Monthly Archives: March 2016

Quizzini per Pasqua 2016

Le tradizioni si rispettano… Eccovi cinque problemi, tutti relativi al numero 2016. La prossima settimana ci saranno le soluzioni.

1. Da 10 a 1
Scrivete i numeri da 10 a 1 in ordine inverso,
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
e inserite i segni delle quattro operazioni ed eventualmente parentesi per ottenere 2016 usando il minor numero di caratteri possibile. Una soluzione per esempio sarebbe (10-9)*8*7*(6-5)*4*3*(2+1) che usa 26 caratteri, ma si può fare di meglio. (Nota: non vale usare la moltiplicazione implicita, tipo 7(6-5) anziché 7*(6-5). L’espressione deve poter essere messa su Google ed essere riconosciuta. Né vale concatenare le cifre, usando per esempio 76)

2. Tre interi positivi
Trovate il minor valore possibile per l’espressione ab+c, dove a,b,c sono interi positivi e a+bc=2016.

3. Quattro 4
Come forse sapete, se si accetta come operatore il logaritmo naturale allora è possibile scrivere un qualunque numero intero usando solo quattro 4 e un po’ di operatori matematici. I curiosi possono vedere la formula su Wikipedia. Eliminiamo dunque il logaritmo e permettiamo solo le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, la radice quadrata (e quarta, se proprio volete), il fattoriale e il punto decimale, oltre a tutte le parentesi che volete. Esprimete 2016 usando solo quattro 4.

4. Disuguaglianze
Quale di questi due numeri è maggiore: 2015√(2015!) oppure 2016√(2016!)?
(se non si leggono bene i numeri, sono la radice 2015ma del fattoriale di 2015 e la radice 2016ma del fattoriale di 2016)

5. Numeri autocomponibili
Chiamiamo un numero autocomponibile se può essere ottenuto usando le cifre del numero stesso (ogni cifra una e una sola volta) per mezzo di varie operazioni aritmetiche: le quattro operazioni di base, l’elevazione a potenza, il fattoriale, il punto decimale come in 4.5 oppure in .5, la notazione .(n) per indicare n periodico, la radice quadrata (ed n-sima se n è una cifra presente nel numero di partenza…), e tutte le parentesi che si vuole. Esempi di numeri autocomponibili sono 25 = 5² e 343 = (3+4)³; in questo caso il numero è ordinatamente autocomponibile, perché le cifre usate nell’espressione sono nello stesso ordine di quelle del numero. Bene: mostrate che 2016 è autocomponibile.

Il premio Abel 2016 a sir Andrew Wiles

Immagino abbiate letto che il premio Abel 2016, la cosa più vicina al Nobel che la matematica ha, è stato assegnato a sir Andrew Wiles. “Quello che ha dimostrato l’ultimo teorema di Fermat!” direte, ed è indubbiamente vero, anche se formalmente ha dimostrato la congettura di Taniyama-Shimura(-Weil), che ha come corollario la proposizione del grande avvocato tolosano, e anche se alla fine ha dovuto chiedere l’aiuto di un altro matematico, Richard Taylor, per tappare l’ultimo buco. Cosa ha fatto d’altro? Confesso di non saperlo. Ma allora ha senso premiare una persona per avere dimostrato un unico teorema di teoria dei numeri, di per sé senza nessuna applicazione pratica come anche Gauss ebbe a dire? Beh, sì.

[Mica capita a tutti di avere un edificio a proprio nome!]
Mica capita a tutti di avere un edificio a proprio nome! (Foto: John Cairns)

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Pi come pizza [Pillole]

Peccato che non siamo residenti negli stati continentali degli Usa. In onore del π Day, il giorno dedicato a pi greco, Pizza Hut offrirà infatti 3,14 anni di pizza gratis ai primi risolutori di tre problemi creati da John Horton Conway, uno dei più famosi matematici viventi. Il concorso ovviamente sarà domani, il 14 marzo: potete leggere di più sul blog di Pizza Hut, dove troverete anche il link se volete comunque cimentarvi coi problemi.

Siamo stati superati dalle macchine anche nel Go?

Io non ho mai capito come si gioca a Go. Non tanto le regole – quelle sono facili – ma proprio la strategia da seguire. A quanto pare, però, il programma di Google AlphaGo l’ha “capito”: perlomento, dopo avere stracciato 5-0 il campione europeo, ha appena vinto la seconda partita consecutiva contro Lee Sedol, che anche se non è il “campione mondiale di Go” (almeno a inizio 2016) è il secondo nel ranking mondiale.

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La congettura degli insiemi union-closed [Pillole]

Partiamo da una definizione non molto complicata. Una famiglia di insiemi si dice chiuso rispetto all’unione (“union-closed” in inglese, forma che userò perché molto più compatta) se presi due qualunque insiemi della famiglia la loro unione fa ancora parte della famiglia. Prendiamo per esempio la famiglia formata da {}, {1,3}, {2}, {1,2,3,42}; essa non è union-closed perché gli manca l’unione di {1,3} e {2}, ma se aggungiamo {1,2,3} lo diventa. Bene: nella famiglia completa è facile vedere che c’è un elemento, 2, che appartiene almeno a metà degli insiemi. È sempre vero che data una famiglia finita union-closed di insiemi finiti c’è un elemento che appartiene almeno a metà degli insiemi? Non si sa. La congettura è stata posta da Péter Frankl nel 1979 e almeno secondo Wikipedia ha finora resistito a ogni tentativo di risoluzione. Ci sono vari tipi di famiglie di insiemi per cui la congettura è vera, ma non si sa di più.
Se vi dicono che la combinatorica è una parte della matematica facile, perché basta fondamentalmente saper contare, potete presentargli questo esempio…