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Risposte ai problemini per Pasqua 2017

Eccovi le risposte ai problemini della scorsa settimana!

1. Sudoku poco ortodosso
La risposta è mostrata qui sotto. Come vedete, la struttura è molto semplice… Per risolverlo si può partire trovando man mano i 6, i 3, i 9 e continuando diagonale per diagonale.
(fonte)

2. Aggiustate le cose
Facendo diventare lo 0 un esponente, trasformando un meno in un uguale e trasformando il 6 in un 8 si ottiene la doppia uguaglianza qui sotto.
(fonte)

3. Neppure un triangolo
I primi due bastoncini possono essere lunghi 1 cm; il terzo deve essere maggiore della somma degli altri due, quindi il più piccolo valore è 3 cm; continuando a prendere la lunghezza pari alla somma delle due maggiori più 1 si ottiene l’insieme (1,1,3,5,9,15,25,41,67,109,177,287).
(fonte)

4. Fattoriali
10n+4 = 2(5n+2). I due numeri sono diversi, ed entrambi sono minori di 10n+2; quindi da qualche parte nel fattoriale li si troverà.
(fonte)

5. Il cavallo ferito
Sì, è possibile. La figura sotto mostra un possibile percorso.

(fonte)

Problemini per Pasqua 2017

I soliti problemini stavolta sono tutti presi da Stack Exchange, anche se ho barato (uno l’ho inserito io 🙂 )

1. Sudoku poco ortodosso
Quello che vedete qui sotto è una specie di sudoku: in ogni riga, in ogni colonna e in ogni area delimitata in grassetto devono essere presenti i numeri da 1 a 9. Riuscite a completarlo?

2. Aggiustate le cose
L’espressione qui sotto è chiaramente sbagliata. Spostate esattamente tre fiammiferi per ottenere un’espressione matematica corretta. Note:

  • i numeri non devono necessariamente essere scritti nella forma mostrata, ma devono essere chiaramente riconoscibili;
  • i numeri romani non sono permessi;
  • non vale barare con disuguaglianze e ineguaglianze, quindi niente &neq;, ≥, >, ≤, <; solo el sane vecche egugaglianze sono ammesse;
  • si possono usare parentesi (quadre a forma di C oppure pseudotonde con un angolo molto ampio tra due fiammiferi) e simboli di radice (con tre fiammiferi, una V senza il pezzo a sinistra);
  • non si possono inserire operatori (non c’è spazio) se non all’estrema sinistra e destra, e non si può lasciare spazi all’interno di un numero;
  • ovviamente non vale eliminare, aggiungere o spezzare fiammiferi.


3. Neppure un triangolo
Avete tra le mani dodici bastoncini, tutti lunghi un numero intero positivo di centimetri. Eppure non riuscite a trovarne tre che formino un triangolo, nemmeno di quelli degeneri con i lati schiacciati. Quali sono le misure minime di questi bastoncini?

4. Fattoriali
Dimostrate che 10n+4 divide (10n+2)! per ogni valore di n>0.

5. Il cavallo ferito
Un cavallo degli scacchi è ferito: continua a fare il suo movimento a L, però lascia una scia di sangue sulle quattro caselle (quella iniziale, quella finale, e le due di passaggio) che compongono la mossa. Il povero cavallo può partire da un angolo di una scacchiera 5×11 e arrivare all’angolo opposto insanguinando tutte le caselle ma senza mai passare due volte per la stessa casella?

Trisecare un angolo con riga, squadra e compasso

Lo sapete tutti: trisecare un angolo è impossibile se non in casi particolari. (Un terzo di un angolo retto è un angolo di 30 gradi, e quello sappiamo costruirlo: ma lo sappiamo fare anche senza partire dall’angolo retto). Questo problema, come quelli della duplicazione del cubo e della quadratura del cerchio, era noto già agli antichi greci, ma la sua impossibilità è stata dimostrata solo nel 1837 da Pierre-Laurent Wantzel, con un giro tortuoso che di geometria usa ben poco, visto che passa per l’algebra. Ma se siete stati attenti, ho dimenticato di indicare una limitazione molto importante: trisecare un angolo è impossibile con riga e compasso (compasso alla greca, tra l’altro, che serve a disegnare cerchi ma non a riportare una distanza da un’altra parte della costruzione). E se avessimo a disposizione qualche altro strumento?

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Logica e paragnostica

Un mio amico di cui non faccio il nome mi ha segnalato questo post Facebook di AlphaTest, che contiene una “Domanda di ragionamento logico”. La domanda, per chi non ha voglia di leggerla su Facebook, è uno dei classici quiz a risposta multipla: ecco il testo.

