Monthly Archives: August 2018

u, da, h, uk, dak, hk

Ho visto per la prima volta questa successione nel mio social network di nicchia preferito, e mi ci è voluto un po’ di tempo per capire cosa significasse. Ora però mi sono trovato “uk” nel libro dei compiti per le vacanze dei miei gemelli, e insomma non posso più far finta di niente: devo afferrare il toro per le corna. La sigla uk non ha nulla a che fare con il Regno Unito, ma indica molto più prosaicamente le unità di migliaia, così come hk non è Hong Kong ma le centinaia di migliaia e dak le decine di migliaia. L’ultima arrivata tra le stupide vessazioni a cui sono sottoposti i nostri poveri bambini.

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Risposte ai quizzini di Ferragosto 2018

Anche stavolta i problemi arrivano dalla Olimpiada Matemática Española (anno 1994)

Successioni e quadrati
Basta dimostrare che dato un quadrato perfetto nella successione se ne può trovare un altro. Partiamo dunque da a²; se la ragione della successione è d, dopo 2a+d termini arriviamo a a²+2ad+d² che è (a+d)².

Meteorologia
Perché i giorni di sole siano il triplo di quelli di pioggia, la loro somma deve essere multipla di 4. La somma di tutti e sei i valori è 2018, che divisa per 4 dà resto 2; l’unica regione i cui giorni di sole e di pioggia diano resto 2 è F, che quindi è da eliminare.

Un triangolo particolare
Notate che gli angoli ABC e ACB misurano 72 gradi. Bisecate l’angolo in C, e sia D il punto in cui incontra il lato AB. Il triangolo BCD ha gli stessi angoli di ABC, quindi è simile ad esso; ma anche il triangolo ACD è isoscele, quindi CD=AD=a, e BD=ba. Abbiamo pertanto che b/a=a/ba, da cui b/a=(√5+1)/2.
il triangolo con un altro triangolo

Tre per sette
Nessuna colonna può avere tre pedine dello stesso colore, per esempio bianco: se così fosse, infatti, nessun’altra colonna potrebbe avere due pedine di quel colore, altrimenti si formerebbe un rettangolo: restano pertanto solo quattro possibilità diverse (NNB, NBN, BNN, NNN) e alla sesta colonna bisognerà ripeterne una di quelle quattro e avere un rettangolo. Ma ci sono comunque solo sei possibilità di scegliere tre pedine di colori diversi (NNB, NBN, BNN, NBB, BNB, BBN) e quindi la settima colonna dovrà ripetere una di quelle precedenti.

Triangolazione
Se abbiamo ntriangoli, in tutto avremo 3n lati. Di questi, m sono esterni (quelli del poligono di partenza), mentre gli altri 3nm sono interni e quindi contati due volte. Ma allora 3nm deve essere pari, quindi m e n devono avere la stessa parità, e in definitiva m+n deve essere pari.

Quizzini di Ferragosto 2018

Soliti problemini matematici abbastanza d’annata e direi non troppo complicati: la risposta sarà data tra una settimana.

Successioni e quadrati

In una successione aritmetica, la differenza d tra due elementi successivi è costante. È facile costruire una successione aritmetica di numeri positivi che non contenga alcun quadrato perfetto: prendiamo per esempio 7, 17, 27… Dimostrate che però se essa contiene un quadrato perfetto allora ne avrà infiniti.

a, a+d, a+2d...

Meteorologia

L’ente del turismo di Matelandia vuole compilare una statistica dei giorni di sole o pioggia nella nazione. Chiede i dati di sei regioni, solo che non si è ben spiegato e quindi i dati arrivano come “giorni di sole oppure pioggia”, come vedete nella tabella qui sotto. Recuperati i dati completi con la suddivisione ulteriore tra giorni di sole e di pioggia, ci si accorge che se si esclude una delle regioni allora il numero di giorni di sole è il triplo di quelli di pioggia. Quale regione è da escludere?

tabella

Un triangolo particolare

In un triangolo isoscele ABC l’angolo al vertice A misura 36 gradi. Calcolate il rapporto b/a tra i lati AC e BC.

triangolo isoscele

Tre per sette

Si prendano ventun pedine, alcune bianche e altre nere, e le si dispongano in una scacchiera 3×7, una per casella. Si dimostri che ci sarà sempre un rettangolo (non banale, quindi non 1×k) ai cui vertici ci siano pedine dello stesso colore. Il rettangolo è con i lati paralleli alle caselle, per completezza.

Triangolazione

Dato un poligono convesso di m lati, lo si triangoli: si aggiunga cioè un certo numero di punti interni e lo si suddivida in n triangoli, tali che non ci sia nessuna sovrapposizione tra di essi e due triangoli possano avere un comune o un vertice o un lato (nessun vertice di un triangolo tocca un punto interno a un lato, insomma). Si dimostri che m+n è pari.

triangolazione

Alessio Figalli ha vinto la Fields Medal

Alessio Figalli
Alessio Figalli, dalla sua home page all’ETH di Zurigo: https://people.math.ethz.ch/~afigalli/

A 44 anni dalla premiazione di Enrico Bombieri, un altro italiano ha conquistato la medaglia Fields, il riconoscimento probabilmente più importante nel campo della matematica. Al Congresso internazionale dei matematici che si sta tenendo in questi giorni a Rio de Janeiro uno dei quattro premiati è infatti Alessio Figalli, attualmente professore all’ETH di Zurigo.

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