{"id":1264,"date":"2012-07-10T17:27:06","date_gmt":"2012-07-10T16:27:06","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1264"},"modified":"2018-03-25T18:20:23","modified_gmt":"2018-03-25T17:20:23","slug":"numeri-in-base","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/07\/10\/numeri-in-base\/","title":{"rendered":"Numeri in base φ"},"content":{"rendered":"

Una base di numerazione frazionaria, come quella di cui ho scritto un paio di mesi fa<\/a>, non ha nessuna utilit\u00e0 pratica. Ma i matematici sanno fare di peggio, e ho trovato qualcuno che \u00e8 riuscito a concepire una base di numerazione addirittura irrazionale. Ma la storia dietro questa idea \u00e8 molto pi\u00f9 interessante della matematica che ci sta dietro, e soprattutto non ha formule per spaventare il lettore…<\/p>\n

L’articolo principe \u2013 presumo anche l’unico che sia mai stato scritto al riguardo \u2013 \u00e8 stato pubblicato sul numero di novembre-dicembre 1957 di Mathematics Magazine<\/em>, una rivista della Mathematical Association of America<\/a> dedicata principalmente agli studenti universitari del primo biennio. Prima che un’anima buona<\/a> mi recuperasse alfine l’articolo, avevo fatto una ricerca con il nome di George Bergman, ed ero finito sulla pagina<\/a> di un professore della Berkeley University che citava l’articolo. Strano, penso, probabilmente il professore \u00e8 il figlio di quello che 55 anni fa scrisse l’articolo, e si \u00e8 tenuto il link in ricordo del padre… E invece no, l’articolo era proprio suo!<\/p>\n

No, non stiamo parlando di Matusalemme: Bergman \u00e8 nato nel 1944. Se fate i conti, vi accorgete che ha pubblicato quell’articolo a 13 anni! (Ammetto di avere un po’ barato, visto che da tre anni Bergman non \u00e8 pi\u00f9 professore di ruolo ma solo emerito; comunque terr\u00e0 un corso di matematica anche quest’autunno e quindi direi che vale lo stesso). La storia dietro questo articolo \u00e8 divertente: quando venne pubblicato, fu allegato in calce il testo di una lettera del padre<\/del> della madre di Bergman che spiegava come da quando un paio d’anni prima aveva abbonato il figlio al Mathematics Magazine<\/em> questi aveva iniziato ad essere completamente assorbito dalla matematica, fino a che gli era venuta in mente quest’idea di una base matematica irrazionale. Come dice il buon Piotr Rezierovich Silverbrahms<\/a>, “i matematici bisognerebbe ammazzarli da piccoli”…<\/p>\n

Mettiamo per\u00f2 le cosa in chiaro. Non \u00e8 che Bergman abbia preso una base a caso; la sua scelta \u00e8 andata su un numero molto particolare, vale a dire il rapporto aureo (1,618033…), che molti di voi conosceranno bene con il nome di \u03c6. A dire il vero nel suo articolo lui ha usato \u03c4, che era il simbolo usuale per quel numero prima che Martin Gardner decidesse che il valore dovesse ricordare il nome di Leonardo da Pisa, meglio noto come Fi<\/strong>bonacci; ma non impantaniamoci sulle notazioni. La ragione della scelta (del numero, non del nome del numero!) \u00e8 che \u03c6 ha delle propriet\u00e0 peculiari, come il fatto che \u03c62<\/sup> = \u03c6+1 e 1\/\u03c6 = \u03c6\u22121, ma soprattutto che<\/p>\n

[1]<\/strong> \u03c6n<\/em><\/sup> = \u03c6n<\/em>\u22121<\/sup> + \u03c6n<\/em>\u22122<\/sup><\/p><\/blockquote>\n

Sono proprio queste propriet\u00e0 ad essere sfruttate nella rappresentazione \u03c6-ale, o se preferite finaria<\/strong>, dei numeri definita da Bergman.<\/p>\n

Iniziamo con le cose semplici. Nel sistema di numerazione in base \u03c6 si usano solo due cifre, 0 e 1. Si potrebbe pensare che il numero 2 abbia una rappresentazione con un numero illimitato di cifre dopo la virgola, visto che \u00e8 maggiore di 10\u03c6<\/sub> = \u03c6 e minore di 11\u03c6<\/sub>; ma non \u00e8 cos\u00ec. Infatti, succede che \u03c6-2<\/sup> = \u2212\u03c6+2, come si ricava facilmente dalla [1] mettendo n<\/em>=0; pertanto 2 = 10,01\u03c6<\/sub>, e la cosa ci fa sperare bene anche per gli altri numeri interi; non saranno interi anche in base \u03c6, ma perlomeno avranno una rappresentazione decente. Per proseguire, occorre per\u00f2 presentare la Regola Aurea :-)<\/tt> di questa base.<\/p>\n

