Quadrati e radici quadrate

La funzione f(n)=(n+√n) crescente, e la differenza tra i valori corrispondenti a due interi successivi sicuramente compresa tra 1 e 2. Preso un qualunque quadrato (k+1)2, mostriamo come ci siano due valori consecutivi n e n+1 tali che rispettivamente f(n) < (k+1)2 - 1/2 e f(n+1) > (k+1)2 + 1/2, e quindi i valori arrotondati saranno rispettivamente (k+1)2 - 1 e (k+1)2 + 1. Pi precisamente che possiamo prendere n=k2+k. La prima disuguaglianza infatti si pu scrivere come k2+k + √(k2+k) < (k+1)2 - 1/2 = k2+2k + 1/2, da cui √(k2+k) < k + 1/2; prendendo il quadrato, abbiamo k2 + k < k2 + k + 1/4, banalmente vero. Per la seconda disuguaglianza, abbiamo k2+k+1 + √(k2+k+1) > (k+1)2 + 1/2 = k2+2k + 3/2, da cui √(k2+k+1 ) > k + 1/2; prendendo i quadrati anche in questo caso, otteniamo k2 + k + 1 > k2 + k + 1/4, di nuovo banalmente vero.

Un'ultima parola

Nel caso vi chiedeste come mi siano venute in mente queste disuguaglianze, la risposta semplicissima: ho provato a calcolare i primi valori di round(n+√n), fino a n=15, e ho ricavato una legge empirica di quello che sembrava accadere. A questo punto, sapendo dove volevo arrivare, stato relativamente facile fare i conti.


 
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