Monthly Archives: January 2017

Solo con zero e uno

Immagino sia noto a tutti che se un numero ha come fattori primi solo 2 e 5, esiste un suo multiplo che è una potenza di 10. Sapete anche tutti che 111 è un multiplo di 3, e 111.111.111 un multiplo di 9. Combinando quelle proprietà, vediamo anche che 1110 è un multiplo di 6, e magari ricordate anche che 1001 è multiplo di 7, di 11 e di 13, essendo il loro prodotto. A questo punto potrete magari chiedervi se è vero o no che dato un qualunque numero intero ci sia un suo multiplo che contenga solo le cifre 1 e 0. Che ne dite?

La risposta è affermativa, e una possibile dimostrazione sfrutta una proprietà che potrebbe sembrare fuori luogo in questo caso: il principio dei cassetti, quello che afferma che se metto k+1 calzini in k cassetti allora almeno un cassetto conterrà due calzini. (Ne avevo parlato qui sul Post). Dato un numero qualunque n, prendiamo i numeri 1, 11, 111, … fino a quello composto da n+1 cifre 1, e consideriamo il resto della divisione per n di ciascuno di questi numeri. Otterremo n+1 risultati, tutti compresi per definizione tra 0 e n−1, e quindi al più di n valori diversi; per il principio dei cassetti almeno due di tali resti, diciamo quello del numero con p cifre e di quello con q cifre, devono pertanto avere lo stesso valore. Per fissare le idee immaginiamo che p>q e che il resto comune della divisione dei due numeri per n sia r. A questo punto basta prendere i due numeri corrispondenti e sottrarli tra loro: avremo un numero della forma 111…111000…000, con pq 1 e q 0, che per costruzione è multiplo di n. Infatti esso è la differenza di un multiplo di n più r, e di un altro multiplo di n sempre più r; possiamo raccogliere insieme i due multipli ed eliminare gli r.

Chi ha studiato matematica un po’ più avanzata (a livello universitario di base) e conosce la funzione totiente φ(n) (il numero di numeri inferiori a n e primi con esso) e il Piccolo teorema di Fermat nella generalizzazione di Eulero, che afferma che se a è primo con n allora aφ(n) ≡ 1 (mod n) può anche calcolare una stima superiore per il numero minimo di cifre di un tale multiplo. Se n è primo con 10, infatti, sappiamo che 10φ(9n) ≡ 1 (mod 9n), e pertanto (10φ(9n)−1)/9 è composto da φ(9n) cifre 1. Se invece n è della forma 2a5b, a seconda se a è maggiore o minore di b lo possiamo moltiplicare per 5a−b o 2b−a e ottenere una potenza di 10 (se a=b la potenza ce l’abbiamo già). Combinando i due risultati possiamo dire che un limite superiore per il numero di cifre del multiplo è φ(9n)|a−b|.

Carnevale della matematica #105

“il merlo melodioso tra i cespugli”
(Poesia gaussiana)

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Benvenuti all’edizione numero 105 del Carnevale della Matematica, che dopo sette mesi ritorna qui sul Post! Poiché 105 è il prodotto di tre primi dispari diversi, la cellula melodica, preparata come sempre da Dioniso, è particolarmente melodiosa: come dice Dioniso, «una bella cellula di gradi congiunti nella scala di re minore… oppure nel modo frigio degli antichi greci?». Eccola:

Tradizione ora vorrebbe che si parli delle caratteristiche del numero 105: ma poiché questo è il primo Carnevale del 2017, inizio invece con alcune caratteristiche di questo numero. Gli anglofoni possono anche vedere questo video di Matt Parker, nome che non dovrebbe esservi nuovo.

  • 2017 è primo.
  • Se inserite un 7 tra due cifre qualunque di 2017, ottenete un numero primo. Insomma 27017, 20717 e 20177 sono primi. Purtroppo 72017 è multiplo di 11…
  • La radice cubica di 2017 è approssimativamente 12,63480759, numero che usa tutte le dieci cifre senza ripetizioni. 2017 è il più piccolo numero con tale proprietà.
  • 2017 può essere espresso come somma di cinque cubi di numeri interi positivi in due modi diversi: 2017 = 12³ + 6³ + 4³ + 2³ + 1³ = 10³ + 9³ + 6³ + 4³ + 2³.
  • Aggiungo un quizzino di Patrick Vennebush, da cui ho rubato anche le proprietà di cui sopra. Nel disegno qui a destra (non in scala), l’area delle regioni azzurrine è indicata. Qual è l’area della regione rosa, quella con il punto interrogativo?

