Parquet

╚ possibile ricoprire il parquet secondo le regole date se e solo se n Ŕ un multiplo di 4. ╚ facile farlo quando n Ŕ multiplo di 4; basta usare tante copie della struttura indicata a sinistra nella figura. ╚ anche facile vedere che Ŕ impossibile farlo quando n Ŕ dispari; il numero di quadretti Ŕ dispari, e quindi non Ŕ nemmeno possibile ricoprire il pavimento senza tagliare un listello.

E il caso di n pari ma non multiplo di 4? Beh, come capita spesso la soluzione si ottiene colorando opportunamente il parquet, come si pu˛ vedere nella figura qui sotto dove un quadrato 6x6 Ŕ diviso in strisce orizzontale. Evidentemente, ogni listello verticale coprirÓ una casella chiara e una scura, mentre un listello orizzontale coprirÓ o due caselle chiare o due caselle scure. Se il lato del quadrato Ŕ 2(2n+1), il numero totale di caselle Ŕ 4(4n2+4n+1), metÓ delle quali sarÓ ricoperto da listelli orizzontali e metÓ da listelli verticali. Ma allora il numero di caselle scure ricoperte dai listelli verticali (metÓ del totale, abbiamo visto, quindi un quarto del numero totale di caselle) Ŕ dispari, mentre le caselle scure ricoperte dai listelli orizzontali sono un numero pari: assurdo, perchÚ la somma Ŕ dispari mentre c'Ŕ un numero pari di caselle scure.

[colorazione a strisce]

Un'ultima parola

Come giÓ detto, la colorazione Ŕ un'arma potente per riuscire a risolvere questo tipo di problemi: pi¨ inusuale vedere una "biparitÓ" all'opera, coi multipli di 4 e non semplicemente coi numeri pari.


 
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