Quizzino della domenica: quanti primi!

Sapete come Euclide dimostrò che c’erano infiniti numeri primi? Disse “beh, se ce ne fossero un numero finito li possiamo prendere tutti, moltiplicarli tra loro, e poi sommare 1. I casi sono due: o questo numerone è primo, oppure è scomponibile in fattori primi che però non possono essere quelli già noti. In ogni caso troviamo un nuovo numero primo”. Questa è probabilmente una delle più belle dimostrazioni matematiche.
Supponiamo però di non considerare tutti i numeri primi, ma solo quelli nella successione aritmetica 2, 5, 8, 11, 14…; insomma quelli della forma 3n−1. Un risultato piuttosto complicato di teoria dei numeri (il teorema di Dirichlet) ci assicura che anche questa successione contiene un numero infinito di primi: in questo caso particolare riuscite a scoprirlo in maniera molto più semplice?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p289.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da The Art of the Infinite)

Quizzino della domenica: stie

Due conigli vengono messi a caso in una delle quattro stie posizionate a forma di L che vedete nella figura qui sotto, con il vincolo che sia nella riga verticale (formata dalle stie 1, 2, 3) che quella orizzontale (stie 3, 4) ci sia almeno un coniglio. Ogni stia è sufficientemente grande per contenere due conigli. Qual è la probabilità che la stia d’angolo (la numero 3) contenga almeno un coniglio?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p288.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Alexander Bogomolny)

Quizzino della domenica: regali di Natale

Sono andato a comprare i regali di Natale per la famiglia. Ho pagato per ciascuno di essi un numero di euro che è un quadrato perfetto; scrivendo i vari prezzi ho notato che le cifre da 1 a 9 sono tutte presenti una e una sola volta. Sapendo che ho speso la quantità minore di euro dati questi vincoli, quanti regali ho fatto e quanto costavano in tutto?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p287.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Varsity Math, immagine di raseone da OpenClipArt)

Quizzino della domenica: numeri brillanti

Chiamiamo un numero “brillante” se è il prodotto di due numeri primi dello stesso numero di cifre. Quindi 35 = 5 × 7 è brillante, ma 37 (primo) no, come non lo è 77 (7 × 11). Qual è il più piccolo e il più grande numero brillante di tre cifre?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p286.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema ispirato da Gifted Mathematics)

Quizzino della domenica: le due età

Paolo e Roberto sono nati nello stesso giorno, ma a sei anni di distanza. Oggi festeggiano il loro compleanno: quando un invitato chiede quanti anni hanno, Roberto risponde: “L’età di Paolo è un numero primo, mentre la mia età è il prodotto di due numeri primi”, al che Paolo aggiunge: “L’ultima volta che ci è capitato è stato dodici anni fa”. Quanti anni ha Roberto?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p285.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Varsity Math; immagine di The Martin, da OpenClipArt)

Quizzino della domenica: triangolo isoscele

Immaginate un triangolo isoscele, come quello in figura qui sotto, i cui lati uguali sono fissati. Variando l’angolo tra questi lati, l’area del triangolo parte da zero (quando l’angolo è nullo), cresce al crescere dell’angolo, poi decresce fino a tornare a zero (quando l’angolo è piatto). Per quale valore dell’angolo l’area è massima?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p284.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Martin Gardner, da Wheels, Life and Other Mathematical Amusements)

Quizzino della domenica: fattoriali a gogo

Quanto fa

(10! + 9!)(8! + 7!)(6! + 5!)(4! + 3!)(2! + 1!)
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(10! - 9!)(8! - 7!)(6! - 5!)(4! - 3!)(2! - 1!)

approssimato all’intero più vicino? L’esclamativo è il simbolo del fattoriale, naturalmente.

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p283.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Mind Your Decisions)

Quizzino della domenica: ricorsione mancata

Fantastico! Un mio articolo sull’ipertraduzione nella tradizione iperuranica di Urania è stato pubblicato su una Prestigiosa Rivista Ismiziana! Come potete immaginare, io non spiccico una parola di ismiziano, ma mi fido incondizionatamente del professor Tnak che ha gentilmente tradotto il testo. Volendo ringraziarlo, ho aggiunto in fondo all’articolo una nota:

[1] Sono grato al professor Tnak per la traduzione in ismiziano del mio articolo.

Poi ho aggiunto un’altra nota:

[2] Sono grato al professor Tnak per la traduzione in ismiziano della nota qui sopra.

Essendo io molto educato, ho aggiunto una terza nota:

[3] Sono grato al professor Tnak per la traduzione in ismiziano della nota qui sopra.

A questo punto mi sono fermato, senza proseguire ricorsivamente all’infinito. Come mai?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p282.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Martin Gardner)