Notiziole di .mau.

(ma iniziamo con un momento musicale)

Benvenuti all'edizione numero 61 del Carnevale della Matematica, ospitata su queste pagine esattamente dodici mesi dopo l'ultima volta. Che dire del numero 61? A parte che esiste un sito che raccoglie musica indipendente, e che il '61 (nel senso di "1961" è stato l'ultimo anno che poteva essere letto anche capovolto, limitiamoci alla parte più numerica. 61 è un numero primo (gemello di 59), e fin qua siamo tutti d'accordo. Ma è anche un primo cubano, che non è un ammiratore di Fidel Castro ma più banalmente è un primo della forma (x^3 - y^3)/(x-y) con x = y+1, il che significa tra l'altro che è un numero esagonale centrato. Ma è anche un numero quadrato centrato, e financo decagonale centrato, oltre che la somma di due quadrati (5^2+6^2), e un esponente di un primo di Mersenne. Gli appassionati di numeri ricreativi saranno poi contenti di sapere che è un primo di Pillai, un numero di Keith, e un tre volte Fortunate number (che non è un numero fortunato). In compenso, in chimica l'elemento 61, il promezio, non ha isotopi stabili e quindi è stato ricavato artificialmente. E nella misurazione del tempo, lo sapevate che qualche volta un minuto è lungo sessantun secondi?

Passiamo finalmente ai contributi. Il tema del mese era "costanti matematiche", e io come al solito non l'ho seguito affatto. Gli altri? vediamo.

Zar in tema ci è stato eccome, parlando delle costanti (quella planare e quella spaziale) che compaiono nelle leggi di Plateau: ecco il primo e il secondo post, dai titoli gaberiani. Essendoché è molto preciso, ha anche pensato di preparare un'etichetta del blog "costanti" per raccogliere i post del passato sul tema: potete leggerli tutti partendo da qui. Zar consiglia caldamente quelli sulla costante audioattiva :-)

Tacchino scrive invece sul suo Taccuino sull'infinito come visto nell'antichità, e si è poi chiesto se l'infinito è una costante matematica. Con tutti gli infiniti cantoriani che ci sono avrei qualche dubbio, ma ci importa qualcosa?

Mr. Palomar inizia a parlarci di quadrati magici: preparatevi bene, perché ci sarà una parte seconda!

I Rudi Matematici (che aggiungendo la h hanno ovviamente pubblicato il numero 172 della loro longevissima rivista elettronica - hanno prodotto un po' di cosette.
- L'ultimissima (finalmente) puntata del loro viaggio tra isole di logici sinceri, bugiardi e chi più ne ha più ne metta.
- Il classicissimo e molto amato compleanno di Gödel, contenente tra l'altro tutta la verità sulla loro conoscenza di fumetti e film d'autore.
- Un gioco ingiocabile, più complicato e colorato degli scacchi e che dimostra come Rudy non sappia contare sino a sei senza confondersi
- un gioco quick-and-dirty, che ammetto di non aver provato essendo stato troppo provato dai giochi matematici in Bocconi.

Anche a MaddMaths! non sono certo stati con le mani in mano. Ecco i loro contributi per questo mese:
- I virus conoscono la matematica? - I virus assemblano le proteine dei propri "gusci" secondo precise simmetrie. La matematica aiuta a comprendere come queste cambiano durante l'infezione, per poterli combattere meglio... di Giuliana Indelicato
- Alfabeto: C come Controllo ottimo - Il viaggio deterministico raccontato dalle equazioni differenziali può essere svincolato dal fatale peso delle condizioni iniziali introducendo una variabile di "controllo". In questo modo, l'uomo può perfino andare sulla Luna... di Corrado Mascia
- La congettura di Goldbach spiegata da Bruno Martin, docente presso il Laboratorio di ricerca in Matematica dell?Université du Littoral, Côte d?Opale, per Images des Mathématiques. Traduzione di Elena Toscano.
- Magic... Turing! - Alan Turing giocava a Magic? Forse. E' possibile creare una macchina di Turing all'interno del gioco Magic: the Gathering... di Davide Palmigiani
- Quando la matematica si fonde con l'arte - Vladimir Bulatov, uno dei più famosi scultori geometrici contemporanei, si racconta in quest'intervista di Paola Formenti
Ci sono ancora due contributi su Matematica per la sostenibilità pubblicati per il mese della matematica dopo l'ultima edizione del carnevale:
- L'impatto ambientale dei pannolini usa e getta rispetto all'uso dei pannolini lavabili - Gli Studenti della classe 3B dell'Istituto Scolastico A. Vespucci, Scuola Secondaria di I Grado di Marano Lagunare (UD), guidati dalla Docente Anna Franchina, presentano il progetto: Calcolo dell'impatto ambientale dei pannolini usa e getta rispetto all'uso dei pannolini lavabili
- Biodiversità, matematica e sostenibilità: mantenendo le risorse biotiche del Pianeta - Un articolo di Louis J. Gross, Professor of Ecology and Evolutionary Biology and Mathematics all'University of Tennessee, Knoxville (NIMBioS.org) su biodiversità e matematica. Traduzione di Stefano Pisani.

Abbiamo poi Annarita Ruberto con svariati contributi, di cui il primo a tema.
- Radice Quadrata Di Due o Costante Di Pitagora - probabilmente la prima costante matematica scoperta dall'umanità.
- Scopri Il Rosso E Il Nero - un'Applet GeoGebra
- Circocentro E Incentro Dei Triangoli In Una Animazione, insieme alle animazioni sui singoli punti notevoli di un triangolo: Triangoli: Circocentro In Movimento - Triangoli: Incentro In Movimento - Triangoli: Baricentro In Movimento - Triangoli: Ortocentro In Movimento.

Leonardo Petrillo si sdoppia, sempre rimanendo in tema. Su Scienza e Musica racconta La sublime sezione aurea, da Fibonacci a Penrose; su Il Tamburo riparato scrive invece di Math (pie), un post con protagoniste le 2 costanti matematiche più famose: il pi greco e il numero di Nepero. Il nocciolo del post è rappresentato dalla descrizione di un teorema poco noto (ma interessante), che ha tra i protagonisti proprio pi greco: il teorema di Holditch.

Sullo Zibaldone scientifico Mauro ci racconta della parola "irrazionale", con particolare attenzione alla costante matematica e (sì, sempre lei!).

Il gloglottatore ci presenta alcuni appunti sui numeri algebrici, una categoria spesso negletta; una esposizione del teorema di Mills usando parole con al massimo due sillabe, e infine qualche suggerimento per tesine della maturità che parlino anche di matematica.

Il coniglio mannaro si è invece dedicato alla letteratura matematica, con Rondine di mare: racconto ispirato alla figura di Leonardo Fibonacci, alla sua famosa sequenza, che nasconde la costante del rapporto aureo, ma più di tutto al suo grande amore per la libertà.

