{"id":1219,"date":"2012-04-27T03:03:11","date_gmt":"2012-04-27T02:03:11","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1219"},"modified":"2024-12-13T19:20:06","modified_gmt":"2024-12-13T18:20:06","slug":"la-base-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/04\/27\/la-base-2\/","title":{"rendered":"La base -2"},"content":{"rendered":"

L’altra volta<\/a> abbiamo visto che all’inizio della cibernetica ci furono calcolatori che implementavano le operazioni interne non in base 2, ma in base 3. Ma c’\u00e8 stata anche una seconda base numerica non standard che venne proposta: la base −2<\/b>. <\/p>\n

Avete letto bene: una base negativa. No, non \u00e8 che per codificare i numeri si usi un numero negativo di cifre: si hanno sempre i buoni vecchi zero e uno. Quello che succede in pratica – almeno immagino: avevo solo trovato un riferimento all’esistenza di questa base senza ulteriori informazioni, e mi ero ricavato tutto il resto da solo – \u00e8 che il numero 10−2<\/i><\/sub> vale −2, come del resto detta la definizione polinomiale di base che abbiamo visto la volta scorsa. Quindi per avere 2 bisogna scrivere 110−2<\/i><\/sub>, che in effetti vale (−2)2<\/sup>+(−2)=4−2=2. Semplice come due e due quattro, no?<\/p>\n

In realt\u00e0 Wikipedia \u00e8 un po’ pi\u00f9 prodiga di informazioni: resto sempre stupito da cosa si possa trovare l\u00ec dentro. Qui<\/a> si pu\u00f2 leggere come nel 1885 Vittorio Gr\u00fcnwald fu il primo a definire basi negative, e a scrivere un articolo al riguardo sul Giornale di Battaglini<\/em>; nessuno si fil\u00f2 per\u00f2 l’articolo – tanto computer non ce n’erano – e queste basi vennero riscoperte prima da A. J. Kempner nel 1936 (sempre con lo stesso oblio) e poi da Zdzis\u0142aw Pawlak e A. Wakulicz nel 1959, due polacchi che riuscirono anche a costruire un calcolatore “negabinario”, il BINEG, tra il 1957 e il 1959.<\/p>\n

Perch\u00e9 fare queste contorsioni mentali? Perch\u00e9 allora non era ben chiaro come rappresentare un numero negativo. Si pensava infatti di dover usare un bit apposta per indicare se il numero era positivo o negativo; ma la memoria, anche un singolo bit, costava. Mica come oggi, che i gigabyte vengono praticamente regalati! In questo modo il bit suppletivo non serviva, e la rappresentazione di un numero \u00e8 immediata… occhei, diciamo che \u00e8 sufficientemente chiara. Nelle tabelle qui sotto possiamo vedere i numeri da 1 a 30 in base −2; evito di scrivere le tabelline, perch\u00e9 a parte 1+1=110 sono identiche a quelle per la base 2 (ma ricordatevi che 11+1=0!).<\/p>\n

     1,1     | 11,11111 | 21,10101
\n     2,110   | 12,11100 | 22,1101010
\n     3,111   | 13,11101 | 23,1101011
\n     4,100   | 14,10010 | 24,1101000
\n     5,101   | 15,10011 | 25,1101001
\n     6,11010 | 16,10000 | 26,1101110
\n     7,11011 | 17,10001 | 27,1101111
\n     8,11000 | 18,10110 | 28,1100100
\n     9,11001 | 19,10111 | 29,1100101
\n    10,11110 | 20,10100 | 30,1100010<\/tt><\/p>\n

Dalla semplice visione di questi valori si possono congetturare varie propriet\u00e0, che sono anche semplici da dimostrare: cos\u00ec semplici che non perdo nemmeno tempo a dimostrarle. Per esempio, tutti i numeri hanno un numero dispari di cifre; quelli con un numero pari di cifre sono negativi, se ve lo foste chiesti. Un’altra propriet\u00e0 interessante \u00e8 la successione delle cifre 0 e 1. Notiamo come tra le cifre meno significative, quelle cio\u00e8 pi\u00f9 a destra, si alternino 0 e 1; in quelle immediatamente a sinistra si alternano coppie di 0 e di 1; pi\u00f9 a sinistra ancora si hanno quartetti di 0 e di 1; e cos\u00ec via. <\/p>\n

