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Pythagorea [Pillole]

Layos mi segnala una versione “semplificata” di Euclidea, di cui forse avete già sentito parlare. In Pythagorea (app per Android o Apple) bisogna fare costruzioni geometriche… avendo solo a disposizione un foglio quadrettato di dimensioni 6×6. La fregatura è che possiamo usare solo punti che sono intersezioni di rette, quindi all’inizio solo quelli che formano i quadretti: creando rette adeguate si avranno a disposizione nuovi punti.

Ho provato un po’ a giocarci sul mio smartphone, e arrivato verso la fine del secondo livello ho capito che forse mi sarebbe servito un tablet, perché ho dovuto costruire un punto in mezzo a un mare di altri punti tutti vicini: ma a parte questo problema mi sono divertito parecchio. Certo che un po’ di ricordi di geometria euclidea e geometria analitica servono…

Mersenne 50 e il controllo di primalità

A distanza di un paio d’anni dall’ultima volta è stato scoperto un nuovo primo di Mersenne, il cinquantesimo della serie. In un certo senso non è molto “più grande” del penultimo, che era M(74.207.281): stavolta abbiamo infatti M(77.232.917), e se vi limitate a guardare l’esponente vedete che la distanza dal penultimo è inferiore a quelle precedenti. (Nota: non sono ancora stati testati tutti gli esponenti inferiori, quindi la lista potrebbe non essere completa. È già capitato in passato che GIMPS, il programma distribuito per verificare la primalità di un numero di Mersenne, tirasse fuori un numero che non era il record di grandezza). Tutto è relativo, naturalmente: il numero in questione ha più di 23 milioni di cifre e se volete vedere com’è fatto vi serve scaricare 100 MB zippati.

Quello che vorrei farvi notare è però un’altra cosa. Come si può essere ragionevolmente certi che quel numero sia primo? Non è che uno si possa mettere a dividerlo per tutti i numeri primi, e anche i metodi più evoluti non sono trattabili a mano; quindi ci si deve fidare dei computer, un po’ come nella dimostrazione del teorema dei quattro colori. Gli amici di GIMPS hanno scelto un approccio molto pragmatico: sono stati usati quattro programmi diversi fatti girare su quattro architetture hardware diverse. A questo punto – dopo che i programmi hanno impiegato tra le 35 e le 83 ore di CPU: ve l’avevo detto che il numero era grande! – possiamo avere una certezza sufficiente.

A quando il prossimo primo di Mersenne? Chi lo sa.

Risposte ai problemini per Natale 2017

Ecco le risposte (spero corrette…) ai problemini postati la scorsa settimana.

1. Biglie e sacchetti
Come sempre in questi casi è utile distinguere le varie biglie per non perdersi. Diciamo dunque che le biglie gialle sono G1, G2, G3 e quelle blu B1, B2, B3. Ci sono 6×5/2=15 modi di mettere due biglie in un sacchetto: quelli con due biglie dello stesso colore sono 6 (tre con due biglie gialle e tre con due biglie blu), quindi scegliere il sacchetto con due biglie fa vincere il 40% delle volte. Se Marco sceglie il sacchetto con quattro biglie, è come se facesse un altro sacchetto con due biglie, dunque la probabilità resta 2/5 ed è irrilevante quale sacchetto Marco scelga.

2. Tagliare una pizza
Nel disegno sotto, possiamo immaginare che il primo diametro AB sia fissato; possiamo fare variare il secondo, per ragioni di simmetria, con un angolo α che va da 0 a 90 gradi e che tocca la semicirconferenza in un punto X. Il terzo diametro può variare su tutta la semicirconferenza AIB (OI è perpendicolare ad AB), incrociandola in un punto Y (non disegnato). Se Y sta tra A e X, l’angolo XOB è ottuso e quindi c’è una fetta più grande di un quarto di pizza. Se sta tra X e I, l’angolo YOB è ottuso. Infine, considerato il punto X’ con OX’ perpendicolare a OX, se Y sta tra X’ e B l’angolo XOY è ottuso. L’unico caso in cui non ci siano angoli ottusi è quindi se Y sta tra I e X’.

Poiché l’angolo IOX’ è uguale a AOX, possiamo considerare quest’ultimo. Al variare di α, la probabilità che Y sta tra A e X cresce linearmente da 0 a 1/2 (agli estremi c’è discontinuità, ma non ci dà fastidio); quindi la probabilità media è 1/4. Questo implica che la probabilità che ci siano due fette maggiori di un quarto della pizza è il complementare, vale a dire 3/4.

