{"id":1215,"date":"2018-04-08T04:04:31","date_gmt":"2018-04-08T03:04:31","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1215"},"modified":"2018-03-24T22:27:58","modified_gmt":"2018-03-24T21:27:58","slug":"risposte-ai-problemini-per-pasqua-2018","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2018\/04\/08\/risposte-ai-problemini-per-pasqua-2018\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini per Pasqua 2018"},"content":{"rendered":"

Ecco le risposte ai problemini, che erano tratti dalla Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola<\/a><\/i> (anno 1993)<\/p>\n

1. L’invasione dei cloni<\/b><\/big>
\nSe in ogni gruppo di sei persone due hanno la stessa et\u00e0, per il principio dei cassetti ci possono essere al massimo cinque et\u00e0 differenti. A questo punto ci possono essere al pi\u00f9 50 triplette distinte (nazionalit\u00e0, et\u00e0, sesso); poich\u00e9 201=50×4+1, a una di queste triplette devono essere associate almeno cinque persone, sempre per il principio dei cassetti.
\n<\/p>\n

2. Spazio 1999<\/b><\/big>
\nScriviamo gli elementi della prima riga come a0<\/sub>, a1<\/sub>, a2<\/sub>, a3<\/sub>, …
\nLa seconda riga avr\u00e0 allora a0<\/sub>+a1<\/sub>, a1<\/sub>+a2<\/sub>, a2<\/sub>+a3<\/sub>, a3<\/sub>+a4<\/sub>, …
\nLa terza riga avr\u00e0 a0<\/sub>+2a1<\/sub>+a2<\/sub>, a1<\/sub>+2a2<\/sub>+a3<\/sub>, a2<\/sub>+2a3<\/sub>+a4<\/sub>, a3<\/sub>+2a4<\/sub>+a5<\/sub>, …
\nLa quarta riga avr\u00e0 a1<\/sub>+3a2<\/sub>+3a3<\/sub>+a4<\/sub>, a2<\/sub>+3a3<\/sub>+3a4<\/sub>+a5<\/sub>, a3<\/sub>+3a4<\/sub>+3a5<\/sub>+a6<\/sub>, …
\nSi pu\u00f2 dimostrare facilmente per induzione che il primo elemento della riga k<\/i>+1 sar\u00e0
\nB(k<\/i>,0)a0<\/sub> + B(k<\/i>,1)a1<\/sub> + … + B(k<\/i>,k<\/i>)ak<\/i><\/sub>, dove B(m<\/i>,n<\/i>) \u00e8 il coefficiente binomiale e vale m<\/i>!\/m<\/i>!m−n<\/i>!. L’unico elemento della riga 2000 del nostro triangolo varr\u00e0
\nB(1999,0)×0 + B(1999,1)×1 + B(1999,2)×2 + … + B(1999,1999)×1999. Ma poich\u00e9 1999 \u00e8 un numero primo, tutti i coefficienti binomiali devono essere suoi multipli e quindi anche la somma di tutti quegli addendi lo \u00e8.
\n <\/p>\n

3. Uno vale uno<\/b><\/big>
\nCominiciamo a considerare i numeri della forma 9, 99, 999, 9999, … che possiamo scrivere come 101<\/sup>−1, 102<\/sup>−1, 103<\/sup>−1, 104<\/sup>−1, … Questa successione contiene un termine della forma 10p<\/i><\/sup>−1. Ma per il piccolo teorema di Fermat 10p<\/i><\/sup>−1 ≡ 1 (mod p<\/i>) se p<\/i> non divide 10 (e quindi \u00e8 diverso da 2 e 5), quindi abbiamo un multiplo di p<\/i> della forma 999…999. Se questo numero N<\/i> ha k<\/i> cifre, anche (10k<\/i><\/sup>+1)N<\/i>, (102k<\/i><\/sup>+10k<\/i><\/sup>+1)N<\/i>, (103k<\/i><\/sup>+102k<\/i><\/sup>+10k<\/i><\/sup>+1)N<\/i>, … sono della stessa forma.
\nA questo punto, se p<\/i> \u00e8 diverso da 3 possiamo scrivere quei 999…999 come 9×111…111; se p<\/i> divide il prodotto deve anche dividere uno dei due fattori, ed essendo primo con 9 deve dividere il secondo fattore. Resta dunque il caso 3; ma 37·3 = 111, 37037·3 = 111111 e cos\u00ec via.
\n<\/p>\n

4. Distanze distinte<\/b><\/big>
\nIl quadrato ha due assi di simmetria, rispetto alle diagonali; ci sono pertanto solo tre posizioni essenzialmente distinte per B<\/i>, mostrate nel disegno qui sotto dove i punti con la croce sono vietati perch\u00e9 hanno la stessa distanza da A<\/i> e D<\/i>, e quelli in grigio sono vietati perch\u00e9 hanno la stessa distanza con uno tra A<\/i> e D<\/i> e B<\/i>. Rimangono quattro posizioni per il punto C<\/i> nel primo schema, tre nel secondo e due nel terzo; ma in realt\u00e0 queste ultime due posizioni sono simmetriche e quindi bisogna eliminarne una. In totale restano pertanto 8 posizioni essenzialmente distinte.
\n\"\"<\/a>
\n<\/p>\n

5. Tentare la sorte<\/b><\/big>
\nNotate innanzitutto che C<\/i> e D<\/i> sono indistinguibili e quindi possono essere collassati in un unico punto CD<\/i>, sommando le loro probabilit\u00e0 relative. Inoltre si pu\u00f2 vincere o perdere solo dopo un numero pari di mosse.
\nDopo una mossa, si \u00e8 certamente in A<\/i>.
\nDopo due mosse, si ha una probabilit\u00e0 1\/3 di perdere e 2\/3 di essere in CD<\/i>.
\nDopo tre mosse, si ha probabilit\u00e0 1\/3 di essere in A<\/i> e 1\/3 di essere in B<\/i> (il terzo che manca \u00e8 perch\u00e9 si \u00e8 gi\u00e0 perso :-) )
\nDopo quattro mosse, si ha probabilit\u00e0 1\/9 di perdere, 1\/9 di vincere e 4\/9 = 2²\/3² di essere in CD<\/i>.
\nA questo punto la probabilit\u00e0 di non avere ancora n\u00e9 vinto n\u00e9 perso \u00e8 i 2\/3 di quella del passo precedente, e ci si trova nello stesso punto. Dopo sei mosse, si ha pertanto probabilit\u00e0 (1\/9)(2\/3) di perdere, (1\/9)(2\/3) di vincere e 2³\/3³ di essere in CD<\/i>; dopo otto mosse le probabilit\u00e0 sono rispettivamente (1\/9)(2\/3)², (1\/9)(2\/3)² e 24<\/sup>\/34<\/sup>; e cos\u00ec via.
\nSe il gioco non finisce in due sole mosse, la probabilit\u00e0 di vincere e di perdere \u00e8 la stessa; visto che questo capita in due casi su 3, la probabilit\u00e0 di vincere \u00e8 1\/3. Quanto alla durata attesa, essa vale (1\/3)Σ<\/big>n≥1<\/i><\/sub>(2n<\/i>−1<\/sup>\/3n<\/i>−1<\/sup>)(2n<\/i>)) = Σ<\/big>n≥0<\/i><\/sub>(nn<\/i><\/sup>\/3n<\/i><\/sup>)(2n<\/i>)); questa \u00e8 una serie aritmo-geometrica la cui somma \u00e8 6.
\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

ecco le risposte ai problemi!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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