Monthly Archives: February 2017

Matematica come specchietto per le allodole

Uno dei problemi della scarsa conoscenza della matematica è che diventa molto semplice far passare messaggi errati semplicemente giocando sulle scarse competenze che fanno prendere lucciole per lanterne. No, non sto parlando dei giochini su Facebook “solo una persona su cento riesce a risolvere correttamente questo problema”, anche se parliamo sempre di Facebook. La scorsa settimana, la sindaca di Torino Chiara Appendino ha comunicato su Facebook che – visto che le previsioni dell’ARPA piemontese indicavano che nella giornata di sabato la concentrazione di PM10 nel capoluogo sarebbe scesa sotto la soglia di attenzione – il blocco degli autoveicoli diesel Euro3 ed Euro4 sarebbe stato revocato per sabato. Prima che qualcuno la butti in politica, mi affretto ad aggiungere che il protocollo torinese per le misure di emergenza prevede esattamente questa cosa: sia per l’inizio che per la fine delle misure contano anche i dati previsti nei due giorni successivi, e non solo quelli effettivamente misurati. Nulla da obiettare sull’ordinanza, insomma.

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Kenneth Arrow

Kenneth J. Arrow – Credit LA Cicero, 11/4/1996, da Wikipedia
Kenneth Arrow, morto martedì scorso a 95 anni, è stato uno degli economisti più noti al grande pubblico, non fosse altro che per il suo teorema di impossibilità, uno dei risultati probabilmente meno compresi ma più raccontati in giro, perché effettivamente sembra troppo bello per essere vero. Il teorema è di solito espresso nella forma “non esiste un sistema di voto perfetto”, o anche “l’unico sistema di voto coerente è la dittatura”; ma le cose non stanno proprio così, e soprattutto fermarsi a quel risultato è davvero limitativo.

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Raymond Smullyan

Ci sono voluti quattro giorni prima che venisse pubblicato un necrologio ufficiale per Raymond Smullyan, morto il 6 febbraio alla veneranda età di quasi 98 anni. Sono abbastanza certo che lui ci avrebbe fatto una risata sopra e si sarebbe messo a raccontare una storia sconclusionata con alla base un qualche gioco di parole… In fin dei conti disse «Perché dovrei preoccuparmi di morire? Non mi capiterà mai durante la mia vita!»

Smullyan era un tipo parecchio peculiare, diiamo. Un polymath, dicono gli anglosasoni, termine che non c’entra nulla con la matematica – se non etimologicamente – ma significa “uno che fa di tutto perché gli piace spaziare e non fossilizzarsi su un campo”. La sua carriera scolastica è stata diciamo erratica: almeno un paio di volte ha lasciato perdere tutto, e ha cominciato a insegnare all’università prima di laurearsi in maniera piuttosto rocambolesca. D’altra parte fu a lungo indeciso se diventare matematico o pianista, e almeno a detta sua la scelta finale è stata del tutto casuale.

In Italia è probabilmente noto per il libro Qual è il titolo di questo libro?, pubblicato da Zanichelli nel 1980 e seguito da altri titoli fuori catalogo, in cui presentava un gran numero di problemini di logica, nei quali ci si trovava in isole sperdute dove gli indigeni o dicevano sempre la verità o mentivano sempre, e non si sa bene perché ma si doveva ridurre al minimo indispensabile le domande da far loro per ottenere una risposta corretta ai nostri dubbi: tutte le volte che si scopriva un trucco per andare avanti Smullyan complicava la situazione al punto che alla fine uno lasciva perdere. Ma scrisse anche libri di filosofia e di spiritualità; e limitandosi alla logica matematica, arrivò a spiegare il teorema di incompletezza di Gödel in meno di una pagina. (Il problema è che poi bisogna trasferire la sua spiegazione nel linguaggio dell’aritmetica, ma intanto è già qualcosa)

La mia sensazione è che però il suo nome non sia noto alla generazione dei nostri trenta-quarantenni, sia per la poca considerazione di cui gode da noi la divulgazione matematica che per i troppi giochi di parole, come accennavo all’inizio, che sono virtualmente intraducibili. Forse gli scacchisti hanno sentito parlare di lui, per i due libri di problemi di “analisi retrograda scacchistica” (The Chess Mysteries of Sherlock Holmes e The Chess Mysteries of the Arabian Nights, nei quali non bisogna trovare la mossa vincente ma per esempio dimostrare che nonostante l’apparenza il bianco non può più arroccare perché in una mossa precedente aveva mosso il re o la torre, oppure specificare in quale di due caselle adiacenti si trova effettivamente un pezzo. Sempre di logica parliamo, insomma 🙂

Qualche mese fa avevo letto il suo penultimo libro, la pseudoautobiografia Reflections, che però non mi era piaciuto: ma per fortuna resta tutta la sua bibliografia precedente!

La costante di Grossman [Pillole]

Ci sono molte successioni di numeri costruite in maniera ricorsiva: si danno i primi valori e poi una regola per costruire i successivi. Per esempio, i numeri di Fibonacci sono definiti così: F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn per n≥0. A volte per una successione Sn si può trovare una cosiddetta forma chiusa per la successione, vale a dire una formula che dato n calcoli direttamente Sn senza prima calcolare tutti i valori precedenti. Nel caso della successione di Fibonacci, per esempio, abbiamo

dove φ è il numero aureo: (√5 + 1)/2. Ma non è sempre così semplice (ammesso che questa formula sia semplice!)

Consideriamo la famiglia di successioni Gn(x) definita in questo modo: G0 = 1, G1 = x, Gn+2 = Gn/(1+Gn+1) per n≥0. Scegliendo vari valori di x, la successione si comporta in maniera diversa: per esempio per x=0 oscillerà sempre tra i valori 0 e 1. In genere avremo sempre delle oscillazioni: qui a fianco vedete il comportamento per x=0,5 (più oscillazioni) e x=0,73 (meno oscillazioni).
Fin qui nulla di strano: non si può pretendere che tutte le successioni si comportino come vogliamo noi. Quello è un po’ più strano, come si può leggere nella pagina di MathWorld dedicata, è che esiste un unico valore per cui la successione converge. Tale valore, chiamato costante di Grossman dal matematico che inopinatamente aveva usato la successione come problema, è pari a 0,73733830336929…; nessuno sa però dare una formula per ricavare questo valore esplicitamente. Dura la vita dei matematici!