>\n

Come vedete, anche un concetto a prima vista banale e alla portata anche di un ragazzo delle medie pu\u00f2 nascondere delle sorprese!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

una categoria di numeri con propriet\u00e0 facili da studiare… ma non troppo.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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