Contraddizioni

«Non Ŕ possibile! ╚ la quinta volta!»

Il giovane matematico era furioso. Il suo volto sarebbe stato paonazzo, se solo l'algoritmo di codifica video non avesse ritenuto impossibile un simile colore e avesse autonomamente deciso di ricolorare tutta l'immagine, donandogli cosý un ancora meno probabile tenue arancione. Dall'altra parte della connessione 6G, la faccia della Sovrintendente Zonale era impassibile, e soprattutto di una perfetta nuance ebano.

«Certo che non Ŕ possibile! – replic˛ gelida la Sovrintendente Zonale – ╚ la quinta UnitÓ Computazionale Logica che Ŕ riuscito a distruggere. Gliel'avevo ribadito: queste UnitÓ Autoapprendenti sono sperimentali, e non conosciamo perfettamente il loro comportamento in condizioni non standard. Le avevamo vietato di continuare le sue ricerche; eppure lei ha perserverato, persino falsificando le sue credenziali per poter accedere ancora al Reticolo. Non ci resta che terminare la sua interfaccia di connessione.»

«Ma... Come... Questo Ŕ un sopruso! Come faccio a terminare le mie ricerche? Sarei giÓ arrivato alla dimostrazione del Teorema di Inconsistenza, se i gestori del Reticolo fossero stati in grado di far funzionare decentemente queste UnitÓ Autoapprendenti!»

«Niente ma e niente come! Se crede davvero di essere il G÷del del ventunesimo secolo, si metta a fare i suoi conti a mano. Ah: buon lavoro amanuense...»

L'ologramma della Sovrintendente Zonale sparý. Ma quel che era peggio, sparý anche quello della scrivania di collegamento con il Reticolo. L'avevano fatto davvero! Per fortuna, pens˛ il giovane matematico, avevo salvato il testo della parte iniziale del mio lavoro. Quella lý credeva di aver fatto una battuta ironica, invitandomi a lavorare a mano? Le far˛ vedere io di cosa Ŕ capace un Vero Matematico!

Il Teorema di Inconsistenza sarebbe stato il coronamento del lungo processo di distruzione delle certezze matematiche. Tutto era iniziato un secolo prima con la pubblicazione del notissimo articolo di Kurt G÷del che dimostr˛ come un qualunque linguaggio abbastanza potente da essere usato per eseguire le usuali operazioni aritmetiche aveva un guaio: nel linguaggio si pu˛ definire un teorema che Ŕ vero, ma non Ŕ dimostrabile se non "uscendo dal sistema", cioŔ aggiungendo un nuovo postulato ad hoc. Ma questa aggiunta generava nuovi teoremi indimostrabili, e cosý all'infinito: un po' come il paradosso di Achille e della tartaruga, si era costretti a compiere tutta una serie di passi obbligati senza mai vedere nemmeno avvicinarsi la fine. I matematici del ventesimo secolo furono inizialmente sconcertati, temendo che tutto il loro castello di costruzioni e dimostrazioni crollasse miseramente: ma gli esseri umani sono esperti nell'abituarsi a tutto, e in pochi anni si era passati dal chiedersi "vero o falso?" a un meno assolutista "vero, falso o indecidibile?" quando si doveva analizzare un enunciato matematico.

Il teorema di G÷del era per˛ pi¨ sottile di quanto il grande pubblico aveva letto nelle riviste di cultura popolare. Esso affermava infatti l'esistenza di teoremi indimostrabili sotto un'ipotesi ben precisa: che la matematica fosse coerente, che cioŔ non fosse possibile dimostrare una cosa e allo stesso tempo il suo contrario. Nessun matematico nel pieno possesso delle sue facoltÓ mentali – anche se un'affermazione di questo tipo, parlando di matematici, Ŕ piuttosto pericolosa – credeva che la matematica potesse non essere coerente: in fin dei conti, due pi¨ due come potrebbe mai fare cinque? Eppure il giovane matematico aveva avuto un'intuizione. Catene molto lunghe di inferenze matematiche potevano prendere percorsi diversi nello spazio dei problemi e ritrovarsi nello stesso punto ma con valori di veritÓ opposti, un po' come due formiche che camminassero in direzioni opposte su un nastro di M÷bius finirebbero per ritrovarsi, ma essendo l'una diventata l'immagine speculare dell'altra. Una simile scoperta rivoluzionerebbe tutta la matematica che conosciamo, e porterebbe dritti al premio Abel, il Nobel per la matematica, e poi chissÓ...

Senza l'uso del Reticolo l'impresa sembrava al di fuori della portata di chiunque, ma per sua fortuna il matematico aveva salvato due catene inferenziali promettenti: secondo le sue stime, bastava aggiungere una cinquantina di passaggi ai 1250 giÓ presenti per arrivare alla contraddizione. Un lavoro che il Reticolo avrebbe computato in una giornata, ma anche fatto a mano richiedeva al pi¨ un paio di mesi. Il matematico si mise a lavorare febbrilmente, ricontrollando tre volte ogni passaggio. L'ultima notte la pass˛ insonne: la prima catena era ormai completa, e non restava che scrivere esplicitamente l'ultimo passaggio della seconda, per ottenere la tanto agognata contraddizione. I simboli si allineavano regolari e la contraddizione era lý davanti, quasi personificata: restavano ancora da trascrivere cento simboli, cinquanta, venti, dieci, cinque, tre, due, uno. Il giovane tremava, mentre faceva l'ultimo controllo: ma i passaggi erano tutto corretti, e a prova di errore. Non c'era dubbio: la matematica Ŕ contraddit

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

«Non Ŕ possibile! ╚ la quinta volta!»

L'entitÓ osserv˛ l'universo giocattolo che andava velocemente a pezzi. La trama delle sue vibrazioni non aveva pi¨ alcuna regolaritÓ: frequenze irrazionali continuavano a emergere, senza che l'entitÓ riuscisse a smorzarle.

«Certo che non Ŕ possibile! – replic˛ gelida l'altra entitÓ, mentre la compenetrazione andava rapidamente scemando. – ╚ il quinto universo che sei riuscito a distruggere. Te l'avevo spiegato che con quelle leggi aritmetiche non avresti potuto ottenere nulla di stabile. E invece tu hai perseverato, e hai persino cercato di barare inserendo una routine di autoblocco non appena un computer avesse trovato una contraddizione di base, per aggirare l'impossibilitÓ della costruzione di un universo contraddittorio... Eppure Ŕ una nozione di base: non appena appare una contraddizione in un punto qualsiasi di un universo, essa si propaga istantaneamente e non c'Ŕ tempo per bloccare il disfacimento. Mi spiace: sei bocciato anche stavolta.»

16 settembre 2012