E parlando di letteratura non possiamo dimenticare il sommo Popinga. I suoi contributi:
- Matematica e letteratura: i video della conferenza - Il 20 aprile Popinga e Roberto Natalini, dirigente di ricerca del CNR e coordinatore di MaddMaths, hanno tenuto una conferenza divulgativa su Matematica e Letteratura presso la Libreria Assaggi di Roma, a cura dell’ Ufficio Stampa del CNR, nell'ambito del Festival Scienza 3 di Roma. L’articolo contiene i video dell’evento, durante il quale i due hanno letto e commentato brani di diversi autori.
- Tolstoj, la storia, la matematica - Lev Tolstoj ha talvolta utilizzato concetti presi dalla matematica per illustrare le sue idee. In un famosissimo brano di Guerra e Pace, egli espone la sua concezione della storia come continuum di fatti e “volontà” impercettibili e collettivi, che anticipa in qualche modo la lezione degli storici francesi della Scuola delle Annales. Per far ciò egli utilizza un’immagine efficace che deriva dalla cinematica e dal calcolo differenziale e integrale, dagli infinitesimi di Newton e Leibniz.
- Sinisgalli e il Carciopholus romanus - Leonardo Sinisgalli (1908-1981) è stato uno degli intellettuali più brillanti del secolo scorso, uno dei pochi in Italia che ha considerato con lo stesso interesse la cultura umanistica e quella scientifica, assegnando loro pari dignità o non considerandole separate. Il racconto Carciopholus romanus è incentrato su una superficie algebrica nota come romana di Steiner, una quartica che ha ispirato a Sinisgalli l’accostamento con l’umile lupino, poi con il pomodoro, infine con un tipico e celebrato prodotto degli orti laziali, il carciofo romano.
Ricordo che Popinga ospiterà l'edizione di giugno del Carnevale, con il tema "matematica e genio".

Il Carnevale termina qui: in appendice, ecco cosa ho postato io :-)
Qui sulle Notiziole, ho recensito l'ebook 40 Paradoxes in Logic, Probability, and Game Theory di Presh Talwalkar, il sito Math Coffee Break e quello del matematico Roberto Lucchetti; ho accennato a Gödel ai minimi termini, raccontando del post (americano) da cui il Gloglottatore ha preso spunto per la sua dimostrazione bisillabica. I quizzini della domenica questo mese comprendono Completa l'insieme; La traversata del deserto (di cui ci sarebbe una versione aggiornata... ma sarà per giugno); Scale mobili; Il capitano e la sua nave.
Sul Post ho invece parlato di varie cose:
- Geometria a macchinetta: Preparare esercizi per i libri di matematica non è un lavoro divertente, ma questo non significa che non li si possa fare con un minimo di accortezza.
- Parilandia: noi diamo per scontata la fattorizzazione unica, ma non è sempre così.
- Parole matematiche: funzione, una parola relativamente moderna, ma che si è espansa sin troppo.
- Siamo tutti pedagoghi: parlare male dei test Invalsi sembra essere la norma, ma forse è meglio non mischiare mele e pere.
- e infine le pillole: il sito Integermania, il paradosso delle due monete, le approssimazioni di 1, la morte di Kenneth Appel, co-dimostratore del teorema dei quattro colori.

Avete presente il teorema di incompletezza di Gödel? Vi manca? Beh, qui George Boolos ve lo spiega usando solo parole monosillabiche.

Queste cose purtroppo funzionano purtroppo solo in inglese - ricordo che quando giocai agli Esercizi di stile blog alla fine mi risolsi a scrivere la mia versione del testo base in stile bisillabico.

Ho appena scoperto da Math Munch che oggi è lo ψ Day! E che numero è ψ, vi chiederete voi? Semplice: è la costante di Fibonacci reciproca, data dalla somma degli inversi dei numeri di Fibonacci:

ψ = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/8 + ...

Il numero è circa uguale a 3,35988...; visto che questo è il terzo mese e nella giornata odierna abbiamo toccato il 35,988% del mese (un po' prima delle 4 del mattino: ecco perché Jacopo stanotte si era svegliato a quell'ora reclamando ad alta voce dell'acqua!) il giorno è stato dedicato a questo numero elusivo. Pensate che solo nel 1989 è stato dimostrato che è irrazionale.

Prima o poi mi deciderò a inventare un calendario di giorni matematici, mi sa :-)

Questa foto (se ci cliccate su la vedete meglio) mi è stata mandata da Licia. Queste marmellate da frutta biologica, come potete vedere, hanno più del 100% di frutta: gli altri ingredienti sono pertanto presenti in percentuali negative, l'ideale per una dieta!

Attenzione: non c'è nulla di strano che per fare una (buona) marmellata si usino più di 100 grammi di frutta per ogni 100 grammi di prodotto finale: la frutta fresca contiene infatti una notevole percentuale acqua, e il procedimento per creare la marmellata ne fa evaporare molta (sostituita generalmente da zucchero... ma qui usciamo dal seminato). Insomma, se avessero scritto "più di 100 grammi di frutta per 100 grammi di prodotto" non ci sarebbe stato nulla da eccepire, se non la verbosità della frase che non permetteva certo di essere usata come slogan. Ma questo non vuole mica dire che si possa fare violenza alla matematica...

Sabato Anna e io abbiamo portato i bimbi alla prima lezione di nuoto. Mentre loro nuotavano, Anna aveva sete ed è andata a prendere una bottiglia d'acqua alla macchinetta. Poi ritorna e mi dice "hai sessanta centesimi? L'acqua costa 80, c'era scritto che la macchinetta dava il resto ma invece è rimasto lì". Non era il momento di fare una lezione di economia emotiva, o perlomeno non avevo abbastanza tempo, così dopo un timido inizio le ho dato i sessanta centesimi e si è presa la seconda bottiglietta. Adesso però ho un po' più di tempo :-)

Innanzitutto, la seconda bottiglietta non ci serviva, tanto che è tornata a casa con noi, e lo sapevamo entrambi. Questo è il punto fondamentale di tutta l'analisi: se l'avessimo bevuta subito il conto era completamente diverso. Mettiamola così: non avevamo problemi a spendere nel "qui ed ora" 80 centesimi per una bottiglietta d'acqua, pur sapendo che a casa ce ne avevamo, e le avevamo pagate 30 centesimi. Questo è normale, perché noi non eravamo a casa :-) Ma la seconda bottiglia l'abbiamo pagata in pratica 60 centesimi (i primi venti erano già stati sprecati, e non ci sarebbero tornati indietro), il tutto per portarcela a casa. Quindi in realtà non abbiamo "ricuperato i venti centesimi" ma ne abbiamo persi altri trenta. Non sarà una tragedia, ma è un classico controesempio al motto "più spendi, meno spendi"...

Non so se vi ricordate che a fine luglio ci sono state le prove di ammssione al TFA (Tirocinio Formativo Attivo, quello che dovrebbe servire ad avere il bollino giusto per insegnare a scuola), e che c'erano state vivaci polemiche sulle domande "sbagliate", soprattutto nelle materie letterarie. Ne avevo anche parlato sul Post.
Sono poi apparsi i risultati per la classe di matematica (le prove sono qui) e sono state indicate dieci domande per cui tutte le risposte sono considerate valide.

Noi amichetti del FriendFeed abbiamo un po' discusso il motivo per cui alcune domande sono state annullate: le risposte mostra come i matematici debbano essere assolutamente pignoli. In una domanda era per esempio richiesto il limite di una funzione per x→∞, mentre lo si doveva chiedere per x→+∞; in un'altra si chiedeva una proprietà della somma delle radici di una funzione, ma non era specificato che la funzione era da considerarsi in C e non in R (o chissà, magari in Z ...) La matematica è così, bisogna stare estremamente attenti! Ma non è di quello che volevo parlare, bensì di un effetto collaterale che mi sembra non sia stato notato dalla stampa.

Per essere ammessi al TFA, occorreva rispondere correttamente a 42 domande su 60, cioè avere la media del 7. Se le dieci domande incriminate fossero state semplicemente eliminate, mantenere la media del 7 significava rispondere correttamente a 35 domande sulle 50 restanti: questo dovrebbe essere chiaro. Dando invece per buone tutte le risposte date a quelle dieci domande, in pratica per l'ammissione è bastato rispondere correttamente a 32 delle restanti domande! Se volete, la risposta all'"eccessiva durezza dei test" è stata implicita: si è abbassata la soglia di ammissione. Nulla di male, di per sé: ma non trovate buffo che si sia sfruttata l'oscurità della matematica per farlo?