[2]<\/strong> Se da qualche parte nella rappresentazione di un numero in base \u03c6 si trovano le tre cifre consecutive 100, il numero che si ottiene sostituendo a questo terzetto l’altro terzetto 011 ha lo stesso valore.<\/p><\/blockquote>\n

Ovvio, no? \u00c8 un banale corollario della regola [1]. Questo significa che potremmo scrivere 2 anche come 1,11\u03c6<\/sub> oppure 10,0011\u03c6<\/sub> o 1,101011\u03c6<\/sub> e cos\u00ec via all’infinito; Bergman sceglie come forma semplice<\/strong> quella in cui non ci sono due cifre 1 consecutive, espansione<\/strong> la sostituzione indicata in [2] e semplificazione<\/strong> quella opposta. Bergman mostra un algoritmo, che io vi risparmio, per sommare 1 a un numero e riportarlo in forma semplice; noto solo che il numero 0,1010101010…\u03c6<\/sub> \u00e8 uguale a 1. Per i curiosi, ecco i numeri da 0 a 15; da qua in poi evito di usare il pedice \u03c6 per non incrociarmi pi\u00f9 le dita mentre scrivo. Il contesto dovrebbe essere comunque chiaro.<\/p>\n

0 0
\n1 1
\n2 10,01
\n3 100,01
\n4 101,01
\n5 1000,1001
\n6 1010,0001
\n7 10000,0001
\n8 10001,0001
\n9 10010,0101
\n10 10100,0101
\n11 10101,0101
\n12 100000,101001
\n13 100010,001001
\n14 100100,001001
\n15 100101,001001<\/tt><\/p>\n

Bergman spiega poi come si possano fare le addizioni e le sottrazioni (una caterva di riporti e prestiti, ve lo dico subito… e vi ricordo anche che riporti e prestiti si fanno usando la Regola Aurea). La moltiplicazione non \u00e8 poi cos\u00ec difficile, visto che si riduce a una serie di somme; la divisione \u00e8 invece parecchio complicata, e spero non vi lamenterete troppo se non ve ne parlo. Mi limito a segnalarvi che la frazione 1\/2 in base \u03c6 \u00e8 data da 0,010010010…, o se preferite la notazione pi\u00f9 compatta per i decimali, pardon \u03c6-ali, periodici 0,(010). La frazione per 1\/10 ha un periodo di 60 cifre, e Bergman scrisse che gli ci volle una mezza dozzina di tentativi per riuscire a trovare la soluzione corretta…<\/p>\n

Occhei. Che io sappia una base di numerazione di questo tipo non serve a nulla, se non a dimostrare la bravura di un tredicenne a immaginare che potesse esserci qualcosa di fattibile in una base di numerazione simile. Poi Bergman stesso not\u00f2 che i numeri rappresentabili in forma finita nella base sono gli elementi del campo Q[\u221a5], e questo qualche cosa forse vorr\u00e0 anche dire; ma non ci voglio nemmeno pensare, come non voglio pensare al fatto che l’Online Encyclopedia of Integer Sequence ha due voci dedicate alla rappresentazione finaria di pi greco<\/a> ed e<\/a>. Considerando che non credo proprio a nessuno capiter\u00e0 mai di imbattersi in una successione di questo tipo, \u00e8 chiaro che i matematici non hanno proprio nulla da fare.<\/p>\n

P.S.: si possono trovare altre informazioni su numeri finari in questo sito<\/a>: inoltre \u00e8 interessante notare come la lista dei numeri la cui rappresentazione in forma semplice ha solo due cifre 1, e che trovate al solito nell’OEIS<\/a>, ha molte altre caratteristiche interessanti, e addirittura entr\u00f2 in lista per altre ragioni.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un matematico ama generalizzare anche quando la generalizzazione non serve a nulla. Ma la parte pi\u00f9 interessante \u00e8 vedere chi \u00e8 stato il matematico a inventarsi una base di numerazione irrazionale…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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