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Un dado dispari

D’accordo, il gioco di parole con l’inglese (“an odd die”) si perde, ma tanto non serviva per rispondere al quesito. Immaginiamo di lanciare un dado (normale, a sei facce) fino a che non si ottiene 1. Qual è il valor medio del numero N di lanci effettuati (compreso quello finale che ha dato 1), condizionato dall’evento che tutti i risultati siano stati numeri dispari?

Il problema sembra semplice. Se i risultati sono stati tutti numeri dispari, è come se avessimo un dado con tre facce. La probabilità p₁ di terminare al primo lancio è 1/3, e in questo caso il valore è 1; altrimenti si ricomincia da capo con un lancio in più sulle spalle. In formule, E[N] = 1·(1/3) + (1+E[N])·(2/3) da cui E[N] = 3. Insomma, il valor medio è tre lanci. Giusto? No, sbagliato. (Ci sono cascato anch’io quando l’ho visto, ve lo dico subito. O meglio, diciamo che non ho dato nessuna risposta perché sentivo che c’era un trabocchetto)

Il problema è – come spiega Stan Wagon che ha proposto il quesito – che il ragionamento che è stato fatto non è corretto, in quanto noi dimentichiamo tutto un insieme di casi “nel futuro” (mi spiego meglio dopo) che cambiano la probabilità. Per accorgersi facilmente della cosa, pensiamo alla probabilità p₁ calcolata qui sopra, e guardiamo cosa succede con le coppie di lanci. Naturalmente se il primo lancio dà uno il secondo è irrilevante, ma possiamo comunque far finta di farlo lo stesso per rendere i conti più semplici. Ci sono 36 casi, divisi in questo modo: (“*” significa “qualunque valore”)

I casi in grassetto sono quelli condizionati dall’avere solo numeri dispari: notate che “1,2” è uno di questi casi perché in realtà non abbiamo lanciato il dado una seconda volta. Ci sono dunque 12 casi possibili sui 36 teorici, e di questi 6 terminano con 1 al primo lancio; quindi p₁ deve essere almeno pari a 1/2 e non 1/3 come credevamo. Detto in altri termini: quando nel primo lancio si è avuto un 3 oppure un 5, non sappiamo ancora se la successione è valida o verrà scartata in seguito, pertanto il suo peso dev’essere minore di quello del caso in cui si è avuto un 1. Quanto vale allora p₁? Vedremo più sotto che è 2/3. Se per il momento vi fidate, calcolare il valore atteso è facile: si usa la stessa formula iniziale con le probabilità aggiustate, cioè E[N] = 1·(2/3) + (1+E[N])·(1/3) da cui E[N] = 3/2.

Ma detto tutto questo, come si fa a calcolare p₁? Ecco una soluzione, di Lance Fortnow.

Immaginiamo di fare un numero infinito di lanci, e avere un contatore che parte da 0. Ogni volta che si ottiene 1, il contatore è incrementato di 1, si salva il suo contenuto, e lo si resetta a 0. Ogni volta che si ottiene 3 o 5, il contatore si incrementa; se si ottiene un numero pari lo si resetta a 0. La domanda iniziale diventa “qual è il valore atteso dei contatori salvati?” Beh, se il contatore era a 1 quando è stato salvato – e quindi la successione ha avuto un solo lancio – il lancio precedente doveva essere stato uno tra 1, 2, 4, oppure 6, e quindi la probabilità è 2/3.

Conclusione? Non fidatevi mai delle probabilità, o almeno fate un secondo controllo!

P.S.: Se preferite un approccio più diretto, eccovelo qui.

Se la domanda fosse semplicemente “qual è il numero atteso di lanci perché esca un 1?” il ragionamento è questo.

C’è probabilità 1/6 che esca al primo lancio. La probabilità che esca un 1 solo al secondo lancio è 5/6 * 1/6; il primo fattore è la probabilità che il primo lancio sia stato diverso da 1, il secondo è la probabilità che al secondo lancio sia invece uscito 1. La probabilità che esca un 1 solo al terzo lancio è 5/6 * 5/6 * 1/6, e così via. Per calcolare il numero atteso dei lanci si fa la somma infinita del prodotto di queste probabilità per il numero di lanci corrispondente: insomma 1 * 1/6 + 2 * 5/6 * 1/6 + 3 * 5/6 * 5/6 * 1/6 + …

Ma noi dobbiamo contare solo i casi in cui non sia mai uscito un numero pari. Ergo, le probabilità sono diverse. Continua a esserci probabilità 1/6 che esca al primo lancio, ma la probabilità che sia uscito 1 al secondo lancio e non sia uscito un numero pari al primo lancio è 2/6 * 1/6 (il primo lancio può essere solo 3 o 5, il secondo deve essere 1); la probabilità che sia uscito 1 al terzo lancio e non sia uscito un numero pari nei primi due lanci è 2/6 * 2/6 * 1/6, e così via. Se si fa la somma 1 * 1/6 + 2 * 2/6 * 1/6 + 3 * 2/6 * 2/6 * 1/6 + … esce fuori come risultato 3/2.