{"id":1391,"date":"2019-01-01T04:04:48","date_gmt":"2019-01-01T03:04:48","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1391"},"modified":"2018-12-25T22:04:00","modified_gmt":"2018-12-25T21:04:00","slug":"risposte-ai-quizzini-di-natale-2018","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/01\/01\/risposte-ai-quizzini-di-natale-2018\/","title":{"rendered":"Risposte ai quizzini di Natale 2018"},"content":{"rendered":"

I problemi<\/a> arrivavano dalla Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola<\/a><\/i> (anni 1995 e 1996)<\/p>\n

1. Non essere ottusi<\/b><\/big>
\nSe n<\/i> \u00e8 il pi\u00f9 piccolo intero dell’insieme e m<\/i> il pi\u00f9 grande, abbiamo che m<\/i> ≥ n<\/i>+99. Perch\u00e9 il triangolo isoscele di lati n<\/i>, n<\/i>, m<\/i> (il pi\u00f9 ottuso possibile) non sia ottusangolo occorre che m<\/i>² ≤ 2n<\/i>². Per avere i triangoli minori possibili, m<\/i> = n<\/i>+99, che unito all’altra disequazione d\u00e0 (n<\/i> + 99)² ≤ 2n<\/i>² da cui si ricava n<\/i> ≥ 99(1+√2), cio\u00e8 n<\/i> ≥ 240.
\nPertanto l’insieme I minimale sar\u00e0 composto dagli elementi {240, 241, 242, …., 339}. I triangoli possibili sono 100³ = 1000000; i lati totali saranno 3000000, 30000 per ciascuna delle lunghezze possibili; la somma totale dei perimetri sar\u00e0 pertanto 30000(240+241+242+…+339)=868.500.000.
\n<\/p>\n

2. Un primo di mezzo<\/b><\/big>
\nDall’equazione abbiamo p<\/i>|xy<\/i>. Poich\u00e9 l’equazione \u00e8 simmetrica in x<\/i> e y<\/i>, possiamo supporre p<\/i>|x<\/i> e quindi scrivere x<\/i>=ap<\/i>. L’equazione diventa cos\u00ec
\np<\/i>(ap<\/i>+y<\/i>)=pay<\/i> ⇒ y<\/i> = pa<\/i>\/(a<\/i>−1)<\/p>\n

Poich\u00e9 a<\/i> e a<\/i>−1 sono primi tra loro, bisogna che a<\/i>−1|p<\/i>, e quindi a<\/i>−1 = ±1 oppure a<\/i>−1 = ±p<\/i>. I quattro casi danno rispettivamente <\/p>\n

i) a<\/i>−1 = −1 ⇒ a<\/i> = 0 ⇒ x<\/i> = 0, y<\/i> = 0
\nii) a<\/i>−1 = 1 ⇒ a<\/i> = 2 ⇒ x<\/i> = 2p<\/i>, y<\/i> = 2p<\/i>
\niii) a<\/i>−1 = −p<\/i> ⇒ a<\/i> = p<\/i>+1 ⇒ x<\/i> = p<\/i>(p<\/i>+1), y<\/i> = p<\/i>+1
\niv) a<\/i>−1 = p<\/i> ⇒ a<\/i> = 1−p<\/i> ⇒ x<\/i> = p<\/i>(1−p<\/i>), = y<\/i> = p<\/i>−1
\nI casi iii) e iv) danno infine le soluzioni simmetriche x<\/i> = p<\/i>+1, y<\/i> = p<\/i>(p<\/i>+1) e x<\/i> = p<\/i>−1, y<\/i> = p<\/i>(1−p<\/i>)
\n<\/p>\n

3. Massimo comun divisore<\/b><\/big>
\nEspandendo la somma abbiamo (a<\/i>²+b<\/i>²+a<\/i>+b<\/i>)\/ab<\/i>. Essendo d<\/i> il mcd di a<\/i> e b<\/i>, per definizione ab<\/i> \u00e8 un multiplo di d<\/i>², come anche a<\/i>² e b<\/i>². Ma perch\u00e9 quell’espressione sia intera occorrer\u00e0 che a<\/i>+b<\/i> sia un multiplo di d<\/i>², quindi maggiore o uguale a d<\/i>², da cui segue immediatamente la tesi.
\n<\/p>\n