Se non vi siete ricordati di festeggiare il π day il 14 marzo, o se pensate che l'usanza americana di scrivere prima il mese e poi il giorno sia barbara, nema problema! Oggi è il 22/7, e 22 diviso 7 fa 3,(142857). Oggi è dunque il Giorno Approssimato di Pi Greco.

E poi diciamocelo pure: 22/7 è un'approssimazione migliore di 3,14. Teniamocela buona!

Forse l'ho già detto altre volte: se qualcuno mi scrive in maniera educata e personalizzata (non basta una captatio benevolentiae) e io trovo interessante il tema, ne parlo qui sul blog. Non so se si possa tecnicamente parlare di marchetta, considerando che non ci guadagno nulla; decidetelo da soli.

Da ieri fino al 5 agosto Civitanova Marche ospita Popsophia, il "festival del contemporaneo". Il nome non mi piace, però il programma è effettivamente interessante e ampio; da buon matematico non posso che apprezzare gli appuntamenti col Giardino della Scienza, cioè - cito dalla brochure - un «rassegna curata dal matematico Giorgio Bolondi, che unisce discipline come la matematica e la fisica alla riflessione filosofica e all’intrattenimento». Soprattutto lo sportello "La scienza ti parla
senza supponenza", un modo per estendere i dubbi e le domande che ci assillano la mente (ooops, scusate, mi ero lasciato portar via da Edoardo Bennato... ricominciamo) dicevo, un modo per estendere i dubbi e le domande che sorgono dagli eventi del festival in una dimensione fuori linea, sulla pagina Facebook di Popsophia (nessuno è perfetto).

Non posso garantire che le promesse siano mantenute, e Civitanova è troppo lontana perché io pensi di andarci; però le premesse sono interessanti, e insomma se qualcuno è da quelle parti secondo me potrebbe andare a darci un'occhiata!

Se Alan Matheson Turing fosse vivo, oggi avrebbe 99 anni e 365 giorni. Occhei, probabilmente sarebbe comunque già morto, ma non suicida a meno di 42 anni come invece è stato.

Turing è (forse) noto per la sua attività durante la seconda guerra mondiale per la decrittazione dei messaggi che i nazisti cifravano con Enigma. Magari qualcuno ha anche sentito parlare delle macchine di Turing (un modello teorico adottato poi dai calcolatori; Turing ha anche contribuito alla progettazione del primo computer britannico) o del test di Turing che dovrebbe servire per vedere se un computer può essere davvero considerato intelligente o fa solo finta (ma lo sapete che nell'articolo dove propone il test, l'ignoto candidato ci mette trenta secondi a fare l'addizione richiestagli e poi la sbaglia? Purtroppo non si sa se l'errore fosse voluto oppure no). Spero che si sappia anche che il governo britannico lo condannò per omosessualità, costringendolo a una cura ormonale per castrarlo chimicamente ed evitare "facesse dei danni", incuranti del fatto che le sue relazioni sono sempre state con adulti consenzienti.

Ma ci sono anche tante altre cose meno note su di lui. Turing ha rischiato di essere convocato nella nazionale inglese di atletica, come maratoneta per le Olimpiadi del 1948: purtroppo si infortunò e fu scartato. Quello che si pensa essere la quintessenza del matematico teorico cercò di costruire un meccanismo analogico per trovare gli zeri della zeta di Riemann (questo prima della guerra: dopo di essa i computer digitali avrebbero fatto lo stesso lavoro molto più in fretta). Gli ultimi suoi lavori scientifici, rimasti incompiuti, trattarono della matematica applicata alla biologia.

Se volete saperne di più, vi lascio al post di Roberto Natalini - ma prendetelo con le molle, perché è un burlone! - e a quello di Michele Emmer, più serio. Oppure compratevi la biografia di Turing scritta da Andrew Hodges: rispetto a quando la lessi, il mio giudizio è molto migliorato... soprattutto perché mi è anche capitata tra le mani la biografia di Leavitt che è davvero una schifezza.

- Cosa fa un matematico se vuole animare una festa?
- Se ne va.

da qui

Benvenuti all'edizione numero 49 del Carnevale della Matematica! Il 49 non è esattamente un numero così importante nella vita (se non momentaneamente nella mia, visto che ho appena compiuto 49 anni), ma qualche proprietà ce l'ha comunque anch'esso. Per esempio è un quadrato, ma anche le sue cifre sono dei quadrati, ed è il primo numero non banale con questa proprietà (non l'ultimo: anche tralasciando i numeri 100, 400, 900, 10000, ... abbiamo comunque almeno 144 e 441). Tra le altre caratteristiche, c'è quella di essere un numero di Friedman latino in due modi non banali diversi, cioè XLIX = L − I^XX = L^I − (X/X). Ah, mostrate al mondo la vostra cultura e ricordatevi che 49 non si può scrivere in lettere romane come IL! Le cifre che si possono sottrarre sono solo IV, IX, XL, XC, CD, CM. Altra proprietà assolutamente inutile che il 49 condivide col 77 è di essere un numero di due cifre del quale non si conosce il relativo home prime. Questo primo viene calcolato concatenando i fattori primi (nel loro ordine, con le relative cardinalità) di un numero e ripetendo l'operazione finché non si ottiene un numero primo. Per esempio, 10=2×5 e quindi si ottiene 25=5×5, e si prosegue con 55=5×11, 511=7×73, e 773 è un numero primo, pertanto HP(10) = HP(25) = HP(55) = 773.
Ah, i forty-niners sono quelli della corsa all'oro del 1848 – ce ne hanno messo del tempo ad arrivare in California, vero? E sono anche la squadra di football americano di San Francisco.

Ma passiamo alla parte più interessante, cioè i contributi dei partecipanti. Inizio con il gloglottatore, che ci parla di Matteo Ricci, un gesuita euclideo: Ricci andò appunto in Cina vestendosi come i locali (ma non come i bonzi! Battiato ha preferito la metrica alla realtà storica...). Pensate che, come Ricci stesso scrisse, quando arrivò gli vennero confiscati i libri di matematica, perché «In Cina è proibito sotto pena di morte studiare matematica senza l’autorizzazione del re». Chissà quanti studenti apprezzerebbero una simile legge!

Abbiamo poi Jean, che nel suo novello blog Con le mele | e con le pere ha scelto di crearsi da solo i problemi matematici da sottoporre ai lettori. Stavolta però non ci segnala un problema (anche se nel testo del post il problema c'è eccome!) ma una tecnica di origami non standard: Da un cerchio di carta ad un tetraedro.

Sul suo Blogghetto, Dioniso continua le lezioni di Eratocle. Questo mese il tema sono le terne pitagoriche, dove il povero studente Eurito si trova alla fine della lezione uno scherzetto propinatogli dal suo insegnante. Dioniso si chiede se le terne pitagoriche siano numeri abbastanza strani (sì, il tema del Carnevale erano appunto i numeri strani): la risposta è "sì, se tu lo vuoi". In fin dei conti, la stranezza dei numeri è negli occhi di chi li guarda...

Da Gravità Zero abbiamo un articolo pubblicato anche su Mondo Erre, nella rubrica "matemagica": I numeri vampiro. Dopo aver scoperto la "mostruosità" dei numeri vampiro (così definiti da Clifford Pickover), i protagonisti di Twilight o Dracula vi sembreranno dei pivellini!

