Monthly Archives: December 2017

Risposte ai problemini per Natale 2017

Ecco le risposte (spero corrette…) ai problemini postati la scorsa settimana.

1. Biglie e sacchetti
Come sempre in questi casi è utile distinguere le varie biglie per non perdersi. Diciamo dunque che le biglie gialle sono G1, G2, G3 e quelle blu B1, B2, B3. Ci sono 6×5/2=15 modi di mettere due biglie in un sacchetto: quelli con due biglie dello stesso colore sono 6 (tre con due biglie gialle e tre con due biglie blu), quindi scegliere il sacchetto con due biglie fa vincere il 40% delle volte. Se Marco sceglie il sacchetto con quattro biglie, è come se facesse un altro sacchetto con due biglie, dunque la probabilità resta 2/5 ed è irrilevante quale sacchetto Marco scelga.

2. Tagliare una pizza
Nel disegno sotto, possiamo immaginare che il primo diametro AB sia fissato; possiamo fare variare il secondo, per ragioni di simmetria, con un angolo α che va da 0 a 90 gradi e che tocca la semicirconferenza in un punto X. Il terzo diametro può variare su tutta la semicirconferenza AIB (OI è perpendicolare ad AB), incrociandola in un punto Y (non disegnato). Se Y sta tra A e X, l’angolo XOB è ottuso e quindi c’è una fetta più grande di un quarto di pizza. Se sta tra X e I, l’angolo YOB è ottuso. Infine, considerato il punto X’ con OX’ perpendicolare a OX, se Y sta tra X’ e B l’angolo XOY è ottuso. L’unico caso in cui non ci siano angoli ottusi è quindi se Y sta tra I e X’.

Poiché l’angolo IOX’ è uguale a AOX, possiamo considerare quest’ultimo. Al variare di α, la probabilità che Y sta tra A e X cresce linearmente da 0 a 1/2 (agli estremi c’è discontinuità, ma non ci dà fastidio); quindi la probabilità media è 1/4. Questo implica che la probabilità che ci siano due fette maggiori di un quarto della pizza è il complementare, vale a dire 3/4.

3. Una strana funzione
Qualunque sia il valore di F(1), continuando ad applicare (i) otteniamo che F(0) deve essere più piccolo di un ε a piacere, e quindi valere 0; dunque per (ii) F(1) = 1, ancora per (i) F(1/3) = 1/2 e per (ii) F(2/3) = 1/2. Quindi la funzione rimane costante tra 1/3 e 2/3: tutto quello che serve è perciò usare le relazioni inverse di quelle indicate (moltiplicare per 3 e fare il complementare rispetto a 1) per giungere a un numero in quell’intervallo. Il passaggio è F(1/42)=(x) → F(1/14)=(2x) → F(3/14)=(4x) → F(9/14)=(8x) = 1/2, da cui F(1/42) = 1/16. Per la cronaca, il procedimento qui sopra non può essere usato con numeri tipo 1/13 che hanno una espressione in base 3 che non contiene 1 e quindi non avrà mai un valore in quell’intervallo; in quel caso però si arriva a un loop e si può così ricavare il valore di 2/7

4. Somme e divisori
Essendo 2013 dispari, dev’essere la somma di un numero pari e uno dispari. Il numero n non può essere dispari, perché non può avere un divisore pari: pertanto n è pari, e il suo maggior divisore è per definizione n/2. Dunque abbiamo 3n/2 = 2013 da cui si ricava l’unica soluzione possibile n = 1342.

5. Numeri paladini
Se la fattorizzazione di un numero n è data da p1a1·p2a2·…·pkak, allora il numero di suoi fattori è (a1+1)(a2+1)…(ak+1). Possiamo ottenere 4 come (3+1) oppure (1+1)(1+1), ma nel primo caso (il cubo di un numero primo) il più piccolo numero paladino di quattro cifre è 11³ = 1331; Dobbiamo pertanto cercare due numeri primi il cui prodotto sia inferiore a 1300; una tra le varie possibilità è 37·31=1073.

