Incroci

Consideriamo i due punti di intersezione P e Q. Poiché al più una linea passa tra P e Q, è sempre possibile trovarne tre l, m e n tali che l passi per P ma non per Q e le altre due passino per Q e non per P.
Poiché m e n non possono intersecare l, tutte e tre le rette devono essere parallele. Ma poiché esse passano per Q, devono essere coincidenti, il che è impossibile per ipotesi.

Un'ultima parola

Tutto questo vale solo per la geometria euclidea: in quelle iperbolica ed ellittica è possibile che le rette si intersechino in due punti.