{"id":119,"date":"2014-02-13T16:14:13","date_gmt":"2014-02-13T15:14:13","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=119"},"modified":"2023-05-04T21:29:44","modified_gmt":"2023-05-04T19:29:44","slug":"non-accettate-somme-dagli-sconosciuti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/02\/13\/non-accettate-somme-dagli-sconosciuti\/","title":{"rendered":"Non accettate somme dagli sconosciuti"},"content":{"rendered":"

Un mesetto abbondante fa un losco figuro ha postato su un oscuro social network un link a un video<\/a> che dimostrava come la somma dei numeri interi (1 + 2 + 3 + 4 + …) era tranquillamente calcolabile e valeva -1\/12. (Non preoccupatevi, il video \u00e8 in inglese ma ci sono tutte le immagini con i conti, quindi si capisce tutto lo stesso… o non si capisce nulla lo stesso?)
\nQuella sera ero pi\u00f9 addormentato del solito, ma non trovavo nulla di cos\u00ec eccezionale nel ragionamento, soprattutto considerando che arrivava da un fisico; sapevo cosa c’era dietro e insomma non ci ho pensato pi\u00f9. Poi ho scoperto che la cosa \u00e8 andata avanti: qui in Italia ne hanno per esempio parlato Dioniso<\/a> e Juhan<\/a>, con un po’ di link ai blog anglofoni dove a quanto sembra c’\u00e8 stata una mezza sollevazione popolare. Provo allora a fare un po’ d’ordine anche se in ritardo estremo.<\/p>\n

Il “ragionamento” che Numberphile fa nel suo video non \u00e8 molto difficile da seguire. Si parte con la serie infinita “1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …”. Tale serie \u00e8 nota da almeno tre secoli, ed \u00e8 chiamata serie di Grandi<\/a>, dal nome del matematico cremonese Guido Grandi che la studi\u00f2… e dimostr\u00f2 che il suo valore \u00e8 1\/2. Come? direte. Se continuiamo a fare le somme parziali abbiamo met\u00e0 delle volte il valore 1 e l’altra met\u00e0 il valore 0. Come fa allora il valore a essere 1\/2? Semplice: si fa la media dei due valori! (No, non \u00e8 cos\u00ec semplice, nel senso che Grandi fa un ragionamento partendo dalla divisione 1\/(1+x<\/i>); se si fa la divisione esplicita e poi si sostituisce a x<\/i> il valore 1 abbiamo a sinistra 1\/2 e a destra la nostra serie). Ma se la serie di Grandi ha come somma 1\/2, \u00e8 facile usare un po’ di algebra per ricavare che la serie “1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …” (su Wikipedia si parla anche di lei<\/a>, anche se non le \u00e8 mai stato dato un nome) ha come somma 1\/4; altri facili conti e si arriva al risultato indicato all’inizio. Insomma, dove sta il trucco?<\/p>\n

Semplice: abbiamo barato a dare il nome di “somma” al valore dele serie. Intendiamoci: \u00e8 perfettamente lecito assegnare<\/i> il valore 1\/2 alla serie di Grandi. Quella \u00e8 la somma di Ces\u00e0ro<\/a>, dal cognome del matematico italiano (il nome \u00e8 Ernesto) della fine del XIX secolo che ha formalmente definito il metodo appunto per assegnare un valore ad alcune serie che valore non hanno. In matematica, come sapete, bisogna sempre stare attenti quando si gioca con l’infinito: le uniche serie che si possono sommare senza problemi sono quelle assolutamente convergenti<\/b>, per cui cio\u00e8 la serie associata dove si sostituiscono ai segni meno i segni pi\u00f9 ha somma finita. Questo non \u00e8 il caso della serie di Grandi, perch\u00e9 la serie associata \u00e8 1+1+1+1+… che ha somma infinita. Dunque, come si diceva prima, essa non ha somma; 1\/2 \u00e8 s\u00ec un valore sensato se devi pensare alla serie vista per conto suo, ma questo non significa che tu puoi usarlo per ricavare i valori di altre serie, come nel video originale. Per la cronaca, la seconda serie non ha neppure una somma di Ces\u00e0ro; \u00e8 s\u00ec possibile assegnarle il valore 1\/4 ma con una definizione ancora pi\u00f9 generale, che \u00e8 quella di somma di H\u00f6lder<\/b>. Non parliamo a questo punto della terza serie. Detto in altri termini: tutte le manipolazioni algebriche che si vedono nel video sono state proibite dai matematici, e quindi se uno si ostina a farle la garanzia di correttezza \u00e8 immediatamente invalidata. <\/p>\n

Fine della storia? macch\u00e9. Tanto per dire, questi stessi risultati furono ritrovati da Ramanujan all’inizio del XX secolo; \u00e8 vero che il grande matematico indiano difettava nel campo delle dimostrazioni, ma persino il grande Eulero scrisse che la serie dei numeri positivi aveva somma -1\/12, senza preoccuparsi troppo della loro implausibilit\u00e0. E in effetti c’\u00e8 un’altra via per arrivare a quel risultato: una via “complessa”. <\/p>\n