3. Una strana funzione
Qualunque sia il valore di F(1), continuando ad applicare (i) otteniamo che F(0) deve essere più piccolo di un ε a piacere, e quindi valere 0; dunque per (ii) F(1) = 1, ancora per (i) F(1/3) = 1/2 e per (ii) F(2/3) = 1/2. Quindi la funzione rimane costante tra 1/3 e 2/3: tutto quello che serve è perciò usare le relazioni inverse di quelle indicate (moltiplicare per 3 e fare il complementare rispetto a 1) per giungere a un numero in quell’intervallo. Il passaggio è F(1/42)=(x) → F(1/14)=(2x) → F(3/14)=(4x) → F(9/14)=(8x) = 1/2, da cui F(1/42) = 1/16. Per la cronaca, il procedimento qui sopra non può essere usato con numeri tipo 1/13 che hanno una espressione in base 3 che non contiene 1 e quindi non avrà mai un valore in quell’intervallo; in quel caso però si arriva a un loop. Infatti se F(1/13)=x allora F(3/13)=2x, F(9/13)=4x, F(4/13)=1−4x, F(12/13) = 2−8x, F(1/13) = 1−(2−8x) = 8x−1. Quindi x = 8x−1 da cui x = 1/7.

4. Somme e divisori
Essendo 2013 dispari, dev’essere la somma di un numero pari e uno dispari. Il numero n non può essere dispari, perché non può avere un divisore pari: pertanto n è pari, e il suo maggior divisore è per definizione n/2. Dunque abbiamo 3n/2 = 2013 da cui si ricava l’unica soluzione possibile n = 1342.

5. Numeri paladini
Se la fattorizzazione di un numero n è data da p1a1·p2a2·…·pkak, allora il numero di suoi fattori è (a1+1)(a2+1)…(ak+1). Possiamo ottenere 4 come (3+1) oppure (1+1)(1+1), ma nel primo caso (il cubo di un numero primo) il più piccolo numero paladino di quattro cifre è 11³ = 1331; Dobbiamo pertanto cercare due numeri primi il cui prodotto sia inferiore a 1300; una tra le varie possibilità è 37·31=1073.

Problemini per Natale 2017

Quest’anno ho preso i quizzini da Gifted Mathematics che ha un piccolo problema: non ci sono le soluzioni. Quindi magari la mia soluzione è sbagliata… Thriller in più. Al solito, le soluzioni a San Silvestro. (Ah, i problemi dovrebbero essere in ordine decrescente di difficoltà)

1. Biglie e sacchetti
Alice e Marco stanno facendo un gioco. In una scatola ci sono sei biglie, identiche al tatto, tre blu e tre gialle; lì vicino ci sono due sacchetti non trasparenti. Alice benda Marco, mischia le biglie e gliele fa mettere due in un sacchetto e quattro nell’altro. Marco non può vedere nulla, ma può capire quale sacchetto ha due biglie e quale quattro. A questo punto Alice invita Marco a prendere due biglie sa un sacchetto a scelta; se saranno dello stesso colore avrà vinto, altrimenti avrà perso. A Marco conviene prendere le due biglie dal sacchetto che ne ha due, o sceglierne due dall’altro?

2. Tagliare una pizza
Prendete un cerchio e scegliete a caso tre diametri distinti, che lo divideranno in sei settori. Qual è la probabilità che due dei settori abbiano un’area almeno pari a un quarto del cerchio?

3. Una strana funzione
F è una funzione non decrescente definita per tutti gli x compresi tra 0 e 1, per cui valgono le seguenti proprietà:

(i) F(x/3) = F(x)/2,
(ii) F(1 − x) = 1 − F(x)

Calcolate F(1/42).

4. Somme e divisori

Trovate tutti gli interi n tali per cui la somma di n e del suo maggior divisore proprio sia 2013.

5. Numeri paladini
Chiamiamo un numero n “paladino” se il numero dei suoi divisori (positivi) è uguale al numero di cifre del numero stesso. Per esempio, 121 è un numero paladino, avendo come unici divisori 1, 11, 121. Trovate un numero paladino di quattro cifre e minore di 1300.

immagine di gingko, https://openclipart.org/detail/254354

A comme Arithmétique [Pillole]

Raymond Queneau è stato un noto scrittore francese del secolo scorso. Forse avete letto Esercizi di stile, nella traduzione di Umberto Eco; forse sapete che fu uno dei due fondatori dell’OuLiPo. Magari sapete persino che è stato anche un matematico dilettante, che ha visto un suo articolo (Sur les suites s-additives) pubblicato nei procedimenti dell’Accademia Francese delle Scienze.

Molto meno noto (o almeno io non lo sapevo) è il fatto che aveva girato un cortometraggio, “A comme Arithmétique“, che spiega l’aritmetica di base. Beh, forse “spiegare” non è la parola giusta, visto che dà qualche notizia piuttosto banale con scene surreali, tipo quando per spiegare la sottrazione e il concetto di zero prende dalle tasche prima due rocchetti di filo e poi tre cavatappi e li butta via dalla finestra: “due meno due uguale zero”, mostrando la mano vuota. Se capite il francese meglio di me potete divertirvi a vederlo.