In un gruppo di studenti, 12 parlano italiano, 9 parlano inglese e 9 parlano spagnolo. 5 parlano italiano e spagnolo, 4 parlano inglese e spagnolo e 3 parlano inglese e italiano. Quanti del gruppo parlano solo spagnolo?

A. 6
B. I dati sono insufficienti
C. 5
D. 7
E. Nessuno

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Matematica come specchietto per le allodole

Uno dei problemi della scarsa conoscenza della matematica è che diventa molto semplice far passare messaggi errati semplicemente giocando sulle scarse competenze che fanno prendere lucciole per lanterne. No, non sto parlando dei giochini su Facebook “solo una persona su cento riesce a risolvere correttamente questo problema”, anche se parliamo sempre di Facebook. La scorsa settimana, la sindaca di Torino Chiara Appendino ha comunicato su Facebook che – visto che le previsioni dell’ARPA piemontese indicavano che nella giornata di sabato la concentrazione di PM10 nel capoluogo sarebbe scesa sotto la soglia di attenzione – il blocco degli autoveicoli diesel Euro3 ed Euro4 sarebbe stato revocato per sabato. Prima che qualcuno la butti in politica, mi affretto ad aggiungere che il protocollo torinese per le misure di emergenza prevede esattamente questa cosa: sia per l’inizio che per la fine delle misure contano anche i dati previsti nei due giorni successivi, e non solo quelli effettivamente misurati. Nulla da obiettare sull’ordinanza, insomma.

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Kenneth Arrow

Kenneth J. Arrow – Credit LA Cicero, 11/4/1996, da Wikipedia
Kenneth Arrow, morto martedì scorso a 95 anni, è stato uno degli economisti più noti al grande pubblico, non fosse altro che per il suo teorema di impossibilità, uno dei risultati probabilmente meno compresi ma più raccontati in giro, perché effettivamente sembra troppo bello per essere vero. Il teorema è di solito espresso nella forma “non esiste un sistema di voto perfetto”, o anche “l’unico sistema di voto coerente è la dittatura”; ma le cose non stanno proprio così, e soprattutto fermarsi a quel risultato è davvero limitativo.

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Raymond Smullyan

Ci sono voluti quattro giorni prima che venisse pubblicato un necrologio ufficiale per Raymond Smullyan, morto il 6 febbraio alla veneranda età di quasi 98 anni. Sono abbastanza certo che lui ci avrebbe fatto una risata sopra e si sarebbe messo a raccontare una storia sconclusionata con alla base un qualche gioco di parole… In fin dei conti disse «Perché dovrei preoccuparmi di morire? Non mi capiterà mai durante la mia vita!»

Smullyan era un tipo parecchio peculiare, diiamo. Un polymath, dicono gli anglosasoni, termine che non c’entra nulla con la matematica – se non etimologicamente – ma significa “uno che fa di tutto perché gli piace spaziare e non fossilizzarsi su un campo”. La sua carriera scolastica è stata diciamo erratica: almeno un paio di volte ha lasciato perdere tutto, e ha cominciato a insegnare all’università prima di laurearsi in maniera piuttosto rocambolesca. D’altra parte fu a lungo indeciso se diventare matematico o pianista, e almeno a detta sua la scelta finale è stata del tutto casuale.

In Italia è probabilmente noto per il libro Qual è il titolo di questo libro?, pubblicato da Zanichelli nel 1980 e seguito da altri titoli fuori catalogo, in cui presentava un gran numero di problemini di logica, nei quali ci si trovava in isole sperdute dove gli indigeni o dicevano sempre la verità o mentivano sempre, e non si sa bene perché ma si doveva ridurre al minimo indispensabile le domande da far loro per ottenere una risposta corretta ai nostri dubbi: tutte le volte che si scopriva un trucco per andare avanti Smullyan complicava la situazione al punto che alla fine uno lasciva perdere. Ma scrisse anche libri di filosofia e di spiritualità; e limitandosi alla logica matematica, arrivò a spiegare il teorema di incompletezza di Gödel in meno di una pagina. (Il problema è che poi bisogna trasferire la sua spiegazione nel linguaggio dell’aritmetica, ma intanto è già qualcosa)

La mia sensazione è che però il suo nome non sia noto alla generazione dei nostri trenta-quarantenni, sia per la poca considerazione di cui gode da noi la divulgazione matematica che per i troppi giochi di parole, come accennavo all’inizio, che sono virtualmente intraducibili. Forse gli scacchisti hanno sentito parlare di lui, per i due libri di problemi di “analisi retrograda scacchistica” (The Chess Mysteries of Sherlock Holmes e The Chess Mysteries of the Arabian Nights, nei quali non bisogna trovare la mossa vincente ma per esempio dimostrare che nonostante l’apparenza il bianco non può più arroccare perché in una mossa precedente aveva mosso il re o la torre, oppure specificare in quale di due caselle adiacenti si trova effettivamente un pezzo. Sempre di logica parliamo, insomma 🙂

Qualche mese fa avevo letto il suo penultimo libro, la pseudoautobiografia Reflections, che però non mi era piaciuto: ma per fortuna resta tutta la sua bibliografia precedente!