Annarita Ruberto in questo periodo è giustamente più interessata alla didattica: tra i suoi post su Matem@ticamente ci segnala Trovate Il Quadrato: Soluzione Del Problema Con Applet Di GeoGebra, che è un interessante problema, adatto ai ragazzi della categoria C1 dei campionati internazionali dei giochi matematici, e Solido Composto Da Cilindro E Cono: Problema Svolto, per i ragazzi che devono affrontare l'esame di terza media. Ma è comunque riuscita a scrivere un post a tema: 99 = 100 !!!, dove mostra come tagliando opportunamente un rettangolo 11x9 si può ricavare un quadrato 10x10.

Leonardo Petrillo, nel suo Scienza e Musica, stavolta non parla di musica ma di scienza; più precisamente racconta Il concetto di determinante, con all'interno una lunga dissertazione riguardo a Laplace.

Roberto Zanasi, oltre che andare in giro ad accompagnare Giovani Veri Matematici (ne parla qui... è sempre matematica, sì) ha trovato il tempo di scrivere parecchie cose. Sul concetto di entropia, in cui si parla dell'entropia nel campo dell'informatica, e si svolge un esperimento con un generatore di testi casuali ma non troppo; Come funziona il generatore automatico di testi, in cui si spiega il funzionamento del generatore di testi casuali del post precedente; Il teorema cinese del resto spiegato ai bambini, in cui si parla del teorema cinese del resto spiegandone il funzionamento con una fiaba.

Abbiamo poi due contributi di Mr. Palomar. Come lo scorrere dell'acqua è una citazione da un bestseller del momento, "1Q84", ottimo romanzo di Haruki Murakami, nel quale uno dei protagonisti, insegnante di matematica e aspirante scrittore, riflette sul senso della vita, a suo parere così diversa dalla materia che insegna: "Nella vita le cose non scorrono scegliendo il percorso più breve. La matematica per me è, come dire, troppo naturale. Assomiglia a un bellissimo paesaggio. Qualcosa che semplicemente sta lì." Con Mr Q. #1: Borges, Paperino e il computer quantistico Mr. Palomar apre un ciclo di interventi sul tema della computazione quantistica. In questa prima puntata ha messo a confronto il parallelismo del "Giardino dei sentieri che si biforcano" di Borges con la cosiddetta "interpretazione a molti mondi" della meccanica quantistica, per passare attraverso gli "Universi pa(pe)ralleli" di Paperino e il "Multiverse" della rock band canadese Voivod. Il punto di arrivo del post è il concetto di qubit, o bit quantistico, concetto che verrà approfondito nei prossimi articoli (e quindi segnalato nelle prossime edizioni del Carnevale)

Prima parlavamo di matemagica: il nostro matemagico per definizione è Mariano Tomatis, che in questo mese si è occupato di codici segreti e messaggi nascosti.
In Soyga: il libro che uccide racconta la rocambolesca storia di un misterioso libro alchemico del Cinquecento, il "libro di Soyga". Il suo contenuto nasconde uno schema che può essere risolto con un po' di matematica e due ruote di Raimondo Lullo. Partendo dalle regole che definiscono le tavole del manoscritto, Mariano ha anche suggerito una serie di impegnative sfide enigmistiche in questi due post: Giocare con il Libro di Soyga - 1 e Giocare con il Libro di Soyga - 2. Con un balzo avanti nel tempo di 5 secoli, Mariano si è poi occupato di risolvere un piccolo enigma proposto il 9 maggio sul popolare sito BoingBoing: un gettone metallico che nasconde un messaggio in codice. Pur battuto sul tempo da un certo "Dan", l'illusionista torinese propone in questo post: Il messaggio nascosto sul gettone dello Stupid Fun Club i codici informatici per analizzare sul proprio computer - nell'ambiente di programmazione R - il misterioso gettone. Svelando il messaggio nascosto, che - a sorpresa - si basa anch'esso su una ruota di Raimondo Lullo.

Continuiamo con Gianluigi Filippelli, che spazia più o meno ovunque nei suoi tre contributi per questo mese. Iniziamo con Lo spuntino: Nato un po' per caso nel giorno del compleanno di Leonardo, Gianluigi si inoltra nei meandri di uno dei teoremi più gustosi della matematica: il teorema della pizza! Ovviamente il teorema si occupa del modo migliore di tagliare il gustoso piatto. Segue Semplificazioni econometriche: l'equazione della massaia: il post è una traduzione, reinterpretazione e modifica finale di un breve e divertente articolo di John Siegfried sulla somma più semplice e famosa del mondo: 1+1 = 2. Infine Passeggiando sopra un toro: Del trittico è sicuramente il più difficile, anche solo da riassumere. Sicuramente si parla di strani oggetti matematici che sono contemporaneamente lisci e ruvidi e che sono stati visualizzati, ovviamente al computer, da un eterogeneo gruppo di matematici dopo che gente del calibro di Nash e Kuiper ne aveva dimostrato l'esistenza.

Popinga (siete andati a sentirlo al Salone del Libro?) ci presenta due post. La matematica di Renzo Butazzi: I componimenti matematici (in prosa) e geometrici (in rima) di Renzo Butazzi, umorista poliedrico e giocoliere di parole, sono piccole storie di numeri e altri enti in cui c’è conoscenza e gioco, c’è la consapevolezza che si può parlare di matematica con umorismo senza banalizzarla. La mappa che cambiò le città è la storia di un’epidemia di colera nella Londra di metà Ottocento e di un medico che inventò la ricerca epidemiologica e anticipò i diagrammi di Voronoi, che sono, nel caso del piano euclideo, partizioni dello stesso, determinate dalle distanze rispetto a un insieme finito di punti.

Gli amici di Maddmaths! ci parlano indubbiamente di numeri "grandi", se non proprio strani, nella loro scheda divulgativa La matematica delle pile di sabbia di Stefano Finzi Vita (a cura di Emiliano Cristiani). Qual è il meccanismo con cui si forma una valanga? Come avanza una duna di sabbia nel deserto? Come riempire un silos di granaglie senza rischiare cedimenti strutturali? Perché se agitiamo una scatola di frutta secca assortita gli esemplari più grossi affiorano in superficie (il cosiddetto effetto "noci del Brasile")? Nella rubrica "L'alfabeto della matematica", Corrado Mascia scrive G come Gaussiana. Un argomento matematico molto noto, e ricorrente in dotte conversazioni, è la "campana gaussiana": si tratta di una curva che spesso viene utilizzata per indicare una sorta di 'prevedibilità' di un fenomeno che, appunto, è più o meno "normale" se il suo verificarsi rientra nella parte centrale di una "gaussiana" di probabilità...

Ah, si, ci sono anch'io. Ma tanto i miei post li avete già letti tutti, no? Per completezza vi racconto che qui sulle Notiziole ci sono un po' di recensioni: Penna, numeri e fantasia è una raccolta di problemi dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici; Math Puzzles è un ebook di problemi - vi consiglio soprattutto quelli di teoria dei giochi; Lettura del pensiero serve a ricordarsi che i soldi non sono solo semplici numeri; The No-Sided Professor non è propriamente matematica, ma visto che sono racconti di Martin Gardner spero che me lo lasciate comunque passare. Ci sono anche un po' di quizzini: in Sequenza dovete trovare il numero successivo di una sequenza un po' strana ma indubbiamente numerica; in Cassaforte aprire una cassaforte particolare; Meccanica celeste è uno dei pochi problemi di fisica che forse saprei risolvere anch'io; Pecore geometriche presume pecore puntiformi. Untouchable 11 è infine un gioco probabilmente impossibile da risolvere, io non ci ho nemmeno tentato.
Sul Post mi sono dedicato alle basi di numerazione strane: Un computer in base 3 (che poi è una base 3 bilanciata), La base -2 (i numeri negabinari...), Basi di numerazione frazionarie (qui si inizia ad andare sull'esoterico). Ma ho anche commentato certe percentuali un po' strane di penetrazione dei device Android in Leggere una tabella in modo creativo e sono tornato sul problema della cassaforte in Grandi numeri.

