Monday, 20 November 2017
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Alla fine del Post scriptum del problema 2 ho scritto che è sempre possibile usare 31 tessere 1×2 per ricoprire una scacchiera da cui sono state tolte due caselle qualsiasi purché di colore diverso. Vi siete chiesti come si possa dimostrare quest’affermazione? In casi come questo, visto che naturalmente non ha un grande senso provare tutte le possibili configurazioni di scacchiere così mutilate e cercare un ricoprimento adatto, i casi sono due: o si cerca una soluzione non costruttiva – ma la vedo male – oppure si trova un modo intelligente per una soluzione costruttiva generica. Quello che si fa è proprio questo: dopo il salto potrete vedere come applicare il metodo “trenino” al problema.

Cosa intendo per “trenino”? Semplice: un percorso che tocchi tutte e sessantaquattro le caselle, come quello mostrato nella figura qui a fianco tratteggiato in rosso. Il nostro trenino, da qualunque casella parta, ritornerà alla casella iniziale dopo aver toccato tutte e 64 le caselle, alternativamente una bianca e una nera. Cosa succede se ora eliminiamo una casella bianca e una nera qualsiasi? Che rompiamo il circuito del trenino e otteniamo due strisce (una delle quali degenere, cioè di lunghezza zero, nel caso le due caselle eliminate fossero adiacenti relativamente al circuito). Per definizione ciascuna delle strisce non degeneri inizia con una casella di un colore e finisce con una casella del colore opposto: sarà pertanto possibile coprirla con l’opportuna quantità di tessere 1×2. Semplice ed efficace, no?

Il passo successivo, se siete matematici in pectore, è stabilire quando è possibile usare 30 tessere 1×2 per ricoprire una scacchiera da cui sono state tolte quattro caselle, due bianche e due nere; ma di quello magari parlerò un’altra volta 🙂

Sezione: approfondimenti