{"id":1257,"date":"2012-05-10T12:14:40","date_gmt":"2012-05-10T11:14:40","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1257"},"modified":"2018-03-25T18:20:50","modified_gmt":"2018-03-25T17:20:50","slug":"basi-di-numerazione-frazionarie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/05\/10\/basi-di-numerazione-frazionarie\/","title":{"rendered":"Basi di numerazione frazionarie"},"content":{"rendered":"

Abbiamo visto che sono state proposte, ed effettivamente usate, basi di numerazione non standard: la base 3 bilanciata<\/a> e la base -2<\/a>. Entrambe le basi avevano qualche vantaggio informatico, ma alla fine un confronto costi\/benefici ha fatto pendere la bilancia sull’architettura attuale. Ma per l’appunto stavo parlando di informatica, che per quanto teorica possa essere \u00e8 una scienza che ha pur sempre un fondamento pratico: i matematici non si curano di queste cose, e si sono inventati basi di numerazione di tutti i tipi. Stavolta parler\u00f2 delle basi frazionarie.<\/p>\n

Ricordate la differenza tra frazione propria, impropria e apparente? Credo la si impari alle elementari e la si dimentichi nelle scuole medie: una frazione m\/n<\/i> \u00e8 propria se m < n<\/i>, impropria se m > n<\/i> e apparente se m<\/i> \u00e8 un multiplo di n<\/i> e quindi la “frazione” \u00e8 in realt\u00e0 un numero intero. <\/p>\n

Bene. Un sistema di numerazione in base frazionaria non pu\u00f2 usare una frazione apparente, perch\u00e9 in realt\u00e0 si avrebbe un numero intero. Potrebbe usare una frazione propria, ma ci sarebbero delle difficolt\u00e0 pratiche, considerando che per ottenere numeri maggiori di 1 saremmo costretti a usare cifre a destra della virgola. Restano insomma solo i numeri in base frazionaria impropria. Questo articolo<\/a> di Billy Dorminy (all’epoca quindicenne…), oltre ad accennare ad altri tipi di basi di numerazione, specifica come A. J. Kempner nel 1936 tratt\u00f2 anche le basi frazionarie oltre ai numeri negabinari. <\/p>\n

Il maggior problema che si ha con le basi frazionarie \u00e8 riuscire a rappresentare un numero intero. Prendiamo la base pi\u00f9 semplice, la 3\/2, e cerchiamo di scrivere 2 come faremmo con una base intera. Abbiamo come cifre disponibili “0” e “1”. Il numero 2 \u00e8 maggiore di “10” , cio\u00e8 3\/2, e minore di “11”, cio\u00e8 5\/2; quindi \u00e8 un numero frazionario: ammetterete che non \u00e8 una bella cosa… Peggio ancora, non \u00e8 nemmeno detto che la rappresentazione di un numero sia unica. S\u00ec, questo capita anche con i numeri usuali: a scuola abbiamo studiato come 0,9999… \u00e8 un altro modo per scrivere 1<\/a>. Ma qua \u00e8 pi\u00f9 complicato, come si direbbe su Facebook: ho come il sospetto che ci siano infinite rappresentazioni di 1, prendendo opportuni sottoinsiemi delle potenze di 2\/3 (cio\u00e8 3\/2-1<\/sup>, cio\u00e8 le cifre alla destra della virgola). Magari prima o poi lo dimostro anche, se non ho nulla di meglio da fare…<\/p>\n

La soluzione pratica per avere numeri interi che assomiglino a numeri interi \u00e8 cambiare completamente metodo di definizione delle cifre. Naturalmente rimane la definizione di base di una base (pessimo gioco di parole); ogni cifra “tremezzale” \u00e8 da moltiplicare per la potenza necessaria di 3\/2. Per\u00f2 usiamo come cifre a disposizione tutte quelle fino a un’unit\u00e0 meno del numeratore della base, quindi nel nostro caso 0, 1 e 2. Pertanto 2 si scriver\u00e0 “2”; 3, invece, avr\u00e0 due cifre e sar\u00e0 “20” (3\/2×2=3, no?). Proseguendo, abbiamo 4=”21″, 5=”22″. E 6? Ci vogliono tre cifre, ovviamente, mentre il primo numero che ha bisogno di quattro cifre per essere rappresentato \u00e8 il 9. Si pu\u00f2 ingenuamente pensare che ogni aumento di tre unit\u00e0 serva una nuova cifra, ma non \u00e8 cos\u00ec: il pi\u00f9 piccolo numero di cinque cifre \u00e8 15 e il pi\u00f9 piccolo di sei cifre \u00e8 24.<\/p>\n

Per convertire un numero da base 10 a base 3\/2, o in generale a una qualunque base frazionaria, il sistema pi\u00f9 semplice consiste nell’andare da destra a sinistra, eliminando man mano i numeri superiori a 3. Prendiamo un numero a caso, 42, e vediamo come si fa. Prepariamo tante caselle, in questo modo:
\n      | | | | | | | 42 |<\/tt>
\nA ogni casella corrisponder\u00e0 una cifra. 42 \u00e8 maggiore di 3 che \u00e8 il numeratore della base, quindi togliamo da esso tutti i multipli di 3, lasciando uno zero, e li portiamo a sinistra, moltiplicandoli per 2 che \u00e8 il denominatore. Abbiamo cos\u00ec
\n     | | | | | | 28 | 0 |<\/tt>
\nContinuiamo cos\u00ec: 28=9×3+1 il che ci porta a
\n     | | | | | 18 | 1 | 0 |<\/tt>
\ncon i prossimi passi che sono
\n     | | | | 12 | 0 | 1 | 0 |<\/tt>
\n     | | | 8 | 0 | 0 | 1 | 0 |<\/tt>
\n     | | 4 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 |<\/tt>
\n     | 2 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 |<\/tt>
\nAbbiamo cos\u00ec che 42=”2120010″. Bah.<\/p>\n

Per come funziona l’algoritmo dovrebbe esservi chiaro che tranne nel caso di 1 tutti i numeri interi iniziano per 2. Ci sono altre propriet\u00e0 interessanti da considerare? Boh. Dorminy ha trovato una formula ricorsiva per il numero di cifre della rappresentazione in base a\/b<\/i> di un intero, e ha anche proposto un sistema di crittografia che consiste nel codificare per esempio in base 27\/2 il testo dove alle ventisei lettere dell’alfabeto \u00e8 sostituita la coppia di cifre 01, 02, … 26 e allo spazio la coppia 00. Diciamo che non userei questo sistema per codificare nulla di importante, ma sicuramente \u00e8 qualcosa di carino da provare. <\/p>\n

Potete comunque sempre divertirvi a trovare nuove propriet\u00e0 delle basi frazionarie e scriverci su un articolo… vi lascio volentieri la fama!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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