Ricordo che il Carnevale di giugno (il Giubileo!) sarà ospitato da Rosalba, e che la lista dei Carnevali è reperibile qua. Buona matematica a tutti!

P.S.: dopo la chiusura del post sono arrivati i contributi dei Rudi Matematici, che copincollo in tutta fretta (non ho tempo per aggiungere qualche commento...) I post del mese sono questi: Buon compleanno, Leonhard! - Il compleanno di Eulero. Ma cosa vuol dire? - Indovinello logico. Una poltrona per tre - la soluzione del problema di Le Scienze. Buon compleanno, Vito! - Il compleanno di Volterra. La L di DeBono - Un gioco essenziale di scacchiera. il centosessantesimo numero di Rudi Mathematici

Layos mi ha mostrato questa infografica che illustra i tempi cronometrici per i 100 metri maschili di atletica leggera: sono indicati i record del mondo, i risultati olimpici e - il dato più interessante del lotto - la media dei tempi dei venticinque atleti più veloci in ogni anno. Perché quest'ultimo è il dato più interessante? Beh, semplice: un valor medio smussa eventuali casi particolari, e permette di verificare meglio l'evolversi di una situazione.

Dall'immagine si vedono subito molte cose. Innanzitutto - tralasciando il periodo precedente al 1900 in cui probabilmente i dati a disposizione erano pochi perché l'atletica non era così frequentata - i tempi sono mediamente calati tranne in alcuni casi nemmeno troppo peculiari: le due guerre mondiali, la guerra di Corea (quello sì che è strano, se ci pensate... è come se nel 1950 gli atleti stanutitensi fossero di gran lunga i migliori del mondo, e almeno alcuni di essi fossero stati richiamati nell'esercito), e il passaggio al cronometraggio elettronico. Ci sono due eccezioni alla rovescia: le Olimpiadi in altura a Città del Messico e il 1972, chissà come mai.

Ma merita anche accorgersi che dal 1996 al 2007 questa media è rimasta fondamentalmente costante. Non può essere "merito" dell'agenzia antidoping, che ha iniziato a operare nel 2000 (occhei, in effetti la media 1996-1999 è leggermente inferiore a quella 2000-2007, ma non di molto: potrebbe anche essere un caso). Poi è arrivato Usain Bolt, il triangolino del record del mondo è crollato, ma anche la media dei tempi migliori si è abbassata. Ecco: questo è il limite di un'infografica. È impossibile capire quanto del crollo dei tempi della media dei migliori sia causa di Bolt da solo, e quanto del resto degli atleti. Così ad occhio Bolt da solo potrebbe valere tra un terzo e metà della differenza, e questo cambia davvero la percezione della tabella.

Capite perché io e le infografiche non andiamo mica troppo d'accordo?

Tra ieri e oggi nei media britannici sono state pubblicate due notizie che riguardano la matematica.

La BBC racconta che è stata prevista matematicamente l'equazione della coda di cavallo, parametrizzata rispetto al tipo di capelli (lisci o mossi, ispidi o morbidi) e dalla forza di gravità. Per quanto mi riguarda materiale da IgNobel, ma tant'è.

Ieri Ian Stewart sul Guardian ha raccontato della formula di Black-Scholes, quella alla base dei derivati di Borsa e indirettamente delle crisi economiche di questi ultimi anni (no, non è colpa della formula, ma di chi la usa). Spero di aver tempo per leggermi con calma l'articolo e magari tirarci fuori qualcosa per chi si spaventa tra inglese e fisica matematica, ma non garantisco nulla.

Il mio dubbio al momento è semplice: Rep&Cor riporteranno - rigorosamente senza collegamenti esterni, noi mica siamo come gli sporchi albionici - una o l'altra di queste notizie? E a chi faranno scrivere l'articolo? Burchia & Franceschini saranno già sul pezzo?

Per ottenere due miseri crediti formativi in più, dovete fare una prova di laboratorio: far crescere una colonia di batteri per esattamente nove minuti. Però non vi è concesso di usare alcun cronometro, ma solamente due clessidre lì presenti, una che misura 7 minuti e l'altra 4. Il tempo per rovesciare una clessidra è trascurabile, e naturalmente potete anche iniziare a far scendere la sabbia da una o entrambe le clessidre prima di mettere i batteri nella soluzione nutritiva, se pensate che la cosa vi risulti più semplice: quello che però dovete cercare di fare, per ottenere anche un terzo credito, è passare dentro il laboratorio il minor tempo possibile. In quanto tempo potete riuscirci?

(a) 9 minuti
(b) 11 minuti
(c) 18 minuti
(d) 21 minuti

(un aiutino lo trovate qui; la risposta verrà postata mercoledì, a partire da quel link)

Per premiare i partecipanti alle Olimpiadi della matematica ci sono a disposizione una medaglia d'oro, tre di argento e cinque di bronzo. Purtroppo si è scoperto che qualcuno ha sostituito una delle medaglie con una fasulla, che pesa meno di quelle vere. Non c'è nessuna relazione nota, invece, tra i pesi delle medaglie di metalli differenti: penserete mica che le medaglie siano davvero di oro, argento e bronzo?

Il vostro compito è scoprire qual è la medaglia falsa usando una bilancia a due piatti e facendo due sole pesate.

(un aiutino lo trovate qui; la risposta verrà postata mercoledì, a partire da quel link)

Il grafico che ho scopiazzato qui sopra non è mio ma di Antonio Nicita, che con Filippo Belloc ha scritto un interessante articolo su Lavoce.info, articolo segnalatomi da Layos. Spiegazione: le montagne e valli azzurre indicano la variazione dello spread (cioè della differenza di tasso di interesse offerto) tra BTP italiani e Bund tedeschi, mentre quelle rosse indicano la differenza del valore delle azioni Mediaset rispetto a quello del paniere di titoli del comparto spettacolo e telecomunicazioni. Attenzione: non rispecchia quindi il valore assoluto delle azioni Mediaset, ma come si sono comportate rishttps://www.facebook.com/#petto ai titoli simili. Insomma, se hanno perso più o meno degli altri.

Bene: la correlazione tra le due curve è incredibilmente alta. (Nota per chi non è abituato alla statistica: la correlazione si definisce alta anche quando è alta in valore assoluto ma negativa, cioè la variabile A sale quando la variabile B scende e viceversa. La cosa ha una sua certa qual logica, come mostrato dal seguente quesito: "Un tizio, accanito giocatore d'azzardo, è stato colpito da una maledizione: qualunque giocata faccia, perderà. Lui, ostinato, continua a giocare: sua moglie è felicissima della cosa. Come mai?")

Chissà se Napolitano ha fatto vedere un grafico simile a Berlusconi per convincerlo a dimettersi :-)

Aggiornamento: (18 novembre) Lavoce.info ha messo sul sito una serie di altri grafici che mostrano la correlazione tra i vari spread europei e in particolare tra quello italiano e gli altri. Apprezzo molto il tentativo di spiegare a parole il significato delle curve, anche se ho il sospetto che senza avere chiaro il concetto di base di correlazione il lettore perda parecchio... ma da qualche parte bisogna pur iniziare.

