Monthly Archives: April 2015

Parole matematiche: mantissa

Quella di oggi è un’eccezione, perché “mantissa” non viene usata in italiano se non per il suo significato matematico: la parte decimale di un logaritmo in base dieci, quella insomma che si andava a cercare nelle tavole dei logaritmi. Tra l’altro l’uso attestato in italiano è piuttosto recente: il DELI indica come fonte la Treccani (nel volume pubblicato per la prima volta nel 1934). A voler essere molto buoni, potremmo forse considerare il significato arcaico di “aggiunta”, attestato nel dizionario del Petrocchi del 1891. D’accordo, questo mostra che i linguisti non sono poi così interessati alla matematica e che oggi si possono fare ricerche più accurate standosene seduti alla scrivania: per esempio si può notare come nelle Tavole de’ logaritmi dei numeri naturali da 1 a 101000 di Giovanni Santini, pubblicate nel 1820 e che potete comodamente consultare su Google Books il termine è già usato nella nostra lingua. Però la storia della parola è divertente, e quindi merita due parole.

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Risposte ai problemini per Pasqua 2015

Lo so che stavate aspettando con ansia le risposte!

1. Non troppa area

Dividete il quadrato in quattro parti uguali. Per il principio dei cassetti, almeno una di queste parti conterrà tre punti. Ma visto che nessuno di questi punti può trovarsi nel perimetro del quadrato originario, l’area del triangolo formato da essi dev’essere per forza meno della metà di quella del quadratino, quindi 1/8.

2. Radici, solo radici

Iniziamo a mostrare che il valore x dell’espressione è finito, e per la precisione minore o uguale a 6. Ovviamente √6 < 6; √(6+√6) < √(6+6) < 6; e così via per induzione. (Notate che andando all’infinito il < potrebbe diventare un ≤; ma questo non ci interessa).
Poiché x è finito, possiamo elevare al quadrato i due membri, ottenendo x2 = 6 + x. Quest’equazione ha come soluzioni −2, evidentemente spuria e da scartare, e 3.

3. Prodotti notevoli

Espandendo il prodotto, eliminando i cubi e dividendo per mn otteniamo l’espressione mn+1=3m+3n, che si può scrivere anche come (m−3)(n−3)=8. Poiché 8 può essere fattorizzato solo come 1×8, 2×4, −1×−8, −2×−4, le risposte possibili oltre a (0,0) sono (1,−1), (2,−5), (4,11), (5,7) oltre alle loro simmetriche.

4. Cancellazioni

Come sapete, la regola dice “più per più fa più, più per meno fa meno, meno per più fa meno, meno per meno fa più”. Considerate ora i vari prodotti xixi+1. Perché la loro somma faccia zero, metà di essi devono valere 1, metà −1. Pertanto in esattamente metà degli addendi ci sarà un cambio di segno. Ma il numero complessivo di cambi di segno deve essere pari, perché abbiamo un ciclo; ma se metà degli addendi sono un numero pari, gli addendi tutti saranno un multiplo di 4.

4. Zigzag

I triangoli AA1B, A1A2B1, A2A3B2, … sono tutti simili e ognuno è la metà del precedente. La somma richiesta sarà pertanto il doppio del segmento A1B, e in definitiva varrà 4√5.

Problemini per Pasqua 2015

Stavolta i problemini sono tratti da varie gare matematiche (per giovani, non preoccupatevi…) e recuperati dal sito Gifted Mathematics.

1. Non troppa area

All’interno (quindi non sul perimetro!) di un quadrato di lato 1 ci sono nove punti. Dimostrare che se ne possono trovare tre che formano un triangolo di area minore di 1/8. Ovviamente tre punti collineari formano un triangolo di area 0.

2. Radici, solo radici

Calcolate il valore (ammesso che sia finito…) dell’espressione qui sotto.

sqrt(6+sqrt(6+sqrt(6+...)))

3. Prodotti notevoli

A parte la soluzione banale (0,0), quante altre soluzioni intere (positive o negative) ci sono per la seguente equazione?
(m2+n)(m+n2) = (m+n)3

4. Cancellazioni

Vi viene detto che in una delle soluzioni dell’equazione
x1x2 + x2x3 + x3x4 + … + xnx1 = 0 tutti gli xi hanno valore +1 oppure −1. Dimostrate che n dev’essere multiplo di 4.

5. Zigzag

zigzag Il triangolo ABC qui a fianco ha i lati lunghi 4. Il punto A1 è a metà del segmento AC e il segmento A1B1 è perpendicolare ad AC; similmente il punto A2 è a metà del segmento A1C e il segmento A2B2 è perpendicolare ad A1C, e così via all’infinito. Quanto vale la somma di tutti i segmenti BA1+B1A2+B2A3+…?

Il più grande numero intero è 1 [Pillole]

Che ci crediate o no, è semplicissimo dimostrare che il più grande numero intero è 1. Non ne siete convinti? Eccovi la dimostrazione.

Innanzitutto, è ovvio che il quadrato del numero intero più grande di tutti non può essere più grande del numero stesso. Ora, il quadrato di un numero negativo è positivo e quindi sicuramente maggiore del numero stesso, così come il quadrato di ogni numero maggiore o uguale a 2. Gli unici candidati rimasti sono 0 e 1; poiché 1>0 la nostra tesi è dimostrata.

(se vi state chiedendo dov’è il trucco, dovete sperare che qualche anima pia ve lo spieghi nei commenti)