La costante di Grossman [Pillole]

Ci sono molte successioni di numeri costruite in maniera ricorsiva: si danno i primi valori e poi una regola per costruire i successivi. Per esempio, i numeri di Fibonacci sono definiti così: F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn per n≥0. A volte per una successione Sn si può trovare una cosiddetta forma chiusa per la successione, vale a dire una formula che dato n calcoli direttamente Sn senza prima calcolare tutti i valori precedenti. Nel caso della successione di Fibonacci, per esempio, abbiamo

dove φ è il numero aureo: (√5 + 1)/2. Ma non è sempre così semplice (ammesso che questa formula sia semplice!)

Consideriamo la famiglia di successioni Gn(x) definita in questo modo: G0 = 1, G1 = x, Gn+2 = Gn/(1+Gn+1) per n≥0. Scegliendo vari valori di x, la successione si comporta in maniera diversa: per esempio per x=0 oscillerà sempre tra i valori 0 e 1. In genere avremo sempre delle oscillazioni: qui a fianco vedete il comportamento per x=0,5 (più oscillazioni) e x=0,73 (meno oscillazioni).
Fin qui nulla di strano: non si può pretendere che tutte le successioni si comportino come vogliamo noi. Quello è un po’ più strano, come si può leggere nella pagina di MathWorld dedicata, è che esiste un unico valore per cui la successione converge. Tale valore, chiamato costante di Grossman dal matematico che inopinatamente aveva usato la successione come problema, è pari a 0,73733830336929…; nessuno sa però dare una formula per ricavare questo valore esplicitamente. Dura la vita dei matematici!

Solo con zero e uno

Immagino sia noto a tutti che se un numero ha come fattori primi solo 2 e 5, esiste un suo multiplo che è una potenza di 10. Sapete anche tutti che 111 è un multiplo di 3, e 111.111.111 un multiplo di 9. Combinando quelle proprietà, vediamo anche che 1110 è un multiplo di 6, e magari ricordate anche che 1001 è multiplo di 7, di 11 e di 13, essendo il loro prodotto. A questo punto potrete magari chiedervi se è vero o no che dato un qualunque numero intero ci sia un suo multiplo che contenga solo le cifre 1 e 0. Che ne dite?

La risposta è affermativa, e una possibile dimostrazione sfrutta una proprietà che potrebbe sembrare fuori luogo in questo caso: il principio dei cassetti, quello che afferma che se metto k+1 calzini in k cassetti allora almeno un cassetto conterrà due calzini. (Ne avevo parlato qui sul Post). Dato un numero qualunque n, prendiamo i numeri 1, 11, 111, … fino a quello composto da n+1 cifre 1, e consideriamo il resto della divisione per n di ciascuno di questi numeri. Otterremo n+1 risultati, tutti compresi per definizione tra 0 e n−1, e quindi al più di n valori diversi; per il principio dei cassetti almeno due di tali resti, diciamo quello del numero con p cifre e di quello con q cifre, devono pertanto avere lo stesso valore. Per fissare le idee immaginiamo che p>q e che il resto comune della divisione dei due numeri per n sia r. A questo punto basta prendere i due numeri corrispondenti e sottrarli tra loro: avremo un numero della forma 111…111000…000, con pq 1 e q 0, che per costruzione è multiplo di n. Infatti esso è la differenza di un multiplo di n più r, e di un altro multiplo di n sempre più r; possiamo raccogliere insieme i due multipli ed eliminare gli r.

Chi ha studiato matematica un po’ più avanzata (a livello universitario di base) e conosce la funzione totiente φ(n) (il numero di numeri inferiori a n e primi con esso) e il Piccolo teorema di Fermat nella generalizzazione di Eulero, che afferma che se a è primo con n allora aφ(n) ≡ 1 (mod n) può anche calcolare una stima superiore per il numero minimo di cifre di un tale multiplo. Se n è primo con 10, infatti, sappiamo che 10φ(9n) ≡ 1 (mod 9n), e pertanto (10φ(9n)−1)/9 è composto da φ(9n) cifre 1. Se invece n è della forma 2a5b, a seconda se a è maggiore o minore di b lo possiamo moltiplicare per 5a−b o 2b−a e ottenere una potenza di 10 (se a=b la potenza ce l’abbiamo già). Combinando i due risultati possiamo dire che un limite superiore per il numero di cifre del multiplo è φ(9n)|a−b|.