Monthly Archives: December 2015

Problemini per Natale 2015

Le tradizioni vanno rispettate, vero? Ecco i soliti cinque problemini, le cui soluzioni posterò il 31 dicembre. Se state attenti, trovate anche gli aiutini!

1. Fibonacci
I numeri di Fibonacci li conoscete tutti: si parte da F1=F2=1 (e se volete, F0=0) e da lì ogni numero è la somma dei due precedenti: 1, 1, 2, 3, 5 8, 13, 21…
Dimostrate che esiste un numero di Fibonacci che termina con 2016 zeri consecutivi.

Usate l’aritmetica modulare

2. Dopo la virgola
Sia dato il numero A=(2+√2)2016. Scriviamolo in base 10: qual è la sua quarantaduesima cifra decimale?

Sommateci un numero della forma ab2016

3. L’età dell’insegnante
Con la Buona Scuola è arrivato un nuovo insegnante nella classe dei miei gemelli. Jacopo gli ha subito chiesto “Quanti anni hai?” e lui ha risposto: “Guarda, nel 2016 compirò un numero di anni pari alla somma delle cifre dell’anno in cui sono nato”. In che anno è nato l’insegnante?

D’accordo giovani, ma gli insegnanti sono nati nel secolo scorso

4. Numeri carbossilici
Definiamo un numero carbossilico se è esprimibile come somma di numeri tutti diversi, maggiori di 9 e formati da un’unica cifra. Per esempio, 2008 = 1111 + 666 + 99 + 88 + 44. Bene: 2016 è o non è un numero carbossilico?

2016 è uguale a 3 modulo 11

5. Prodotti notevoli
Risolvete l’equazione
(x2016+1)(1+x2+x4+x6+…+x2014) = 2016x2015.

Usate la disuguaglianza aritmo-geometrica

La scala del diavolo

Quando verso la metà del diciannovesimo secolo iniziò la grande opera di consolidamento dell’analisi matematica, la spinta non fu certo data dai professori che volevano tendere tranelli ai propri studenti: molto più banalmente ci si era accorti che alcune idee “ingenue” che si avevano sul comportamento delle funzioni andavano benissimo quando si dovevano trattare enti fisici (da cui la famigerata definizione di “well behaved functions”, cioè “funzioni su cui si possono applicare i teoremi che ci interessano”) non erano sempre vere, e quindi bisognava fermarsi e capire cosa stava succedendo. Un esempio tipico di queste funzioni, che inizialmente furono chiamate patologiche perché si pensava fossero eccezioni e non la norma, è la funzione di Dirichlet: χ(x) vale 0 se x è un numero irrazionale e 1 se x è razionale. Il grafico di questa funzione, se di grafico si può parlare, assomiglia a due rette orizzontali un po’ sbiadite perché mancano loro infiniti punti: quella più in alto dovrebbe essere più sbiadita perché ha meno punti, ma non credo se ne accorgerebbe nessuno. Ma ci sono funzioni molto più curiose!

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