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Risposte ai problemi di Natale 2012

Se non siete ancora riusciti a risolvere i problemi di Natale, non preoccupatevi: le soluzioni sono qui sotto.

1. Somme
Perché 2013 sia somma di un numero dispari di interi positivi, questo numero deve essere un suo fattore: con i fattori 3, 11, 33, 61 si ottengono rispettivamente le somme 670+671+672, 178+179+…+188, 45+46+…+77, 3+4+…+63. Inutile proseguire, perché con fattori superiori si avrebbero numeri negativi nella somma.
Perché 2013 sia somma di un numero pari 2k di interi positivi, occorre che sia divisibile per k. I valori possibili sono pertanto 6, che dà 333+334+335+336+337+338 e 22, che dà 81+82+…102.
Se accettiamo anche interi negativi nelle somme, la risposta è molto semplice: ci sono otto casi di somme di un numero dispari di termini, e altri otto con un numero pari di termini, in totale 16.

2. Moltiplicazioni
Se fattorizziamo 2013, otteniamo 3×11×61. Per la stessa ragione – che poi è il principio dei cassetti – per cui in 2013 numeri consecutivi c’è sempre un multiplo di 2013, se prendiamo 61 numeri consecutivi ne avremo sicuramente uno multiplo di 61, uno multiplo di 11 e uno multiplo di 3 e quindi il prodotto sarà multiplo di 2013. In compenso, il prodotto dei numeri da 1 a 60 non è multiplo di 61, e quindi nemmeno di 2013. Il numero N da noi cercato è pertanto 61.

3. Fattori
Qwfwq e il suo maestro vivono in un pianeta che non usa la nostra usuale base di numerazione 10. Ci sono due soluzioni: se usano la base 4, il numero che loro chiamano 2013 equivale nella nostra base a 2×64+1×4+3, cioè 135, che si fattorizza come 33×5, mentre se usano la base 6 il numero è 2×216+1×6+3, cioè 441, che si fattorizza come 32×72. Ma naturalmente 5 in base 4 e 7 in base 6 si scrivono 11… e tutto torna!
(Avete notato tra l’altro come il criterio di divisibilità per 11 sia lo stesso in entrambe le basi? questo non è affatto un caso. Insomma, 2013 è sempre divisibile per 11, in qualunque base sia scritto)

4. Lettura
Il problema non ha soluzione! Ci sono infatti 9 numeri di pagina a una cifra, e 90 a due cifre, per un totale complessivo di 189 cifre. Per arrivare a 2013 restano altri 1824 numeri, che diviso per 3 fa 608; partendo da 100, arriviamo pertanto a 707 pagine. Peccato che un libro abbia necessariamente un numero pari di pagine…

5. Contare sulle dita
Se si esclude il primo conteggio, a ogni giro Cecilia aggiungerà 11 al suo totale (dodici falangi meno quella di partenza). Quindi si toccherebbe la falange del mignolo nei multipli pari di 11 e quella dell’indice nei multipli dispari di 11, come per l’appunto 2013. Però nel primo conteggio si usa un numero in più, quindi in realtà il 2013 corrisponderà alla falangina dell’indice.

Problemi di Natale 2012

E anche quest’anno siamo arrivati a Natale, e ai problemi natalizi del blog di matematica! Quest’anno, a dire il vero, i problemi sono più per l’anno nuovo, nel senso che tutti e cinque sono basati sul numero 2013. Visto che pubblicherò le soluzioni il 31 dicembre, anche se non riuscite a risolverli per conto vostro avete la possibilità di riciclarveli durante il veglione!

1. Somme

È facile ottenere 2013 come somma di interi positivi consecutivi: anche tralasciando la soluzione che prevede la “somma” del singolo elemento 2013, si possono sommare i due numeri 1006+1007. Ci sono altre soluzioni possibili? E se si accetta che nella somma ci siano anche numeri interi negativi, quante sono in tutto le soluzioni possibili?

2. Moltiplicazioni

Se moltiplichiamo tra di loro 2013 numeri interi positivi consecutivi, sicuramente il prodotto – oltre che essere molto grande… – è un multiplo di 2013. Ma se volessimo tirare al risparmio, qual è il minimo numero N tale che se moltiplichiamo tra di loro N interi positivi consecutivi siamo certi di ottenere un multiplo di 2013?

3. Fattori

A scuola, il piccolo Qwfwq alza la mano.
– “Lo so! lo so! Gli unici fattori primi distinti di 2013 sono 3 e 11!”
– “Bravo, Qwfwq: la risposta è corretta, visto che vi ho insegnato che 1 non è considerato un fattore primo”.
Come è possibile? (no, non vale dire “sono tutti impazziti”. La risposta deve essere matematicamente valida)

4. Lettura

Il libro che sto leggendo ha tutte le sue pagine numerate, naturalmente a partire da 1 e consecutivamente. Contando le cifre presenti in tutti i numeri di pagina, si arriva a 2013. Quante pagine ha il libro?

5. Contare sulle dita

Mia figlia Cecilia sta imparando a contare sulle dita. Solo che ha un metodo particolare: usa il pollice e conta sulle falangi delle altre dita. Sale sul mignolo, contando 1,2,3; scende sull’anulare, 4,5,6; sale sul medio, 7,8,9; scende sull’indice, 10,11,12. A questo punto torna indietro, risalendo sull’indice, e contando 13,14; scendendo sul medio, 15,16,17; salendo sull’anulare, 18,19,20, e scendendo sul mignolo, 21,22,23. Come avrete intuito, poi torna a salire, contando 24,25…
Se sarà abbastanza paziente da arrivare a 2013, e soprattutto non si sbaglierà, dove si fermerà? Ricordo che la falange è quella vicina al palmo, la falangina quella di mezzo e la falangetta quella in cima. (Non ho mai capito quale sia quella che manca al pollice, ma tanto per il problema non serve saperlo…)