Un aneddoto divertente racconta di come un filosofo, per validare la tesi «tutti i corvi sono neri», andava raccogliendo esempi di oggetti variopinti che non erano corvi. Quando gli chiedevano spiegazioni, rispondeva dicendo «Affermare che tutti i corvi sono neri \u00e8 equivalente ad affermare che tutte le cose non-nere sono non-corvi; quindi una pietra bianca corrobora la mia tesi!». L’affermazione \u00e8 paradossalmente vera, anche se in pratica \u00e8 assolutamente inutile; ci sono talmente tanti oggetti non-neri e non-corvi che il rafforzamento della nostra ipotesi \u00e8 talmente impercettibile da essere praticamente nullo. La logica \u00e8 anche questo. Ma succedono cose ancora pi\u00f9 strane quando si prende in considerazione l’insieme vuoto: qui davvero il buon senso e il senso logico sembrano prendere due strade completamente diverse!<\/p>\n
Innanzitutto, cerchiamo di capire cos’\u00e8 esattamente l’insieme vuoto. In un certo senso \u00e8 l’equivalente del numero zero, ed \u00e8 accomunato ad esso dal non essere stato a lungo considerato qualcosa di reale. Come si fa a contare zero pecore? Per farlo non devi avere nemmeno iniziato a contare. E se un insieme \u00e8 una collezione di elementi, come si fa ad avere una collezione senza elementi? E poi, senza quali<\/i> elementi? Detto questo, mi affretto ad aggiungere che zero e insieme vuoto sono due cose ben distinte, e quest’ultimo ha ancora meno esistenza fisica del primo. In effetti \u00e8 forse pi\u00f9 semplice definire l’insieme vuoto – ah, ci sono ben due modi diversi per indicarlo; due graffe senza nulla in mezzo, {}, oppure il simbolo ∅. Un’esagerazione, vero? – per completamento. Se partiamo dall’assunto che l’intersezione di due insiemi \u00e8 ancora un insieme, e prendiamo due insiemi disgiunti, la loro intersezione… non c’\u00e8. Oppure possiamo dire che c’\u00e8, ed \u00e8 l’insieme vuoto, cio\u00e8 un insieme con zero elementi. <\/p>\n
Dall’insieme vuoto si pu\u00f2 andare avanti a costruire i numeri naturali, se si vuole; l’insieme { {} } non \u00e8 vuoto, perch\u00e9 ha un elemento, per l’appunto l’insieme vuoto; associamo questo nuovo insieme al numero 1, e andiamo avanti con l’insieme { {}, { {} } } – spero che non vi si siano incrociati gli occhi… –, che ha ben due elementi, e cos\u00ec via. Ex nihilo aliquid, insomma; quando Kronecker disse che Dio cre\u00f2 i numeri naturali mentre tutto il resto era opera dell’uomo ha fatto delle ipotesi non necessarie. <\/p>\n
Ma questo \u00e8 nulla. Tanto per dire, l’insieme vuoto \u00e8 un sottoinsieme di qualunque insieme, il che ci permette di enunciare la formula che afferma che ci sono 2n<\/i><\/sup> sottoinsiemi di un insieme di n<\/i> elementi. Nell’algebra booleana l’insieme vuoto rappresenta il concetto di “falso” contrapposto all’universo, cio\u00e8 a tutti i concetti possibili, che invece rappresenta il concetto di “vero”. Ma fin qui ci siamo limitati a poco pi\u00f9 che definizioni; ora arriva il bello.<\/p>\n Nella logica matematica vengono usati due quantificatori<\/i>, simboli che indicano quanti oggetti di un insieme hanno una certa propriet\u00e0: c’\u00e8 ∃ che assomiglia a una E rovesciata e significa “esiste” (cio\u00e8 c’\u00e8 almeno un elemento dell’insieme ha quella propriet\u00e0) e ∀ che assomiglia a una A rovesciata, in inglese all, e significa “per ogni” (tutti gli elementi dell’insieme hanno quella propriet\u00e0). Prendiamo l’insieme vuoto; possiamo immaginarci una qualunque propriet\u00e0, e siamo certi che tale propriet\u00e0 varr\u00e0 per ogni elemento dell’insieme vuoto! Per esempio, per ogni numero primo pari maggiore di due si ha che la somma delle cifre del numero stesso \u00e8 una potenza di due. La cosa vi appare impossibile? \u00c8 solo perch\u00e9 noi siamo abituati a pensare che ci sia almeno un elemento nel nostro insieme di partenza. Ma qui siamo nella stessa situazione del filosofo che voleva dimostrare che tutti i corvi sono neri: dire che «per ogni A vale P» \u00e8 la stessa cosa che dire «in tutti i casi in cui P \u00e8 falsa, anche A \u00e8 falsa». E in effetti penso concorderete tutti con me: se la somma delle cifre di un numero non \u00e8 una potenza di due, quel numero non \u00e8 un numero primo pari maggiore di due. <\/p>\n Magari state pensando che tutto questo sistema \u00e8 uno dei soliti sporchi trucchi dei matematici, e non ha alcun utilizzo pratico. Beh, vi sbagliereste. Sappiate che ci sono molte dimostrazioni, specialmente quelle che si fanno per induzione, in cui capita che in un caso si possa affermare che il teorema \u00e8 vero per l’ottima ragione che non esiste nessun elemento nell’insieme considerato. Se vi sentite ancora truffati mi spiace davvero: la matematica \u00e8 anche questo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Nella teoria degli insiemi ci sono delle propriet\u00e0 a prima vista paradossali, eppure perfettamente valide. Non bisogna mai fermarsi alle apparenze!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[9,44],"class_list":["post-116","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-filosofia","tag-logica"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-1S","jetpack-related-posts":[{"id":2606,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/05\/13\/siamo-tutti-pedagoghi\/","url_meta":{"origin":116,"position":0},"title":"Siamo tutti pedagoghi","author":".mau.","date":"13\/05\/2013","format":false,"excerpt":"Visto che anche quest'anno ci sono state le solite polemiche sulle prove Invalsi di matematica - 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