4. Baricentro<\/b><\/big>
\nSiano A’<\/i>, B’<\/i>, C’<\/i> i punti medi dei lati opposti rispettivamente agli angoli A<\/i>, B<\/i>, C<\/i>. Poich\u00e9 il baricentro divide le mediane in proporzione di 1 a 2, possiamo scrivere la condizione del problema come
\n2AC’<\/i> + 2C’G<\/i> = 2AB’<\/i> + 2B’G<\/i>
\nil che significa che i punti C’<\/i> e B’<\/i> si trovano su un’ellisse di fuochi A<\/i> e G<\/i>, come mostrato in figura.
\nConsideriamo ora il punto medio M<\/i> del segmento B’C’<\/i>. Esso si trova sull’asse maggiore dell’ellisse e non pu\u00f2 esserne il centro perch\u00e9 la sua distanza da A<\/i> \u00e8 il doppio di quella da G<\/i>; quindi B’C’<\/i> \u00e8 perpendicolare ad AA’<\/i>, quest’ultimo segmento \u00e8 pertanto sia altezza che mediana e dunque il triangolo \u00e8 isoscele in A<\/i>.
\n\"\"
\n<\/p>\n

5. Spioni<\/b><\/big>
\nIniziamo col definire “neutrali” due agenti A e B tali che A non spia B e B non spia A. Se chiamiamo gli agenti A1<\/sub>, A2<\/sub>, …, A16<\/sub> possiamo definire i seguenti numeri per ogni agente Ai<\/i><\/sub>:
\nai<\/i><\/sub> \u00e8 il numero di agenti che spiano Ai<\/i><\/sub>;
\nbi<\/i><\/sub> \u00e8 il numero di agenti che Ai<\/i><\/sub> spia;
\nci<\/i><\/sub> \u00e8 il numero di agenti neutrali rispetto ad Ai<\/i><\/sub>.<\/p>\n

\u00c8 immediato che per ogni i<\/i> abbiamo che ai<\/i><\/sub> + bi<\/i><\/sub> + ci<\/i><\/sub> = 15, perch\u00e9 abbiamo considerato tutti i possibili agenti. Un po’ meno immediato \u00e8 notare che ai<\/i><\/sub> + ci<\/i><\/sub> ≤ 8 e bi<\/i><\/sub> + ci<\/i><\/sub> ≤ 8, sempre per ogni i<\/i>. Se non fosse cos\u00ec, infatti, potremmo prendere i nove elementi e Ai<\/i><\/sub>, e sarebbe impossibile formare la catena. Combinando queste relazioni otteniamo che ci<\/i><\/sub> ≤ 1; pertanto ciascun agente ha al pi\u00f9 un collega neutrale. Inoltre, poich\u00e9 l’essere neutrali \u00e8 una propriet\u00e0 riflessiva (se A \u00e8 neutrale rispetto B allora B \u00e8 neutrale rispetto ad A), eventuali spie neutrali possono essere accoppiate sapendo che nessuna di esse pu\u00f2 avere altre spie neutrali.<\/p>\n

Immaginiamo ora che esista un gruppo di 11 spie per cui non si possa creare una catena. Poich\u00e9 11 \u00e8 dispari, ci deve essere necessariamente almeno un agente S che non \u00e8 neutrale rispetto a nessuno degli altri dieci. Togliamo momentaneamente S, e formiamo la catena con i rimanenti agenti C1<\/sub>, C2<\/sub>, C3<\/sub>, …, C10<\/sub> dove ciascuno spia l’agente col numero seguente e C10<\/sub> spia C1<\/sub>. Per le disuguaglianze iniziali sappiamo che S deve spiare almeno uno dei Ci<\/i><\/sub> ed essere spiato da almeno un altro Ci<\/i><\/sub>. Se facciamo il giro dei Ci<\/i><\/sub> arriveremo dunque a un punto in cui l’agente precedente spia S e quello seguente \u00e8 spiato da S; basta pertanto inserire S tra questi due agenti e ottenere la catena richiesta.
\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

