Monthly Archives: August 2012

Risposte ai problemini per Ferragosto 2012

Ecco le risposte ai problemini della settimana scorsa!

1. Teletrasporto

Anche se sembra incredibile, l’ingresso nel Canale di Panama dall’Atlantico è più a ovest di quello dal Pacifico: controllate pure su un atlante. Pertanto è naturale che dopo un’ora dall’uscita dal canale ci si trovi (ancora) nell’Oceano Pacifico!

2. Giro del cavallo in edizione ridotta

Non è possibile un giro rientrante. Un giro completo è invece possibile: 1 – 8 – 3 – 4 – 11 – 6 – 7 – 12 – 5 – 10 – 9 – 2.

3. Crimine efferato

È vero che la probabilità che una persona presa a caso abbia una compatibilità con il test del DNA è una su un milione. Ma quello che noi dobbiamo calcolare è la probabilità condizionata che l’imputato abbia commesso il crimine sapendo che il DNA coincide. Visto che sono dieci le persone con la stessa compatibilità, la probabilità condizionata vale 1 su 10, cioè il 10%.
Se non ci sono altri indizi a carico dell’imputato, direi che la colpevolezza non è “al di là di ogni ragionevole dubbio”…

4. Calzini spaiati

La probabilità è esattamente la stessa, e questo vale per qualunque numero pari di calzini. La dimostrazione si ottiene per induzione. Con due calzini la cosa si vede facilmente: c’è una possibilità su quattro che siano entrambi bianchi, una su quattro che siano entrambi blu, e due su quattro che siano di colori diversi.
Nel caso generale, iniziamo a notare come al più si possa avere una sola coppia di calzini spaiati. Supponiamo ora che sappiamo che con 2N calzini la probabilità che siano tutti accoppiati sia 1/2, e vediamo cosa succede nel caso 2N+2. In un caso su due i 2N calzini sono tutti accoppiati, e abbiamo visto sopra che gli altri due saranno appaiati nella metà dei casi e spaiati nell’altra metà. Nell’altro caso i conti sono opposti: se i due nuovi calzini sono spaiati si appaieranno, mentre se erano in coppia ci rimarranno i due calzini iniziali.

Ma è molto più semplice, come scritto da Fabrizio nei commenti, considerare cosa succede con 2N-1 calzini! Ce ne sarà uno e uno solo spaiato: devono essere un numero dispari, e presi tre calzini due devono per forza accoppiarsi. Aggiungendo l’ultimo, i casi sono due ed equiprobabili: è dello stesso colore di quello spaiato oppure no.

5. Caramelle per tutti

Dimostrerò un risultato più generale: per un qualunque numero di persone n e di caramelle iniziali P, se tutti hanno un numero pari di caramelle, a ogni passo ne danno metà al vicino di destra ed eventualmente ricevono una caramella per averne un numero pari, prima o poi tutti ne avranno lo stesso numero.
Innanzitutto vediamo che il numero massimo di caramelle che ha una singola persona non può crescere da un passo all’altro. Infatti se a un certo passo questo numero è C, chi ha C caramelle al passo successivo non ne può avere di più, e chi ne aveva meno di C al massimo ne avrà C (nel caso ne avesse C-2, e il vicino di sinistra C; in questo caso viene assegnata una caramella)
In secondo luogo, supponiamo che a un certo passo il numero minore di caramelle per una persona sia c. Se c’è una sola persona che ha c caramelle, al passo successivo tutti ne avranno di più: se ce ne fosse più di una, prendiamo una catena di persone sedute una accanto all’altra, tutte con c caramelle. Se la catena è formata da tutte le persone abbiamo dimostrato la tesi; altrimenti la persona più a sinistra al turno successivo avrà più di c caramelle e quella dopo quella più a destra ne avrà sempre almeno c+2. Quindi il numero totale di persone con c caramelle diminuirà, e prima o poi si arriverà a ridurre la catena a una singola persona. Pertanto, fintantoché tutte le persone non hanno lo stesso numero di caramelle la ridistribuzione continuerà.

Problemini per Ferragosto 2012

Come consuetudine, eccovi cinque problemi: non esattamente da ombrellone ma tant’è. Le risposte tra una settimana.

1. Teletrasporto

Una nave percorre il canale di Panama da ovest a est. Un’ora dopo avere terminato il percorso, si trova nell’Oceano Pacifico. Come ha fatto?

2. Giro del cavallo in edizione ridotta
Ho consultato Wikipedia: su una scacchiera 8×8 ci sono la bellezza di 26 534 728 821 064 possibili percorsi del cavallo che partono da una casella e ci ritornano dopo aver toccato tutte le altre 63 caselle. Non ho il tempo di provarle tutte, e mi accontento di qualcosa di meno: una scacchiera 3×4, mostrata qui sotto. È possibile partire dalla casella 1 (quella senza numero scritto…) e fare un giro completo del cavallo, ritornando alla casella iniziale, e senza mai passare due volte dalla stessa casella? In caso negativo, è almeno possibile fare un giro completo, anche se dall’ultima casella non si può passare alla prima?

scacchierina

3. Crimine efferato

Un efferato omicidio è stato commesso in una metropoli da 10 milioni di persone. La polizia sa che che il crimine è stato commesso da un abitante della metropoli e ha arrestato una persona: non ci sono prove dirette a suo carico, ma il test del DNA mostra un’alta compatibilità. Gli esperti stimano che in tutta la città solo dieci persone possono avere una compatibilità simile.
Il pubblico ministero nella sua requisitoria afferma che la probabilità che un innocente abbia una tale compatibilità è di uno su un milione, pertanto l’indiziato è colpevole al di là di ogni ragionevole dubbio. Il suo ragionamento è corretto?

4. Calzini spaiati

La Sockengesellshaft produce due tipi di calzini: lunghi blu e corti bianchi. Sapete, questi ultimi sul mercato tedesco tirano molto… Un negozio ha ricevuto uno scatolone e un foglio di accompagnamento. Il foglio dice “Kongratulatzione! Suo nekotzio ha vinto 2012 kaltzini, ciaskuno di kui è stato scelto a kaso tra i nostri due modelli!” Chiaramente la probabilità che tutti i calzini siano bianchi oppure tutti blu è infinitesima, pari a 1 su 22012, ma la domanda non è questa. È più probabile che i calzini possano essere tutti accoppiati, oppure che ne rimangano di spaiati? (Riuscire a vendere le coppie di calzini bianchi sarà poi un problema, ma non dovete risolverlo voi)

5. Caramelle per tutti

Ci sono 42 persone in circolo, alle quali sono state distribuite 2012 caramelle in modo che inizialmente tutti ne abbiano un numero pari (foss’anche zero). Però quella è per l’appunto solo la distribuzione iniziale! A un fischio del maestro di cerimonia, ciascuno dei beneficiati dà metà delle sue caramelle al vicino di destra; se alla fine della distribuzione qualcuno rimane con un numero dispari di caramelle, il maestro di cerimonia gliene dà ancora una (mi ero dimenticato di dire che il gioco è sponsorizzato dalla Sperlari). Se l’operazione “dividi e passa” viene fatta per un numero sufficientemente alto di volte, dimostrate che qualunque sia la distribuzione iniziale si arriverà a un punto in cui tutti e 42 i giocatori avranno lo stesso numero di caramelle.