Problemini per Natale 2017

Quest’anno ho preso i quizzini da Gifted Mathematics che ha un piccolo problema: non ci sono le soluzioni. Quindi magari la mia soluzione è sbagliata… Thriller in più. Al solito, le soluzioni a San Silvestro. (Ah, i problemi dovrebbero essere in ordine decrescente di difficoltà)

1. Biglie e sacchetti
Alice e Marco stanno facendo un gioco. In una scatola ci sono sei biglie, identiche al tatto, tre blu e tre gialle; lì vicino ci sono due sacchetti non trasparenti. Alice benda Marco, mischia le biglie e gliele fa mettere due in un sacchetto e quattro nell’altro. Marco non può vedere nulla, ma può capire quale sacchetto ha due biglie e quale quattro. A questo punto Alice invita Marco a prendere due biglie sa un sacchetto a scelta; se saranno dello stesso colore avrà vinto, altrimenti avrà perso. A Marco conviene prendere le due biglie dal sacchetto che ne ha due, o sceglierne due dall’altro?

2. Tagliare una pizza
Prendete un cerchio e scegliete a caso tre diametri distinti, che lo divideranno in sei settori. Qual è la probabilità che due dei settori abbiano un’area almeno pari a un quarto del cerchio?

3. Una strana funzione
F è una funzione non decrescente definita per tutti gli x compresi tra 0 e 1, per cui valgono le seguenti proprietà:

(i) F(x/3) = F(x)/2,
(ii) F(1 − x) = 1 − F(x)

Calcolate F(1/42).

4. Somme e divisori

Trovate tutti gli interi n tali per cui la somma di n e del suo maggior divisore proprio sia 2013.

5. Numeri paladini
Chiamiamo un numero n “paladino” se il numero dei suoi divisori (positivi) è uguale al numero di cifre del numero stesso. Per esempio, 121 è un numero paladino, avendo come unici divisori 1, 11, 121. Trovate un numero paladino di quattro cifre e minore di 1300.

immagine di gingko, https://openclipart.org/detail/254354

A comme Arithmétique [Pillole]

Raymond Queneau è stato un noto scrittore francese del secolo scorso. Forse avete letto Esercizi di stile, nella traduzione di Umberto Eco; forse sapete che fu uno dei due fondatori dell’OuLiPo. Magari sapete persino che è stato anche un matematico dilettante, che ha visto un suo articolo (Sur les suites s-additives) pubblicato nei procedimenti dell’Accademia Francese delle Scienze.

Molto meno noto (o almeno io non lo sapevo) è il fatto che aveva girato un cortometraggio, “A comme Arithmétique“, che spiega l’aritmetica di base. Beh, forse “spiegare” non è la parola giusta, visto che dà qualche notizia piuttosto banale con scene surreali, tipo quando per spiegare la sottrazione e il concetto di zero prende dalle tasche prima due rocchetti di filo e poi tre cavatappi e li butta via dalla finestra: “due meno due uguale zero”, mostrando la mano vuota. Se capite il francese meglio di me potete divertirvi a vederlo.

Approssimazioni pandigitali [Pillole]

Non ci crederete, ma il numero pandigitale (che usa cioè tutte le cifre da 1 a 9 senza ripetizioni: se volete anche lo 0 basta sommarglielo…)

è un’approssimazione della costante matematica e (il numero di Nepero, 2,71828…) corretta nelle prime 18457734525360901453873570 cifre decimali!

D’accordo, ho barato. No, l’approssimazione è davvero così vicina al valore reale di e, ed è stata scoperta da tale R. Sabey nel 2004, come potete leggere su MathWorld. Il punto è che come certo saprete e è il limite per n tendente all’infinito di (1+1/n)n, e quindi creando un n molto grande ci si avvicina facilmente al risultato voluto.

Più interessante, anche se meno precisa visto che arriva solo a 17 cifre decimali, è la seguente approssimazione di π trovata da G. W. Barbosa e sempre raccontata da MathWorld:

A che serve tutto questo? A nulla, ovviamente.
(Per i curiosi, ho creato le formule matematiche con iTex2img)