Giuseppe mi segnala questo articolo buonista pubblicato sul dorso web campano di Repubblica. Vabbè, la legge ti toglie la patente anche se ti becca positivo al controllo alcolemico mentre sei in bici, e questa mi continua a parere una stupidaggine: ma la legge è la legge.

Quello che Giuseppe - e io con lui - si chiede è come abbia fatto l'articolista a scrivere che il tasso alcolemico riscontrato avesse «un valore di pochissimo superiore al limite massimo consentito: 0,9 anzichè 0,5.» . Certo, la differenza è solamente 0,4, nemmeno un mezzo; non si sa bene un mezzo di che cosa, visto che l'anonimo articolista si è ben guardato dall'inserire un'unità di misura come credo insegnino già alla scuola primaria (le elementari, per chi è diversamente giovane come me). D'altra parte, se avesse misurato il tasso in mg/l invece che in g/l la differenza sarebbe stata di ben 400, giusto? Quindi sarebbe stato ben superiore al massimo consentito, giusto?

Va da sé che con questo tipo di dati, dove il valore può crescere da zero in su, il modo corretto per valutarli è considerare il rapporto, e quindi si sarebbe dovuto scrivere che il tasso era quasi il doppio del massimo consentito. Ma forse la signora non è di nazionalità romena o peggio ancora africana...

Stefano mi segnala questo articolo del Sole-24 Ore che spiega come i rivenditori possono fare in pratica per evitare di modificare tutti i prezzi nei loro cataloghi; basta scrivere all'inizio che ai prezzi occorre aggiungere una percentuale X dovuta all'aumento dell'IVA. Tecnicamente la cosa non fa una grinza, e anche l'esempio fatto è corretto; i prezzi finali non aumentano dell'1% come ingenuamente qualcuno potrebbe immaginare, ma dei 5/6 dell'1%, come si vede appunto dall'esempio. Stefano però si è stupito che questa percentuale di aumento sia stata indicata essere dello 0,833334%, con un arrotondamento per eccesso e non per difetto come si fa usualmente. Il mio primo pensiero è stato "con l'Erario non si sa mai, melius abundare quam deficere"; ma il mio secondo pensiero è stato "ma vale la pena?", e così mi sono messo a fare i conti.

La differenza tra l'arrotondamento per eccesso del Sole e quello per difetto standard è dello 0,000001%, cioè una parte su cento milioni, o se preferite un centesimo ogni milione di euro. In realtà ci sono prezzi minori specifici per cui si vedrebbe un risultato diverso dell'arrotondamento, ma per calcolarli mi servirebbe conoscere la normativa esatta per lo scorporo dell'IVA e quindi sapere quante cifre decimali devo usare. Ad ogni buon conto, credo proprio che all'atto pratico quell'arrotondamento è assolutamente ininfluente: si può quindi tornare alla domanda iniziale, "perché allora è stato fatto per eccesso?". A voi il giudizio.

Con il congruo ritardo dovuto alle mie ferie, segnalo l'edizione #40 del Carnevale della Matematica, ospitata chez Popinga. Fortuna che siamo ancora in agosto, e pertanto c'è tutto il tempo di gustarsi i tanti, tanti post.

Per il numero 41, ci si trova da Zar. Se volete scrivere di matematica ma avete troppe idee per la testa e vi serve un tema, quello per settembre è l'impossibilità. Ma come sempre se volete parlare d'altro va benissimo!

A Chris K. Caldwell piacciono i numeri primi. E piacciono anche le classifiche, direi. Infatti nel suo sito The Prime Pages raccoglie informazioni di ogni tipo sui numeri primi, dalle classifiche di ogni tipo (non solo i 5000 numeri primi più grandi trovati, ma anche molte Top 20 per categorie specifiche) ad alcune informazioni di base sull'ipotesi di Riemann, dalle congetture sui primi a un test di primalità per numeri (relativamente) piccoli - per esempio 20110811070001 non è primo, anche se il programma non indica i suoi fattori ma solo che non ha passato un test di primalità.

A cosa serve tutto questo? A nulla, ma volete mettere scoprire che 11333555557777777 è un numero primo? (e peccato per l'1 di troppo...) Potete sempre fare figura al bar con gli amici!

Un paio di anni fa avevo parlato del problema di Monty Hall (trovate i post originali qui e qui): in poche parole, bisogna tirare a indovinare dietro quale delle tre porte chiuse si nasconde l'automobile, sapendo che dopo aver fatto la nostra scelta iniziale il presentatore elimina una delle porte tralasciate (e questa porta non è sicuramente vincente: questa noticina è fondamentale) e poi ci chiederà se vogliamo cambiare o no porta.

La strategia vincente, che ci crediate o no, consiste nel cambiare porta, il che raddoppia le possibilità di successo: se non ci credete (e vi fidate della programmazione del sito...) potete voi stessi fare qualche prova al sito Stay or Switch?. Buon divertimento!

(via Wild about Math!)

Thirty-niiiiiiiine!

Benvenuti all'edizione numero 39 del Carnevale della Matematica! Anche se siamo in piena estate, non mancano comunque i contributi dei nostri affezionati carnevalisti: al limite latito un po' io, ma non è certo un problema :-)
Il numero 39 non dice moltissimo nel mondo reale: la citazione un po' sibillina qui sopra è da Jesus Christ Superstar, con la trentanovesima frustata che era il massimo numero comminabile secondo la legge mosaica (in realtà il limite era quaranta, ma visto che se il frustratore superava il numero veniva frustato a sua volta è andata a finire che per sicurezza si restava sotto). D'altra parte, 39 sono anche le attività proibite durante lo Shabbat...
Tra le proprietà numeriche di 39, Wikipedia ci ricorda che è la somma di cinque numeri primi consecutivi, e delle prime tre potenze di tre. Il 39 è inoltre il più piccolo numero naturale che può essere suddiviso in tre modi diversi come somma di tre numeri il cui prodotto è lo stesso: i partizionamenti sono {25, 8, 6}, {24, 10, 5}, {20, 15, 4}.
Musicalmente parlando, 39 è anche il titolo di una canzone dei Cure, e '39 quello di un brano di A Night at the Opera dei Queen. Tra le altre notizie inutili, oltre che ricordare che +39 è il prefisso telefonico per l'Italia, aggiungerei che i giapponesi scrivono in chat "39" per dire "grazie" (3=san 9=kyu), e che giocando a Scala quaranta ci si arrabbia spesso perché le combinazioni di carte in mano permettono solo di arrivare a 39 (il che non è strano, essendo 39 un multiplo di 3).

Ma basta con queste minuzie e passiamo alle cose serie, iniziando con una new entry!

Cristina Sperlari, come Rosalba (vedi sotto), è un'insegnante della scuola primaria che ha apertoi da poco un blog di didattica della matematica, Il piccolo Friedrich. Questo mese ci parla di matematica con l'origami: come dice il titolo, l'origami viene usato come base di partenza per aiutare i bambini a scoprire le proprietà geometriche delle figure.

Anche Rosalba ci fa giocare con la carta! In Matematica ricreativa: costruire un cubo con la carta presenta un piccolo gioco di costruzione di un cubo con la carta, un occasione per i bambini per imparare a realizzare forme geometriche e quindi riconoscerle sia in astratto che nel mondo reale. Ma la costruzione è anche un occasione per gli insegnanti per riflettere sulle pratiche didattiche, in particolare per quel riguarda l'apprendimento matematico, poco incline ancora oggi nel valorizzare l'aspetto manuale e ludico nella didattica. Il bambino per apprendere ha bisogno di legare i concetti all'operatività pratica: qualcosa che ha molto a che fare con il "toccare", anche quando quel periodo a noi adulti sembra superato.

