Quizzino della domenica: candeline

Tra un po’ sarà il mio compleanno. Come sempre, mi prepareranno una torta con n candeline – no, non vi dico quanti anni compio – e dovrò spegnerle tutte prima che si possa festeggiare. Il problema è che non sono mai stato bravo a soffiare. In pratica, se sulla torta sono ancora accese k candeline, dopo il mio soffio ne possono rimanere 0, 1, 2, …, k−1 con la stessa probabilità 1/k (vabbè, almeno una riesco sempre a spegnerla). Quanti soffi mi occorreranno in media per spegnere tutte le candeline?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p306.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Probability: A Lively Introduction di Henk Tijms via Mind Your Decisions; immagine di jimyeh, da OpenClipArt)

Quizzino della domenica: Quali numeri in S?

Sia S il più piccolo insieme di numeri interi positivi per cui valgano le seguenti proprietà:

P0: 2 ∈ S
P1: se n ∈ S, allora anche (n+5)² ∈ S
P2: se n² ∈ S, allora anche n ∈ S

Quali interi positivi si trovano in S?
(Nota: “il più piccolo” significa che S è contenuto in qualunque insieme per cui valgano le tre proprietà qui elencate)

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p305.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema A1 del Putnam 2017.)

Quizzino della domenica: lanciare fino a tre volte

Ho un dado (equo) in mano, e posso lanciarlo fino a tre volte consecutive: quando decido di smettere, vincerò tanti euro quanti sono mostrati dalla faccia in alto del dado. Detto in altri termini, se al primo lancio faccio 6 ovviamente mi fermo, e se faccio 1 ovviamente continuo; però al terzo lancio sono costretto a fermarmi, e se ottengo un uno mentre al lancio precedente avevo un bel quattro che però non mi ispirava posso solo mangiarmi le mani. Se gioco in modo ottimale, qual è il valore atteso della mia vincita?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p304.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Mind Your Decision; immagine di ytknick, da OpenClipArt.)

Quizzino della domenica: Paintball

Gino e Pino decidono di fare una partita a paintball e si accordano di sparare alternativamente finché uno di loro non viene colpito. Gino, che riesce a colpire Pino il 40% delle volte, sarà il primo a sparare. Se entrambi i giocatori hanno la stessa probabilità di vincere il duello, qual è la probabilità che Pino riesca a colpire Gino?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p303.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Varsity Math; immagine di dashell, da OpenClipArt.)

Quizzino della domenica: botti

Centocinquant’anni fa, quando c’erano ancora i dazi per portare i beni in città, due commercianti di vini arrivano a Parigi, uno con 64 botti piene di vino e l’altro con 20 botti. Tutte le botti hanno lo stesso valore. Non avendo denaro sufficiente per pagare il dazio, il primo lascia cinque botti più 40 franchi, mentre il secondo lascia due botti e riceve indietro 40 franchi. Qual è il prezzo di una botte e quello del dazio corrispondente?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p302.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Walter Rouse Ball, citato da Federico Peiretti, Il grande gioco dei numeri; immagine di kevie, da OpenClipArt.)

Quizzino della domenica: triangoli diversi

Dato un triangolo equilatero, non è troppo difficile dividerlo in tre triangoli uguali: basta ispirarsi al logo della Mercedes, come mostrato nella figura qui sotto. Siete però capaci di dividerlo in tre triangoli simili ma non congruenti?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p301.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Varsity Math)

Quizzino della domenica: auto usate

A un’asta di auto usate si sono presentate trenta possibili acquirenti. Dieci di loro hanno acquistato meno di 6 auto; otto ne hanno acquistate più di 7; cinque e hanno acquistate più di 8, e uno più di 9. Le auto messe all’asta erano 192. Quante sono state le persone che hanno acquistato 6, 7, 8 oppure 9 auto?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p300.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da cartalk.com; immagine da osfor.org, da openclipart.org)