Partiamo dalla somma 1\/1x<\/i><\/sup> + 1\/2x<\/i><\/sup> + 1\/3x<\/i><\/sup> + 1\/4x<\/i><\/sup> + … Questa serie converge per x<\/i> maggiore di 1 (per x<\/i>=1 otteniamo la serie armonica che come sapete va all’infinito, e non parliamo di quello che capita con valori ancora minori). Per\u00f2 se invece che la x<\/i> usiamo la z<\/i> – nel senso che ci spostiamo nel campo dei numeri complessi – esiste una tecnica chiamata “prolungamento analitico” che permette di ottenere una funzione che coincide con quella iniziale dove essa \u00e8 definita, ma \u00e8 definita anche per molti altri valori. Nel nostro caso, per la precisione, \u00e8 definita per tutti i numeri complessi tranne che per z<\/i>=1. Occhei: questa funzione ha un nome che forse avete gi\u00e0 sentito da qualche parte, zeta di Riemann<\/b> (il primo matematico a studiarla \u00e8 stato Eulero, come potete intuire dal nome). Bene: il valore che la zeta di Riemann prende per z<\/i>=-1, cio\u00e8 ζ(-1), \u00e8 -1\/12. Ma se riprendiamo la definizione della zeta di Riemann come somma infinita e sostituiamo a x<\/i> (o z<\/i>) il valore -1, abbiamo proprio la somma dei numeri interi! tutto torna, o se preferite tutto si complica ancora una volta. Insomma, dove sta il trucco?<\/p>\n

Il trucco \u00e8 che, contrariamente a quello che ci fanno credere a scuola, la matematica non \u00e8 per nulla monolitica. Sul quadrante di un orologio non \u00e8 affatto vero che 10+5=15, perch\u00e9 il risultato \u00e8 3. Lo stesso qua: se ci interessa sommare numeri interi ci limitiamo ai numeri interi e non andiamo a impelagarci con i numeri complessi. Occorre sempre capire quando possiamo avventurarci fuori dal nostro orticello e quando no.<\/p>\n

Termino citando nientemeno che un post di Piergiorgio Odifreddi<\/a> sul tema, se volete saperne un po’ di pi\u00f9.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Con un mesetto di ritardo, mi dedico anch’io al debunking matematico<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[46,48,47,24,49,45],"class_list":["post-119","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-cesaro","tag-eulero","tag-grandi","tag-paradossi","tag-riemann","tag-serie-infinite"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-1V","jetpack-related-posts":[{"id":580,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/06\/19\/maturita-2015-luci-e-ombre\/","url_meta":{"origin":119,"position":0},"title":"Maturit\u00e0 2015, luci e ombre","author":".mau.","date":"19\/06\/2015","format":false,"excerpt":"Ottima l'idea di avere un esempio pratico, meno buona quella di un quesito \"facile\" troppo generico","rel":"","context":"In \"dematematizzazione\"","block_context":{"text":"dematematizzazione","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/dematematizzazione\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":634,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/22\/geometria-a-macchinetta\/","url_meta":{"origin":119,"position":1},"title":"Geometria a macchinetta","author":".mau.","date":"22\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Preparare esercizi per i libri di matematica non \u00e8 un lavoro divertente: ma questo non significa che non li si possa fare con un minimo di accortezza.","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"figureimpossibili","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/10\/figureimpossibili.jpg?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/10\/figureimpossibili.jpg?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/10\/figureimpossibili.jpg?resize=525%2C300 1.5x"},"classes":[]},{"id":381,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/08\/06\/divulgare-e-barare\/","url_meta":{"origin":119,"position":2},"title":"Divulgare \u00e8 barare?","author":".mau.","date":"06\/08\/2014","format":false,"excerpt":"Non \u00e8 facile trovare la giusta via tra semplificazione e correttezza","rel":"","context":"In \"divulgazione\"","block_context":{"text":"divulgazione","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/divulgazione\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":180,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/02\/23\/media-mediana-e-moda-per-un-settenne\/","url_meta":{"origin":119,"position":3},"title":"Media, mediana e moda per un settenne","author":".mau.","date":"23\/02\/2013","format":false,"excerpt":"Quando si parla di \"media\", non sempre si intende davvero la media. E quel che \u00e8 peggio, se lo si intende \u00e8 possibile che si stia completamente sbagliando strada. Provo a fare un po' di ordine.","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"[media, mediana, moda]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2013\/02\/media.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":654,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/11\/04\/moltiplicazione-e-commutativita\/","url_meta":{"origin":119,"position":4},"title":"Moltiplicazione e commutativit\u00e0","author":".mau.","date":"04\/11\/2015","format":false,"excerpt":"Parlare di commutativit\u00e0 della moltiplicazione \u00e8 un concetto pericoloso, oppure no?","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"moltiplicazione-ita","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2015\/11\/moltiplicazione-ita-300x93.jpg?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":505,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/01\/21\/il-dilemma-del-viaggiatore\/","url_meta":{"origin":119,"position":5},"title":"Il dilemma del viaggiatore","author":".mau.","date":"21\/01\/2015","format":false,"excerpt":"La teoria (dei giochi) \u00e8 tanto bella, ma la pratica spesso fa a pugni con la teoria. Dov'\u00e8 il trucco? Semplice: non siamo affatto giocatori razionali.","rel":"","context":"In \"conoscenza condivisa\"","block_context":{"text":"conoscenza condivisa","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/conoscenza-condivisa\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/119","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=119"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/119\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2672,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/119\/revisions\/2672"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=119"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=119"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=119"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}