I pi\u00f9 attenti di voi avranno osservato che la stessa cosa capita coi numeri binari usuali: naturalmente la differenza sta nel fatto che in base due l’ordine \u00e8 perfettamente simmetrico (almeno partendo da 0) mentre qua c’\u00e8 uno sfasamento. Pi\u00f9 precisamente, le due cifre meno significative sono le stesse in base 2 e in base −2. Andando a sinistra, e ammesso che io non abbia sbagliato i conti, vediamo che la terza cifra, quella del 4, \u00e8 la stessa due volte su quattro; la quarta cifra, il −8, coincide sei volte su otto; per il 16 il rapporto \u00e8 6\/16; per il 32 abbiamo 26\/32 e per il 64 26\/64, mentre suppongo che per la cifra del 128 il rapporto sia 86\/128… Sono certo che questi numeri non siano casuali, ma non so a quale serie corrispondano: non sono neppure riuscito a trovare la successione sull’OEIS, che per\u00f2 i numeri negabinari li conosce<\/a>, come li conosce anche MathWorld<\/a>.<\/p>\n

Tristemente, anche la base −2 non ha avuto un seguito pratico. A differenza della base 3 simmetrica, in questo caso non c’erano naturalmente problemi fisici nel codificare i livelli: ma un’altra codifica, il complemento a 1 che stiamo usando ancora oggi, permetteva di usare i numeri negativi senza necessit\u00e0 del bit aggiuntivo; e indubbiamente questo secondo metodo di codifica semplifica molto le operazioni. Insomma, essa resta solo come curiosit\u00e0 di una base aritmetica non-standard. Ma tremate: non \u00e8 finita qui!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’altra volta abbiamo visto che all’inizio della cibernetica ci furono calcolatori che implementavano le operazioni interne non in base 2, […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federate","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[189,185],"class_list":["post-1219","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-basi-di-numerazione","tag-informatica"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-jF","jetpack-related-posts":[{"id":2275,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/10\/ci-sono-infiniti-piu-infiniti\/","url_meta":{"origin":1219,"position":0},"title":"Ci sono infiniti “pi\u00f9 infiniti”!","author":".mau.","date":"10\/06\/2010","format":false,"excerpt":"Il metodo diagonale di Cantor mostra che ci sono diversi tipi di infiniti, e ne costruisce esplicitamente uno, se si ha una pazienza infinita. Ma non tutti sono d'accordo che la cosa sia lecita!","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"il metodo diagonale di Cantor","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2010\/06\/cantor-diagonale.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2644,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/10\/13\/parole-matematiche-numero\/","url_meta":{"origin":1219,"position":1},"title":"Parole matematiche: numero","author":".mau.","date":"13\/10\/2013","format":false,"excerpt":"Perch\u00e9 si danno i numeri? E qual \u00e8 la relazione tra numero e annoverare?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2584,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/03\/euclide-aritmetico\/","url_meta":{"origin":1219,"position":2},"title":"Euclide aritmetico","author":".mau.","date":"03\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Gli Elementi non parlano solo di geometria, ma anche di aritmetica; e anche qua brilla l'esposizione di Euclide.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2013\/04\/Euclids_algorithm_Book_VII_Proposition_2_3.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":449,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/20\/il-primo-teorema-di-incompletezza-di-godel\/","url_meta":{"origin":1219,"position":3},"title":"Il primo teorema di incompletezza di G\u00f6del","author":".mau.","date":"20\/12\/2011","format":false,"excerpt":"La dimostrazione del teorema di incompletezza di G\u00f6del non \u00e8 complicatissima, ma \u00e8 cos\u00ec autoreferenziale che a volte sembra di vedere Ritorno al futuro II. Ho provato a sminuzzarla e descriverla.","rel":"","context":"In \"logica\"","block_context":{"text":"logica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/logica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2598,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/26\/parilandia\/","url_meta":{"origin":1219,"position":4},"title":"Parilandia","author":".mau.","date":"26\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Noi diamo per scontata la fattorizzazione unica, ma non \u00e8 sempre cos\u00ec.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":444,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/10\/31\/aritmetica-di-robinson\/","url_meta":{"origin":1219,"position":5},"title":"Aritmetica di Robinson","author":".mau.","date":"31\/10\/2014","format":false,"excerpt":"I teoremi di G\u00f6del vi sembrano troppo complicati? Eccovi un modo molto semplice per trovare una proposizione indecidibile secondo certe regole aritmetiche.","rel":"","context":"In \"assiomi\"","block_context":{"text":"assiomi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/assiomi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1219","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1219"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1219\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2686,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1219\/revisions\/2686"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1219"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1219"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1219"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}