{"id":11,"date":"2013-11-22T13:15:43","date_gmt":"2013-11-22T12:15:43","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=11"},"modified":"2022-10-11T12:55:49","modified_gmt":"2022-10-11T10:55:49","slug":"costruttivismo-e-radice-quadrata-di-due","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/11\/22\/costruttivismo-e-radice-quadrata-di-due\/","title":{"rendered":"costruttivismo e radice quadrata di due"},"content":{"rendered":"

Non sono mai riuscito a capire se chi la matematica la odia ha o no problemi con le dimostrazioni per assurdo. Per chi non si ricorda di cosa parlo, una dimostrazione per assurdo di un teorema \u00e8 quella in cui si immagina che il teorema sia falso, ci si mette a trarre un po’ di deduzioni logiche e alla fine si scopre che ci stiamo contraddicendo. Ma se tutte le deduzioni sono formalmente corrette allora l’unico punto dove possiamo aver sbagliato \u00e8 l’assunzione iniziale: quindi il teorema non \u00e8 falso e pertanto \u00e8 vero. Voi che ne pensate, innanzitutto?<\/p>\n

No, non sto dicendo che voi odiate la matematica: c’\u00e8 infatti una piccola corrente di matematici, che si rif\u00e0 al matematico olandese del secolo scorso https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Luitzen_Brouwer<\/a>, che non \u00e8 per nulla convinta che se una cosa non \u00e8 falsa allora \u00e8 vera; in altre parole costoro non accettano la legge del terzo escluso, che credo arrivi sin da Aristotele. Il guaio, secondo loro, \u00e8 che la legge va benissimo finch\u00e9 abbiamo un numero finito<\/b> di scelte: se sappiamo che sotto una delle tre tazze rovesciate c’\u00e8 una moneta, e dimostriamo che due di esse non hanno niente, la moneta sar\u00e0 sotto la terza tazza. Ma se le tazze sono infinite mica possiamo verificarle tutte meno una! <\/p>\n

La corrente matematica in questione prende il nome di costruttivismo<\/b>, e richiede che tutte le dimostrazioni matematiche siano appunto costruttive (mostrino effettivamente quello che si vuole ottenere) e non per assurdo (mostrino che il contrario di quello che si vuole ottenere \u00e8 falso). Per ironia della sorte, il risultato matematico per cui Brouwer \u00e8 giustamente noto \u00e8 il suo teorema del punto fisso… la cui dimostrazione non \u00e8 costruttiva: ma non si pu\u00f2 avere tutto dalla vita. I costruttivisti cercano pertanto di trovare dimostrazioni costruttive dei teoremi: peccato che spesso la cosa non sia cos\u00ec semplice. <\/p>\n

Come esempio, prendiamo la dimostrazione dell’irrazionalit\u00e0 di √2. Gi\u00e0 gli antichi greci sapevano che la diagonale di un quadrato non era rapportabile in nessun modo con il lato corrispondente, e la cosa li aveva scoraggiati cos\u00ec tanto da decidere che l’aritmetica sarebbe semplicemente stata un corollario della geometria, dalle basi molto pi\u00f9 sicure (certo, certo). Qualche anno fa avevo mostrato<\/a> due dimostrazioni diverse: la prima (probabilmente ellenistica) che mostra che se √2 fosse un rapporto m\/n<\/i> allora n<\/i> dovrebbe essere contemporaneamente pari e dispari, e la seconda (trovata da Stanley Tennenbaum negli anni \u201950, ma che \u00e8 possibile fosse quella originale dei pitagorici) funziona per discesa infinita: partendo da una supposta uguaglianza √2 = m\/n<\/i> troviamo un’altra frazione m’\/n’<\/i> uguale a √2 ma con n'<n<\/i> (e ovviamente m'<m<\/i>). Visto che non possiamo trovare interi positivi sempre pi\u00f9 piccoli, la dimostrazione \u00e8 completa.<\/p>\n

Bene: entrambe le dimostrazioni, come abbiamo visto, non sono costruttive. E se ne volessimo una costruttiva? Beh, a quanto pare la cosa non \u00e8 cos\u00ec banale come sembra. Io ci ho provato a pensare un po’ su, ma alla fine sono ricaduto su santa Wikipedia<\/a> (in inglese, mi spiace) che mi ha illuminato: il punto fondamentale \u00e8 la definizione<\/i> di un numero irrazionale. \u00c8 ovvio che non possiamo cavarcela dicendo che un numero \u00e8 irrazionale se non \u00e8 razionale: di costruttivo non c’\u00e8 molto. Quale pu\u00f2 essere una definzione costruttivista di un numero irrazionale? Per esempio, che sia diverso da tutti<\/b> i numeri razionali; cio\u00e8 che se chiamiamo r<\/i> il numero tale che r<\/i>2<\/sup>=2, per ogni razionale a\/b<\/i> abbiamo che |r−(a\/b)<\/i>| sia strettamente maggiore di zero. Siamo quasi pronti: dobbiamo solo dimostrare il lemma che dice che r<\/i><3\/2 (e questo \u00e8 facile: si parte da 8<9, da cui 2<(9\/4) e si prende la radice quadrata di entrambi i membri). La dimostrazione \u00e8 qui sotto; se siete allergici saltatela pure e fidatevi dei conti.<\/p>\n

Supponiamo dunque di avere una qualunque frazione a\/b<\/i>, dove a<\/i> e b<\/i> sono entrambi maggiori di zero. Consideriamo ora i due numeri a<\/i>2<\/sup> e 2b<\/i>2<\/sup>, e vediamo il valore della maggiore potenza di due che li divide esattamente. Per il primo questo valore \u00e8 pari e per il secondo \u00e8 dispari: questo significa che i due numeri sono distinti, e quindi |2b<\/i>2<\/sup>−a<\/i>2<\/sup>|≥1. Da qui ci sono “semplici” passaggi algebrici:<\/p>\n

\"radice2\"<\/a><\/p>\n

L’unico passaggio a cui bisogna stare attenti \u00e8 l’ultimo, che presuppone che a\/b<\/i>≤3−r<\/i>; ma nel caso contrario, visto il nostro bel lemma, sappiamo che a\/b<\/i>>3\/2 e quindi sicuramente \u00e8 diverso da r<\/i>. Abbiamo insomma dimostrato che ogni razionale (positivo) \u00e8 diverso da √2: QED.<\/p>\n

Quello che mi ha oltremodo stupito \u00e8 che questa dimostrazione, almeno nella versione wikipediana, \u00e8 datata 2011. \u00c8 probabile che ci siano state dimostrazioni costruttive precedenti, ma in ogni caso \u00e8 chiaro che il concetto di dimostrazione costruttiva non \u00e8 poi cos\u00ec apprezzato. Pu\u00f2 poi essere un mio limite, ma devo riconoscere che non mi sarebbe mai venuta in mente una simile linea di attacco al problema. Non c’\u00e8 nulla di davvero complicato, un qualunque studente liceale pu\u00f2 verificare i passaggi; \u00e8 proprio la cornice che \u00e8 davvero strana. Ma secondo voi una dimostrazione di questo tipo ha una qualsivoglia utilit\u00e0 oppure no? EE la considerereste costruttiva? In fin dei conti non “costruiamo” nulla…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La maggior parte dei matematici non ha problemi ad accettare le dimostrazioni per assurdo. Ma c’\u00e8 chi non \u00e8 d’accordo; a costoro tocca per\u00f2 lavorare parecchio e inventarsi nuove idee.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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