La piastrella di Kürschák
L’area di un dodecagono regolare inscritto in un cerchio di raggio unitario vale esattamente 3. Tutto questo è molto interessante, canterebbe qualcuno; ma spero che i frequentatori di questo blog siano un po’ più interessati alla cosa, soprattutto se si può fare una dimostrazione che non richieda tutte quelle formulacce di trigonometria che io almeno non ricordo mai. Nema problema! La dimostrazione potrebbe essere fatta senza parole, ma per comodità ve ne lascio un po’, in modo da non farvi sbattere troppo la testa; e vi assicuro che può essere tranquillamente insegnata a geometria nelle scuole medie.
La figura che vedete qui sopra è costruita in modo molto semplice. Si parte da un quadrato e al suo interno si costruisce un triangolo equilatero su ciascuno dei quattro lati. I quattro vertici dei triangoli che non stanno sul quadrato formano un quadrato più piccolo: i quattro punti medi di questo quadrato, insieme agli otto punti in cui i triangoli si incontrano, sono i vertici di un dodecagono regolare. Se non ci credete, notate come le coppie di punti su ciascuno dei triangoli formino un angolo di 60 gradi con il centro della figura, e che aggiungendo i punti medi del quadrato interno si ottengono dei pezzi di docecagono: per ragioni di simmetria anche gli ultimi quattro punti completano la figura.
Fin qua nulla di complicato. Prendiamo ora il quadrato interno e disegniamo ancora un po’ di righe: quattro triangoli equilateri dai suoi vertici ai due vertici più vicini del dodecagono, dodici triangoli equilateri sui lati del dodecagono fatti puntare all’interno, dodici segmenti dai vertici di questi triangoli al centro e altri dodici dai vertici del dodecagono sempre verso il centro. Otteniamo la figura qui sotto, che ho ruotato di 45 gradi per comodità. Notate che il dodecagono è inscrivibile nel cerchio a sua volta inscritto nel quadrato.
La figura consta di 16 triangoli equilateri tutti congruenti tra loro, e di 32 triangoli isosceli di angoli 15, 15, 120 gradi e lati uguali della stessa lunghezza. Se osservate attentamente, 4 triangoli equilateri e 8 isosceli stanno al di fuori del dodecagono; pertanto l’area del dodecagono è i tre quarti di quella del quadrato: ma se il raggio del cerchio inscritto è 1 allora il lato del quadrato è 2, l’area del quadrato è 4, e quella del dodecagono è 3. Tutto qua.
Non so se Archimede, che aveva approssimato il valore di pi greco partendo dai dodecagoni inscritto e circoscritto alla circonferenza, avesse pensato a questa suddivisione: non è impossibile, visto che è noto che questi giochetti gli piacevano. La tassellazione è però nota come piastrella di Kürschák, dal nome del matematico ungherese che la rese nota; per lui deve essere stato un divertissement, considerati gli altri suoi lavori, a partire dallo sviluppo della teoria delle valutazioni alla dimostrazione che la somma dei reciproci degli interi da 1 a n non può mai essere un intero e a quella per cui tutte le costruzioni con riga e compasso possono essere fatte con la sola riga, se si ha anche a disposizione un segmento fisso che può essere copiato a piacere.
Ma in ogni caso potete sempre usare la sua piastrella eponima per arredare la cucina.
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