    Se torniamo al 105, oltre che all’omonima radio, abbiamo varie proprietà matematiche. Ho già detto che è il prodotto di tre numeri primi distinti, e quindi è sfenico; ma è anche il valor medio dei primi quadrigemini {101, 103, 107, 109} (gli altri numeri minori di 1000 con questa proprietà sono 9, 15, 195 e 825). È un pseudoprimo nelle basi 13, 29, 41, 43, 71, 83 e 97. Visto che la somma dei fattori primi distinti di 105 è 15 (3+5+7), come quella dei fattori primi distinti di 104 (2+13), i due numeri sono una coppia di Ruth-Aaron. Più semplice notare che è un numero triangolare e dodecagonale; meno interessante che sia un numero idoneo. Fa parte di ben 14 terne pitagoriche, ed è palindromo in base 4 (12214), base 8 (1518) e base 20 (5520). Infine è il numero atomico del dubnio, che fino al 1997 era chiamato hahnio; ma tanto non lo si compra al supermercato e neppure con Amazon Prime, quindi non c’è chissà quale problema.

    E ora basta con le proprietà numeriche! Il tema di questa edizione è “dimostrazioni non standard”, ma come forse sapete io non verifico mai chi segue davvero il tema: troppa fatica. Ecco i contributi ricevuti, in ordine di ricevimento, e con le mie note sparse scritte tra parentesi quadre e in corsivo.

    Cominciamo con Dioniso, che non solo ha prodotto la cellula melodica ma ha anche scritto più o meno ovunque. Dioniso scrive; «Spesso, quando mi trovo a leggere dei saggi, ho l’abitudine di annotarmi e/o condividere i passaggi che ritengo più interessanti. Con “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini la cosa mi rimane difficile perché, un po’ come la storia della mappa di Borges, il risultato delle mie annotazioni tendono essere una mappa uno a uno e a coincidere con il libro stesso.» In compenso, scrive sempre Dioniso, «Durante l’intervista di Fabio Fazio Zellini non ha brillato. Nonostante la complessità del tema si sarebbe potuto preparare un po’ meglio per presentare un libro di notevole spessore. Certo è che i tre minuti di introduzione di Fazio sono stati penosi: una fiera del luogo comune sulla matematica.» [Zellini all’università spiegava bene, però i suoi libri sono davvero troppo densi, e forse non era il caso di andare da Fazio]. Infine Dionisoo parla dei suoi “ternologi”, sia in inglese, nel blog che in lingua italiana: «In seguito alla pubblicazione su Mathematics in Europe, dopo Lorenzo, lo studente del Politecnico di Torino, anche il professor Shaun Stevens propone una nuova 2-ternoformula per il 7. E quale modo migliore di fare gli auguri di buon anno se non attraverso un n-ternologio?

    Mauro Merlotti dice che – volendo proprio tirare per i capelli la giustificazione del tema – nel suo post Il teorema di Pitagora si parla del teorema di de Gua, e questo può essere considerato un modo non standard di dimostrare il teorema di Pitagora (o no?). Mauro ha sempre pensato che quest’ultimo fosse una sorta di magia ed è ancora più incredibile pensare che sia anche generalizzabile; inoltre consiglia «di andare a leggere la pagina di Wikipedia relativa al teorema di Pitagora (da cui sono state prese le animazioni), per rendersi conto di quante poche gioie della matematica vengano rivelate nel periodo scolastico (almeno quando ci andavo io).» [Il guaio è che il teorema di Pitagora viene dimostrato seguendo gli Elementi di Euclide, come se fosse una trappola per topi: non lo dico io ma Schopenhauer.]