Approssimazioni pandigitali [Pillole]

Non ci crederete, ma il numero pandigitale (che usa cioè tutte le cifre da 1 a 9 senza ripetizioni: se volete anche lo 0 basta sommarglielo…)

è un’approssimazione della costante matematica e (il numero di Nepero, 2,71828…) corretta nelle prime 18457734525360901453873570 cifre decimali!

D’accordo, ho barato. No, l’approssimazione è davvero così vicina al valore reale di e, ed è stata scoperta da tale R. Sabey nel 2004, come potete leggere su MathWorld. Il punto è che come certo saprete e è il limite per n tendente all’infinito di (1+1/n)n, e quindi creando un n molto grande ci si avvicina facilmente al risultato voluto.

Più interessante, anche se meno precisa visto che arriva solo a 17 cifre decimali, è la seguente approssimazione di π trovata da G. W. Barbosa e sempre raccontata da MathWorld:

A che serve tutto questo? A nulla, ovviamente.
(Per i curiosi, ho creato le formule matematiche con iTex2img)

Una volta ogni cent’anni

Nei libri di Terry Pratchett è spiegato che quando si dice che c’è una possibilità su un milione che capiti qualcosa allora essa succederà nove volte su dieci. Il punto è che il Discworld è un mondo magico che contiene un elemento sconosciuto nel nostro pianeta: il narrativium, che è quello che fa andare avanti le storie. Il vero problema per noi non è però quello, ma il fatto che non siamo in grado di capire al volo cosa significhi effettivamente questo tipo di possibilità, soprattutto nei casi pratici di “qualcosa che capita una volta ogni cent’anni”.

Golena allagata - © Cincell, da Wikipedia
Golena allagata – © Cincell, Wikipedia

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È morto Corrado Böhm

Il mio primo esame universitario di informatica fu Teoria e Applicazione delle Macchine Calcolatrici (TAMC per gli amici), in versione ultrateorica perché (a) ero a Pisa (b) era la versione per matematici. In realtà di risultati teorici non è che ce ne fossero molti a disposizione: l’unico “teorema” che mi ricordo aver visto fu quello di Böhm-Jacopini, che in parole molto povere dice che si può programmare senza usare il GOTO. Da buon studente ingenuo immaginai che gli autori fossero informatici americani e giusto il secondo fosse di lontane origini italiane; grande fu il mio stupore quando scoprii che invece erano italianissimi.

Corrado Böhm è morto ieri, alla bella età di 94 anni. Andando a leggere la sua biografia ho scoperto che a parte il teorema in questione ha fatto tantissime cose (compreso un periodo di lavoro all’Olivetti degli anni ’50…) e che la sua tesi per il Ph.D. consistette nella definizione di un linguaggio di programmazione (nel 1951, ben prima che qualcuno definisse il FORTRAN…) e soprattutto che descrisse un compilatore per quel linguaggio scritto nel linguaggio stesso!

Böhm è stato insomma una delle pochissime persone che ha contribuito a far diventare l’informatica una scienza e non solo un’arte (come del resto continua a essere, come ben sa chi ha almeno una volta scritto del software).

Ada Lovelace Day [PILLOLE]

Oggi è l’Ada Lovelace Day, nato per celebrare e promuovere il lavoro delle donne nelle materie STEM (Scienza, Tecnologia, Ingegneria, Matematica: in inglese è Engineering, da cui la E). La data non ha nulla a che fare con quella di nascita della contessa, che è il 10 dicembre, e neppure con il fatto che 10/10 è una bella data binaria :-); in effetti è una ricorrenza mobile.

Vi segnalo questo link a Plus Magazine con le interviste ad alcune matematiche.

Un dado dispari

D’accordo, il gioco di parole con l’inglese (“an odd die”) si perde, ma tanto non serviva per rispondere al quesito. Immaginiamo di lanciare un dado (normale, a sei facce) fino a che non si ottiene 1. Qual è il valor medio del numero N di lanci effettuati (compreso quello finale che ha dato 1), condizionato dall’evento che tutti i risultati siano stati numeri dispari?

Il problema sembra semplice. Se i risultati sono stati tutti numeri dispari, è come se avessimo un dado con tre facce. La probabilità p1 di terminare al primo lancio è 1/3, e in questo caso il valore è 1; altrimenti si ricomincia da capo con un lancio in più sulle spalle. In formule, E[N] = 1·(1/3) + (1+E[N])·(2/3) da cui E[N] = 3. Insomma, il valor medio è tre lanci. Giusto? No, sbagliato. (Ci sono cascato anch’io quando l’ho visto, ve lo dico subito. O meglio, diciamo che non ho dato nessuna risposta perché sentivo che c’era un trabocchetto)

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