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Risposte ai problemi per Pasqua 2013

Avete avuto problemi nel risolvere i problemi di domenica scorsa? Nema problema! Eccovi le soluzioni.

1. Mattoni
I lati del parallelepipedo sono 3, 11 e 61: il volume è pertanto 2013 (sì, abbiamo ancora problemi sull’anno in corso)

2. Ventiquattro
Le soluzioni per le cifre diverse da 1 e 7 sono indicate qui sotto.

22+2 = 24
3^3 - 3 = 24
(4 + 4 - 4)! = 24
(5 - 5/5)! = 24
(6/.6 - 6)! = 24
8 + 8 + 8 = 24
(√9 + 9/9)! = 24

La notazione .6 sta naturalmente per 0,6. I casi di 1 e 7 sono mostrati nella figura seguente, dove la barra indica il periodo di un numero periodico.

3. Salti
Tralasciamo per un momento il dover tornare al punto di partenza, e immaginiamo che tutti i salti siano nella stessa direzione. Se si fanno n salti, si arriverà al punto n(n+1)/2; quindi se n è pari a 1 oppure a 2 modulo 4 il valore finale sarà dispari, e sarà impossibile dividere i salti nelle due direzioni per tornare al punto di partenza. Se invece n è pari a 0 modulo 4, seguendo un semplice schema di salti sinistra-destra-destra-sinistra si è certi di essere al punto di partenza ogni quattro salti; se n è pari a 3 modulo 4 si cominci a fare i primi due passi a destra e il terzo a sinistra, tornando all’origine; a questo punto si è tornati al caso precedente, da bravi matematici 🙂 In definitiva, l’anno successivo sarà il 2015.

Un problema a cui non ho risposta è decidere qual è la minima lunghezza di un segmento di retta necessario per poter fare tutti i salti. La mia congettura (emendata dopo che mi è stato fatto notare che avevo sbagliato) è che basti un segmento da -1 a n: il lettore gnugnu mi ha confermato che l’intervallo [0,n] basta per qualsiasi n esclusi i valori 4, 7, 11, 16, 20 per cui occorre [-1,n].

4. Dodici per dodici
Una possibile soluzione è quella indicata qui sotto. Il triangolo rettangolo completo avrebbe area 24: togliendo i tre quadrati si ottiene 12.

una figura con l'area richiesta

5. Successioni
Le date della successione sono quelle la somma delle cui cifre è 6. Pertanto il termine successivo è 2103 (e quello precedente, per la cronaca, 1500).

Risposte ai quizzini di Pasqua 2016

Ecco le soluzioni tanto agognate!

1. Da 10 a 1
Si può scendere a 22 caratteri, per esempio con 10×9×8×7×6÷5÷(4−3+2)×1.
Se si fosse potuto concatenare le cifre, si sarebbe potuto scendere a 17 caratteri con 10+9×8−7+654×3−21.
(fonte)

2. Tre interi positivi
Il minor valore possibile per ab+c è 96. Innanzitutto possiamo ottenere 96 scegliendo a=1, e {b,c} = {31,65}. Per dimostrare che non si può scendere sotto 96, considerando la disuguaglianza aritmo-geometrica abbiamo che ab+c≥2√(abc) = 2√(a(2016−a) = 2√(1008²−(1008−a)²). Poiché 2√(1008²−1006²) > 96, abbiamo che |1008−a| > 96. Le uniche possibilità sono a=1 e a=2015: quest’ultima non è chiaramente valida, quindi abbiamo a=1 e bc=2015, e tra tutti i modi di scrivere 2015 come prodotto di due fattori quello con la somma minore dà per l’appunto 96.
(fonte)

3. Quattro 4
La soluzione è 2016 = (4+4)! / (4! − 4).
(fonte)

4. Disuguaglianze
Elevando entrambi i valori all’esponente 2015*2016, otteniamo rispettivamente (2015!)^2016 e (2016!)^2015. Dividendoli entrambi per (2015!)^2015 otteniamo rispettivamente 2015! e 2016^2015, da cui si vede immediatamente che il secondo è maggiore del primo, perché entrambi sono il prodotto di 2015 valori dei quali quelli del secondo numero sono tutti strettamente maggiori di quelli del primo.
(fonte)

5. Numeri autocomponibili
Come ha scoperto Marco Broglia, 2016=(.2/.(1)+0!)*6!
(fonte)