Walter Caputo su Gravità Zero ci racconta La Teoria dei Giochi spiegata dal prof. Robert J. Aumann: una recensione del libro del Nobel dove vengono anche date alcune spiegazioni sul perché la Teoria dei Giochi sia una cosa non esattamente giocosa.

Annarita Ruberto su Matem@ticamente ci racconta dei suoi progetti, in parte limitati dall'avere avuto un mese di esami. In Fractal Lab: Progetto Per Esplorare I Frattali parla del progetto Fractal Lab di Tom Beddard, mirato a generare ed esplorare le strutture frattali. In Storie Di Numeri Di Tanto Tempo Fa - Capitolo 7 c'è la nuova parte della traduzione del libretto originale di David Eugene Smith "Number Stories Of Long Ago", svolta dalla specialista Anna Cascone. Tre Cappelli Bianchi E Due Neri è un problema-indovinello, la cui soluzione si può leggere qua; infine Il Geometricon racconta di un fumetto scientifico di Jean- Pierre Petit... con la recensione di Marco.

Mr. Palomar è uno dei pochi che ha preso sul serio il tema di questo mese, vale a dire "i giochi matematici" (confesso che io non l'ho mica seguito tanto, il tema che ho proposto...), come vedrete adesso. Ecco i suoi numerosi contributi di questo mese:
- Labirintico Borges: Il 14 giugno scorso è stato inaugurato a Venezia un giardino-labirinto per celebrare il venticinquennale della morte del grande scrittore argentino Borges, forse il più matematico degli scrittori del Novecento. [nota mia: per me vince Queneau, però]
- Il gioco dell'evoluzione artificiale: Un lungo articolo sugli algoritmi genetici: una tecnica dell'intelligenza artificiale che imita alcuni dei fenomeni base della genetica e dell'evoluzione per affrontare difficili problemi computazionali. Il successo degli algoritmi genetici è una dimostrazione indiretta della validità della teoria di Darwin, ancora oggi purtroppo osteggiata da molti. Nel post Mr. Palomar mostra come alcuni meccanismi evolutivi riprodotti artificialmente negli algoritmi genetici assomigliano molto a giochi enigmistici.
- Kraftwerk: "Numbers" e "Computer World": Un omaggio ai mitici Kraftwerk, che nel 1981 proponevano due brani: uno "matematico" e l'altro "informatico".
- L'evoluzione artificiale e i doppietti di Lewis Carroll: Ancora sugli algoritmi genetici e sui giochi di parole che si celano al loro interno. Già l'autore di Alice nel paese delle meraviglie, Lewis Carroll, aveva intuito la strana connessione tra l'evoluzione delle specie e l'enigmistica, e l'aveva rivelata nel suo famoso gioco dei "doppietti".
- Il numero di Dio: Alcuni rompicapi matematici, come il cubo di Rubik, il gioco del quindici o le torri di Hanoi, consistono nell'operare una sequenza di mosse per passare da una configurazione disordinata all'unica possibile configurazione ordinata. Il numero minimo di mosse con cui possiamo certamente risolvere il rompicapo partendo da una configurazione qualsiasi viene chiamato numero di Dio: nel caso del cubo di Rubik la ricerca del numero di Dio ha impegnato molti matematici e la risposta definitiva è stata trovata soltanto l'anno scorso!
- Il gioco della fine del mondo:Le torri di Hanoi sono un rompicapo molto familiare agli informatici, che su di esso imparano il concetto di ricorsione (oltre che di dimostrazione per induzione). Il gioco fu inventato nell'Ottocento da un matematico francese, il quale lo associò ad una leggenda esotica legata alla città vietnamita di Hanoi...

Flavio Ubaldini sul suo Blogghetto continua le Interviste impossibili: stavolta tocca a Pitagora, Ippaso e la scoperta dell'irrazionale. L'intervista è divisa in tre parti (uno, due, tre), ma la si può anche recuperare in un unico PDF. L'indice delle Interviste Impossibili è qui.

Mariano Tomatis parla invece di Archelogia, dadi e matematica. Raymond Smullyan raccontava la storia dell'isola degli zombie, i cui
abitanti si esprimevano con le misteriose parole "bal" e "da" (vogliono dire "sì" e "no" oppure "no" e "sì"?). Gli archeologi che si occupano di lingua etrusca devono risolvere un indovinello simile: quali numeri rappresentano le parole "huth" e "sa"? Per risolvere questo mistero hanno utilizzato... un dado!

Roberto Natalini sul suo blog Dueallamenouno, La matematica è un'opinione presenta tre post abbastanza diversi tra loro. In Batte la lingua sul tamburo si chiede: Possiamo dedurre dalle sole vibrazioni la forma del tamburo che le ha emesse? E dalle nostre reazioni alle parole, magari poetiche, possiamo dedurre la forma della nostra anima? Segue L'incubo della matematica agli esami: come è andato il compito di maturità? era facile o difficile? era strano? era veramente utile? Termina infine con Chi se ne frega della Matematica. A volte sembra che della matematica nessuno interessi, e meno che mai ai politici. Poi arriva il Ministro britannico all'Istruzione e dice che è la matematica che fa la storia? Ma sarà vero?

Ma Roberto è anche il leader di Maddmaths!, sito appena rinnovato esteriormente, che raccoglie numerosissimi contributi.
- Per la serie Vita da Matematico l'intervista con Luigi Civalleri. Cosa ci fa un matematico in una casa editrice? E perché i libri di matematica vendono così tanto? A queste e altre domande risponde Luigi Civalleri, laureato in matematica e docente al master in Comunicazione della Scienza presso la SISSA di Trieste.
- Per la serie Giovani Matematici crescono, l'intervista con Matilde Marcolli. Classe 1969, insegna al California Institute of Technology dopo essersi laureata all'Università di Milano. Una delle sue passioni? L'attivismo politico, in varie strutture della sinistra extraparlamentare, collettivi anarchici e comunisti.
- L'alfabeto della matematica di Corrado Mascia continua con "D come decomposizione". La ragionevole strategia della decomposizione è particolarmente potente: la maggiore complicazione sta nel riuscire ad individuare, per ciascun problema, quali siano gli oggetti elementari che meglio si confanno alla situazione considerata.
- In Gli origami in 3D e il Pysanka di Resch: l'uomo che fece l'uovo (di Pasqua) scopriamo insieme con Flavia Giannoli come la tecnica degli origami 3D ha permesso al matematico Resch di realizzare un monumento eccezionale: l'uovo di Pasqua celebrativo di Vegreville (Alberta, Canada) lungo 9 metri e pesante circa 2,5 tonnellate.
- Maurizio Vianello del Politecnico di Milano ci propone la sua recensione del libro "Il potere segreto dei matematici", dal titolo: Matematici: signori dei numeri e minatori di dati? «Ora, queste sono parole forti, di solito riservate alle multinazionali, ai servizi segreti o, in un altro settore, alla Massoneria, ai Templari, ai Rosacroce, insomma a quelle organizzazioni sulle quali si possono costruire storie di complotti e trame segrete. Ma i matematici? Dai, ma chi ci può credere? Ma che roba è?»

