{"id":1164,"date":"2017-12-31T04:04:07","date_gmt":"2017-12-31T03:04:07","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1164"},"modified":"2018-01-23T10:56:06","modified_gmt":"2018-01-23T09:56:06","slug":"risposte-ai-problemini-per-natale-2017","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2017\/12\/31\/risposte-ai-problemini-per-natale-2017\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini per Natale 2017"},"content":{"rendered":"

Ecco le risposte (spero corrette…) ai problemini<\/a> postati la scorsa settimana.<\/p>\n

1. Biglie e sacchetti<\/big><\/b>
\nCome sempre in questi casi \u00e8 utile distinguere le varie biglie per non perdersi. Diciamo dunque che le biglie gialle sono G1, G2, G3 e quelle blu B1, B2, B3. Ci sono 6×5\/2=15 modi di mettere due biglie in un sacchetto: quelli con due biglie dello stesso colore sono 6 (tre con due biglie gialle e tre con due biglie blu), quindi scegliere il sacchetto con due biglie fa vincere il 40% delle volte. Se Marco sceglie il sacchetto con quattro biglie, \u00e8 come se facesse un altro sacchetto con due biglie, dunque la probabilit\u00e0 resta 2\/5 ed \u00e8 irrilevante quale sacchetto Marco scelga.<\/p>\n

2. Tagliare una pizza<\/big><\/b>
\n Nel disegno sotto, possiamo immaginare che il primo diametro AB<\/i> sia fissato; possiamo fare variare il secondo, per ragioni di simmetria, con un angolo α che va da 0 a 90 gradi e che tocca la semicirconferenza in un punto X<\/i>. Il terzo diametro pu\u00f2 variare su tutta la semicirconferenza AIB<\/i> (OI<\/i> \u00e8 perpendicolare ad AB<\/i>), incrociandola in un punto Y<\/i> (non disegnato). Se Y<\/i> sta tra A<\/i> e X<\/i>, l’angolo XOB<\/i> \u00e8 ottuso e quindi c’\u00e8 una fetta pi\u00f9 grande di un quarto di pizza. Se sta tra X<\/i> e I<\/i>, l’angolo YOB<\/i> \u00e8 ottuso. Infine, considerato il punto X’<\/i> con OX’<\/i> perpendicolare a OX<\/i>, se Y<\/i> sta tra X’<\/i> e B<\/i> l’angolo XOY<\/i> \u00e8 ottuso. L’unico caso in cui non ci siano angoli ottusi \u00e8 quindi se Y<\/i> sta tra I<\/i> e X’<\/i>.
\n\"\"
\nPoich\u00e9 l’angolo IOX’<\/i> \u00e8 uguale a AOX<\/i>, possiamo considerare quest’ultimo. Al variare di α, la probabilit\u00e0 che Y<\/i> sta tra A<\/i> e X<\/i> cresce linearmente da 0 a 1\/2 (agli estremi c’\u00e8 discontinuit\u00e0, ma non ci d\u00e0 fastidio); quindi la probabilit\u00e0 media \u00e8 1\/4. Questo implica che la probabilit\u00e0 che ci siano due fette maggiori di un quarto della pizza \u00e8 il complementare, vale a dire 3\/4.<\/p>\n

3. Una strana funzione<\/big><\/b>
\n Qualunque sia il valore di F(1), continuando ad applicare (i) otteniamo che F(0) deve essere pi\u00f9 piccolo di un ε a piacere, e quindi valere 0; dunque per (ii) F(1) = 1, ancora per (i) F(1\/3) = 1\/2 e per (ii) F(2\/3) = 1\/2. Quindi la funzione rimane costante tra 1\/3 e 2\/3: tutto quello che serve \u00e8 perci\u00f2 usare le relazioni inverse di quelle indicate (moltiplicare per 3 e fare il complementare rispetto a 1) per giungere a un numero in quell’intervallo. Il passaggio \u00e8 F(1\/42)=(x<\/i>) → F(1\/14)=(2x<\/i>) → F(3\/14)=(4x<\/i>) → F(9\/14)=(8x<\/i>) = 1\/2, da cui F(1\/42) = 1\/16. Per la cronaca, il procedimento qui sopra non pu\u00f2 essere usato con numeri tipo 1\/13 che hanno una espressione in base 3 che non contiene 1 e quindi non avr\u00e0 mai un valore in quell’intervallo; in quel caso per\u00f2 si arriva a un loop. Infatti se F(1\/13)=x<\/i> allora F(3\/13)=2x<\/i>, F(9\/13)=4x<\/i>, F(4\/13)=1−4x<\/i>, F(12\/13) = 2−8x<\/i>, F(1\/13) = 1−(2−8x<\/i>) = 8x<\/i>−1. Quindi x<\/i> = 8x<\/i>−1 da cui x<\/i> = 1\/7.<\/p>\n

4. Somme e divisori<\/big><\/b>
\n Essendo 2013 dispari, dev’essere la somma di un numero pari e uno dispari. Il numero n<\/i> non pu\u00f2 essere dispari, perch\u00e9 non pu\u00f2 avere un divisore pari: pertanto n<\/i> \u00e8 pari, e il suo maggior divisore \u00e8 per definizione n<\/i>\/2. Dunque abbiamo 3n<\/i>\/2 = 2013 da cui si ricava l’unica soluzione possibile n<\/i> = 1342.<\/p>\n

5. Numeri paladini<\/big><\/b>
\nSe la fattorizzazione di un numero n<\/i> \u00e8 data da p<\/i>1<\/sub>a<\/i>1<\/sub><\/sup>·p<\/i>2<\/sub>a<\/i>2<\/sub><\/sup>·…·p<\/i>k<\/i><\/sub>a<\/i>k<\/i><\/sub><\/sup>, allora il numero di suoi fattori \u00e8 (a<\/i>1<\/sub>+1)(a<\/i>2<\/sub>+1)…(a<\/i>k<\/i><\/sub>+1). Possiamo ottenere 4 come (3+1) oppure (1+1)(1+1), ma nel primo caso (il cubo di un numero primo) il pi\u00f9 piccolo numero paladino di quattro cifre \u00e8 11³ = 1331; Dobbiamo pertanto cercare due numeri primi il cui prodotto sia inferiore a 1300; una tra le varie possibilit\u00e0 \u00e8 37·31=1073.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ecco le risposte (spero corrette…) ai problemini postati la scorsa settimana. 1. Biglie e sacchetti Come sempre in questi casi […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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