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Come calcolare pi greco a furia di rimbalzi

Tra qualche giorno è il 14 marzo, che gli americani scrivono 3.14; il giorno del pi greco, insomma. Come tutti gli anni ci saranno varie manifestazioni didattiche di argomento matematico, e come tutti i mesi avremo il Carnevale della Matematica: stavolta è ospitato da Gianluigi Filippelli. Nell’attesa del fatidico giorno, vi racconto un modo interessante per ricavare il valore di π con un calcolatore analogico piuttosto peculiare.

Forse conoscete già il metodo dell’Ago di Buffon, che non è quello con cui il portiere della nazionale italiana di calcio gonfia i palloni, ma un esperimento statistico che consiste nel lanciare una quantità di aghi su un pavimento a righe orizzontali (a distanza maggiore della lunghezza dell’ago), contare quanti toccano una riga, e ricavare una stima di π con semplici calcoli algebrici. Questa è una simpatica attività da fare con un ragazzino, soprattutto se poi lo si convince a rimettere a posto gli aghi, ma i risultati che si ottengono sono, beh, “casuali”. Un Vero Scienziato insomma storcerebbe il naso davanti a un’evidenza sperimentale non replicabile.

C’è però un altro esperimento assolutamente deterministico che permette di ricavare un’approssimazione del valore di π. Prendete due palline (perfettamente elastiche) della stessa massa e un muro (anch’esso perfettamente elastico); lanciate la prima pallina contro la seconda (che andrà a sua volta contro il muro, rimbalzando…) e contate il numero totale di rimbalzi. Il conto è semplice: quando la prima pallina colpisce la seconda resta immobile e dà tutta la sua quantità di moto alla seconda, che rimbalzerà contro il muro e ricolpirà la prima pallina, fermandosi a sua volta. Totale: tre collisioni. Abbiamo ricavato pi greco con una cifra significativa.

Detto così sembra una presa in giro, vero? Sono d’accordo con voi. Se però la massa della prima pallina è 100 volte quella della seconda, il movimento complessivo è parecchio diverso: la prima pallina cederà solo parte della sua quantità di moto alla seconda, e ci sarà una serie di furiosi rimbalzi di quest’ultima finché otterrà abbastanza quantità di moto per far cambiare direzione alla prima. Il numero totale di collisioni è 31; abbiamo dunque trovato la seconda cifra significativa di π. Se poi la massa della prima pallina fosse 10000 volte quella della seconda pallina, il numero di collisioni diventerebbe 314, e così via: ogni volta che centuplichiamo la massa della prima pallina possiamo ricavare una nuova cifra decimale di pi greco. Certo, eseguire in pratica questo esperimento è impossibile, ma questo non ha mai fermato i fisici e il loro amore per gli esperimenti concettuali.

Potete saperne un po’ di più leggendo Numberplay sul NYT: troverete anche una simpatica animazione Flash che fa rimbalzare due palline di massa variabile, oltre a tutta la spiegazione del perché esce fuori un’approssimazione di π legata alla radice quadrata del rapporto delle due masse. Ma forse la spiegazione toglie un po’ di poetica…

Post Scriptum: un lettore che vuole rimanere anonimo mi ha segnalato che il problema era apparso qualche anno fa su Rudi Mathematici, e al tempo aveva inviato una animazione GeoGebra che calcolava i rimbalzi (solo la metà, perché non vengono considerati quelli contro il muro). L’anonimo lettore è stato così gentile da lasciare disponibile la sua animazione: se avete GeoGebra installato potete scaricarla qui.