I problemi arrivavano dalla Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (anni 1995 e 1996) 1. Non essere ottusi Se n \u00e8 il pi\u00f9 […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[129],"class_list":["post-1391","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-quizzini"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-mr","jetpack-related-posts":[{"id":1389,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2018\/12\/25\/quizzini-per-natale-2018\/","url_meta":{"origin":1391,"position":0},"title":"Quizzini per Natale 2018","author":".mau.","date":"25\/12\/2018","format":false,"excerpt":"Che Natale sarebbe senza i quizzini del Post? Le risposte tra una settimana. Gli ultimi due sono pi\u00f9 difficili, magari poi poster\u00f2 un aiutino ;-) 1. Non essere ottusi Considerate tutti gli insiemi I di cento numeri interi positivi distinti con la seguente propriet\u00e0: dati tre qualunque elementi a, b\u2026","rel":"","context":"In \"quizzini\"","block_context":{"text":"quizzini","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/quizzini\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2018\/12\/q361a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":542,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/04\/12\/risposte-ai-problemini-per-pasqua-2015\/","url_meta":{"origin":1391,"position":1},"title":"Risposte ai problemini per Pasqua 2015","author":".mau.","date":"12\/04\/2015","format":false,"excerpt":"per chi non ha ancora trovato le risposte...","rel":"","context":"In \"problemi\"","block_context":{"text":"problemi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/problemi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1534,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/08\/22\/risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2019\/","url_meta":{"origin":1391,"position":2},"title":"Risposte ai problemini per Ferragosto 2019","author":".mau.","date":"22\/08\/2019","format":false,"excerpt":"Come vedete, i problemi non erano poi cos\u00ec difficili...","rel":"","context":"In \"quizzini\"","block_context":{"text":"quizzini","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/quizzini\/"},"img":{"alt_text":"indicati gli angoli","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/08\/t401a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/08\/t401a.png?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/08\/t401a.png?resize=525%2C300 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/08\/t401a.png?resize=700%2C400 2x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/08\/t401a.png?resize=1050%2C600 3x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/08\/t401a.png?resize=1400%2C800 4x"},"classes":[]},{"id":2662,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/12\/31\/risposte-ai-problemini-per-natale-2015\/","url_meta":{"origin":1391,"position":3},"title":"Risposte ai problemini per Natale 2015","author":".mau.","date":"31\/12\/2015","format":false,"excerpt":"Ricordate i problemi di venerd\u00ec scorso? Eccovi le soluzioni! (avevate visto, vero, che passando col mouse tenendo schiacciato il pulsante appariva l'aiutino?) 1. Fibonacci Per un qualunque intero m, i valori della successione di Fibonacci modulo m prima o poi si devono ripetere: banalmente, ci sono solo m2 possibili coppie\u2026","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2580,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/03\/27\/ricondursi-al-caso-precedente\/","url_meta":{"origin":1391,"position":4},"title":"Ricondursi al caso precedente","author":".mau.","date":"27\/03\/2013","format":false,"excerpt":"Quella del titolo \u00e8 una frase tipica da matematico e fa spesso divertire chi matematico non \u00e8, per\u00f2 \u00e8 uno strumento molto potente quando lo si sa usare.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":607,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/08\/22\/soluzioni-ai-quizzini-di-ferragosto-2015\/","url_meta":{"origin":1391,"position":5},"title":"Soluzioni ai quizzini di Ferragosto 2015","author":".mau.","date":"22\/08\/2015","format":false,"excerpt":"Ecco le soluzioni ai quizzini della scorsa settimana! 1. Moltiplicate i puntini Se b fosse 5 oppure 6, la prima cifra del prodotto sarebbe 3. Se b fosse 1, 2 oppure 3, la prima cifra del prodotto sarebbe 0 oppure 1. Dunque b \u00e8 4, e a questo punto \u00e8\u2026","rel":"","context":"In \"quizzini\"","block_context":{"text":"quizzini","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/quizzini\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1391","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1391"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1391\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1420,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1391\/revisions\/1420"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1391"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1391"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1391"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}