    I contributi di Paolo Alessandrini spaziano dall’informatica agli sport. In “I Premi Turing: Michael Rabin e Dana Scott“, lo spunto offerto dall’ennesima puntata della serie dedicata al più prestigioso riconoscimento del mondo della computer science è utile per parlare di un argomento interessante dell’informatica teorica: gli automi non deterministici. In “Gli enigmi di Coelum: La Coppa dei Mondi“, invece, Mr Palomar presenta qualche considerazione sul problema del calendario di un torneo sportivo, tratto dai problemi pubblicati sulla rivista Coelum; infine “Buon 2017” racconta un po’ di cose sul numero 2017, che tra l’altro è un primo di Friedlander-Iwaniec. [Questo mi mancava, ma non si può pretendere tutto dalla vita…]

    Annalisa Santi è stata molto non standard. «Leggendo il tema del Carnevale della Matematica di gennaio 2017 mi era tornato alla mente un dattiloscritto “L’analisi matematica standard e non standard rivista in una nuova prospettiva scientifica e culturale” che mi era capitato di leggere tempo fa e che trovai davvero illuminante. Si tratta di un dattiloscritto molto tecnico e per addetti ai lavori in cui si sottolinea il ruolo degli assiomi fondamentali, dei concetti base della matematica di cui però non voglio qui parlare, anche perché non sarei in grado di farne un sunto coerente e scientificamente appropriato alla genialità di chi l’aveva scritto, il grande matematico Ennio De Giorgi.
    Propongo quindi una video/intervista dell’Unione Matematica Italiana del luglio 1996, fatta da Michele Emmer pochi mesi prima della morte di De Giorgi (8 febbraio 1928 – 25 ottobre 1996) e riproposta dal Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi lo scorso settembre 2016.
    Ascoltarlo sarà sicuramente un piacere anche perché, come simpaticamente diceva De Giorgi, “scripta volant, verba manent”! Il link si trova a Ennio De Giorgi, video/intervista a un grande matematico del ‘900». [La leggenda dice che De Giorgi uscì per la prima volta con quella frase perché una ventata aveva fatto volare per tutto il suo studio i fogli dei suoi appunti…]

    Roberto Zanasi deve aver visto una retrospettiva di Lina Wertmüller, e ha scritto Elenco di volumi poco standard che il sovrano della Persia avrebbe dovuto usare per contenere tutto il riso chiesto da Sissa Nassir. Quanto spazio serve per tutto il riso chiesto da quell’esoso di Sissa Nassir? [Tanto, ma è interessante vederlo casella per casella]

    Veniamo ora a MaddMaths!, come sempre ricco di spunti. Nell’ordine abbiamo:

    • Ripetizioni. Puntata 9: “Informatica”. Davide Palmigiani continua le sue ripetizioni e questa volta si parla di informatica, codice binario e … contare con le dita!
    • La matematica umida dell’evoluzione #10. The Last Woman, volume II. Seconda puntata di una specie di spinoff della Matematica Umida dell’Evoluzione, dedicato a le possibile interazini tra Mary Shelley e Charles Darwin. Sempre ad opera dell’infaticabile Davide Palmigiani.
    • Archimede chiude l’anno con un numero con in copertina Maria Gaetana Agnesi (a fumetto). Potete gustare una sostanziosa anteprima di questo numero 4/2016; chi volesse invece leggere l’introduzione scritta da Andrea Plazzi a “Versoria Vitae”, un fumetto di Giovanni Eccher e Andrea Borgioli dedicato alla matematica italiana Maria Gaetana Agnesi, vada a Archimedia 4/2016: Versoria vitae.
    • Si concludono i temi elaborati dai ragazzi della Scuola Astre di Roma Tre. La dissertazione breve di Marco Coccoli Scuola Astre #5 – Sei Gradi di Separazione: un mondo sempre più piccolo è stata pensata come materiale per un seminario introduttivo ad un corso base di “Social Marketing” per studenti di un corso di laurea triennale.
    • Che c’è di meglio per iniziare bene il nuovo anno dell’Almanacco MaddMaths! 2016? Con questo ennesimo Almanacco si continua una tradizione che ci sta accompagnando da qualche anno (se leggete fino in fondo trovate i link agli Almanacchi passati), con una piccola selezione
      degli articoli ritenuti particolarmente significativi di come la redazione abbia provato a fare MaddMaths! in questo anno appena trascorso.
    • Un divano può diventare un problema di matematica? Sì, se a parlarne è
      Nicola Ciccoli e avete un corridoio a gomito (o a doppio gomito!).
    • Inizia una nuova rubrica di MaddMaths “Spazio agli Spazi!”, a cura di Sandra Lucente, che si occuperà di dimensioni. Ogni mese un piccolo racconto per visitare mondi dimensionalmente diversi. Chiunque voglia collaborare è benvenuto! Il primo racconto è Dimensione zero: il punto, di Antonio Lotta e Sandra Lucente.
    • Infine, il dibattito sull’Esame di Stato 2017. Come forse saprete c’è una certa preoccupazione tra insegnanti, studenti e famiglie per il fatto che quest’anno la seconda prova scritta per la maturità dello scientifico potrebbe essere di fisica, invece che di matematica. La Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica dell’Unione Matematica Italiana (CIIM) ha preso posizione con un documento che pubblicato anche su MaddMaths!. MaddMaths! ha aperto un dibattito su questa questione, ascoltando diversi pareri autorevoli che trovate sul sito, sperando di trovare ascolto da parte del MIUR.

    [Se io avessi avuto la prova scritta di fisica mi sarei sparato…]

    Anche Math is in the Air ha ospitato contributi di varie persone.

    Per quanto riguarda i Rudi Mathematici, forse in omaggio al Giano bifronte i loro contributi sono presentati a coppie.

    • Una coppia di problemi coming from the Canterbury Tales: L’enigma del Cuoco e L’enigma dell’Apparitore.
    • Una coppia di compleanni: Lasker, pieno zeppo di guerre e guerreggiatori su scacchiera, e Del Monte, pieno zeppo di guerre e guerreggiatori sul pianeta.
    • Una coppia di prodotti interni: marchetta ad uso del Calendario di RM, uscito in ritardo, e fantasma di marchetta ad uso di RM216, che non è uscito e non sappiamo quando uscirà, ma se mai lo facesse lo farà qui [speriamo che non esca dopo metà febbraio…]
    • Officiante dei tre accoppiamenti (e quindi scoppiato, come da tradizione), la soluzione del problema del mese.

    Gianluigi Filippelli infine ci presenta tre contributi. Mondo Matematico: Il teorema di Pitagora è la recensione del libro di Claudi Alsina La setta dei numeri dedicato al famoso teorema; [cosa stavo dicendo del matematico dell’anno?] Le simmetrie di una catena di Ising, tra matematica e fisica, parla delle connessioni, anche sperimentali, tra il gruppo E8 e il modello di Ising sui sistemi ferromagnetici [e mi ha richiamato alla mente il primo anno dell’università… avevo gli incubi al riguardo]; Le grandi domande della vita: da Goku al pi greco è un post piuttosto discorsivo su alcune domande uscite su Quora che potrebbe essere considerato una sorta di “fisica dei supereroi”. Nella parte centrale del post anche un paio di conti relativistici.

    [ah già, devo anche dire cosa ho scritto io in questo mese. Più o meno il solito. Qualche recensione di libri: L’algoritmo definitivo, più sull’intelligenza artificiale ma con addentellati matematici; Misinformation, matematica applicata alle scienze sociali; Il magico mondo dei numeri con curiosità per ragazzi. Qualche quizzino della domenica: Aggiusta l’operazione, du’ du’ du’, 2017 e Lettere 2. La non bella notizia che MATE ha terminato le pubblicazioni. L’ancor più triste notizia che è morto Piero Torasso. Un pippone tangente alla matematica sulla storia di Roberto Burioni e la sua lotta pro-vaccini: La scienza non è democratica. E la sua comunicazione?. Anche Disney sbaglia.
    Qui sul Post ci sono invece i Problemini per Natale 2016 con relative soluzioni; una Pillola su Come dimostrare che la radice cubica di 2 è irrazionale, che è sicuramente una dimostrazione non standard, e Accoppiamenti e partite fantasma che usa anch’esso tecniche di dimostrazione un po’ esotiche.]

    Termino segnalando che l’edizione numero 106 del Carnevale (nome in codice “canta vispo”), come è d’uso in febbraio, si terrà dai Rudi Matematici, sempre che – come mi scrisse Piotr – riusciranno a pubblicarla entro il 28 giugno 2019: evidentemente vogliono passare da π a τ. Buona lettura!

Accoppiamenti e partite fantasma

In uno tra i tanti problemini presentati da Martin Gardner, un adolescente chiede a suo padre se può uscire con gli amici sabato sera. Suo padre gli risponde “Facciamo un patto. Da oggi a venerdì ci sono tre giorni. Ogni sera, mamma e io ci alterneremo a fare una partita a scacchi con te: se ne vincerai due due di fila, potrai uscire sabato: altrimenti sarai di corvée a pulire casa per una settimana”. Il ragazzo risponde “Va bene. Con chi comincerò a giocare?” e il padre “Scegli tu”. Se la mamma è più brava del padre a giocare a scacchi, cosa gli conviene fare?

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