I Rudi Matematici (beh, no... le segnalazioni questo mese arrivano da Alice, e chi potrebbe mai definirla "rude"?), oltre a ricordarci un altro sesquicentenario, nel loro blog istituzionale parlano di varie cose. Il compleanno di giugno: Andrei Markov, padre delle omonime catene e molto di più. un problema "classico" attribuito ad Einstein, ma facile da risolvere e divertente da provare con gli amici nelle varie versioni. Uno dei PM antichi del Capo per giocare a fare i maghi dei numeri. Chi non era riuscito a risolvere il problema del mese trova infine la soluzione qui. Per la cronaca: Alice scrive «(lo diciamo sempre che non c'entra ma la nominiamo sempre)»; ma in effetti stavolta è perfettamente in tema con il tema!

Gianluigi Filippelli è un altro così bravo da far vedere come la matematica scollini in altre scienze. Nel suo post Una soluzione al problema del massimo insieme indipendente, dopo aver provato a spiegare cosa è un massimo insieme indipendente racconta di come un gruppo di ricercatori, utilizzando i dati provenienti da una rete biologica (i sensori di una mosca), sono riusciti a risolvere il problema del massimo insieme indipendente.

Roberto Zanasi si è invece accinto a un'altra delle sue imprese, che raccontano le gesta di un Vero Matematico e di un intelligente discente: le costruzioni con riga e compasso. Nome in codice: "I greci non erano normali". Il discorso si snoda in tante parti: dimostrazioni - riga e compasso - operazioni geometriche - passiamo alla geometria analitica - risoluzione di un'equazione di secondo grado con riga e compasso - campi - radici - numeri costruibili con riga e compasso.

Popinga ci delizia come sua abitudine con due post storici di grande valore.
- L’approssimazione di π nelle Observationes Cyclometricæ di Adam Kochański. Uno degli studi più noti sul valore approssimato da assegnare a π lo realizzò il gesuita polacco Adam Kochański che, nell’agosto 1685, pubblicò un metodo geometrico per ottenere la quadratura del cerchio, ispirato a quello della quadratrice di Dinostrato. Il metodo di Kochański permetteva di approssimare geometricamente il valore di π con una precisione mai raggiunta in precedenza.
- Geometria e geografia: il De dimensione terrae di Caspar Peucer. Un piccolo trattato di geografia matematica pubblicato nel 1550 a Wittenberg testimonia l’alto livello raggiunto nel campo della matematica dalle università protestanti tedesche. L’opera s’inquadra in ciò che a partire dal secolo successivo sarà l’oggetto della geodesia: stabilire una rete di punti di riferimento sparsi le cui posizioni sul globo siano conosciute con precisione, sulla quale basare i lavori di misurazione e topografia. Per far ciò sono introdotti semplici elementi di trigonometria, anche sferica.

Ah sì, ci sarei anche io. Qui nelle notiziole di .mau. c'è più o meno il solito tran tran. Ho parlato di un gioco di prestigio matematico: come indovinare una carta scelta da un mazzo, senza trucco e senza inganno, e ho la solita sfilza di recensioni, da Matematici, spie e pirati informatici (RBA Italia: bello il racconto ma pessima la traduzione) a Poesia dell'universo (la storia della rappresentazione dell'universo: non badate al titolo, il libro è bellissimo) a Il meraviglioso mondo dei numeri (idee interessanti, ma troppo giornalistico: non capisco perché sia stato così osannato, o forse purtroppo lo capisco) a Mathematics on Vacation (la matematica ricreativa prima dell'avvento dei computer. Alcune parti hanno superato la prova del tempo, altre no). Sul Post, invece, c'è roba più varia: eccovi la lista.
- I numeri naturali e gli assiomi di Peano - Uno, due, tre, quattro... più facile di così non c'è nulla, sembrerebbe. Ma anche i numeri naturali hanno una loro storia dietro.
- Parole matematiche: algebra - Non c'è poi tutta quella differenza tra rimettere a posto le ossa e aggiustare i membri di un'equazione!
- Non proprio l'un percento - Ma quanto sarebbe esattamente l'aumento paventato per l'Iva? Dipende da quello che volete calcolare, ma sicuramente non dell'un percento.
- L'attrazione fatale dei grandi numeri - Qual è la differenza tra il dare 4 punti su un totale di 200 e 2 su un totale di 100? Nessuna, matematicamente; parecchia, emotivamente.
- 6174, 196 e altri numeri - Alcuni numeri sono più interessanti di altri, almeno per chi ama cercare le loro proprietà strane.
E visto che non avevo nulla di meglio da fare, per soprammercato vi aggiungo una vignetta!

Il blog Popinga coordinerà il Carnevale n. 40 di agosto. Il tema scelto, come al solito non vincolante, è “Quant’è bella geometria”, in cui i partecipanti potranno sbizzarrirsi sul tipo di geometria che vorranno, nelle dimensioni e con la curvatura che più aggraderà loro, magari anche con riferimenti proiettivi, topologici e quant’altro. Buona matematica a tutti!

Volete stupire con effetti speciali il vostro pubblico? Vi serve un mazzo di carte, un aiutante (non un complice, come capirete leggendo) e un po' di memoria. Prendete il mazzo di carte, mischiatelo e datelo all'aiutante: poi uscite dalla stanza. L'aiutante chiede a qualcuno del pubblico di prendere il mazzo e scegliere cinque carte, che gli verranno consegnate. Lui le guarda, ne ridà una indietro a chi le ha scelte, mette le altre quattro in un mazzetto che lascia sul tavolo, ed esce (da un'altra porta). A questo punto voi entrate, prendete il mazzetto, ve lo mettete sulla fronte, mormorate le parole magiche preferite e dite qual è la carta mancante! Come avete fatto?

Come avrete intuito, la parte matematica del gioco consiste nell'ordinare le quattro carte in modo da codificare quella mancante. La soluzione, anzi qualcosa di più perché vi si spiega come si può fare lo stesso gioco con 124 carte, la trovate qua: ma accontentiamoci del più semplice problema originario. Il vostro aiutante ha cinque carte, e ne deve scegliere una da ridare indietro. Visto che ci saranno sicuramente due carte dello stesso seme, ne sceglie una e mette la seconda in cima al mazzetto. Quindi noi sapremo immediatamente qual è il seme della carta mancante, e avremo dodici possibilità tra cui trovare la nostra: dodici e non tredici, perché la tredicesima carta di quel seme la stiamo guardando. Le altre tre carte servono a codificare il valore di quella mancante, naturalmente. La convenzione è che le carte saranno Alta, Media e Bassa, dove l'ordine è per valore crescente dall'asso al re, e in caso di valori uguali è per seme crescente ad esempio con la filastrocca Come Quando Fuori Piove. Ci sono sei possibilità per mettere tre carte in ordine, e possiamo associare un numero a ciascuna possibilità: AMB=1, ABM=2, MAB=3, MBA=4, BAM=5, BMA=6.

Chi ha avuto il coraggio di arrivare fino a qua a questo punto salterà su: ma abbiamo dodici possibilità da distinguere, non sei! Certo... ma se è stato davvero attento si sarà accorto che il nostro assistente aveva (almeno) due carte dello stesso seme tra cui scegliere quella da riconsegnare. Basta allora considerare le carte in ordine ciclico, e dare quella "più bassa", nel senso che la distanza tra la consegnata e la trattenuta sia al più sei. Quindi tra il 2 e il 9 di picche si riconsegna il 9, si posizioneranno le altre carte nell'ordine BMA, e voi mi metterete a contare sei carte dopo il 9 (10, J, Q, K, A, 2) per stupire il pubblico con gli effetti speciali.

È vero: non è un trucco facilissimo da tenere a mente, e ci vuole un po' di allenamento. In compenso, potete usarlo anche se non siete lesti di mano, il che aiuta sicuramente... almeno nel mio caso!

Oggi raccontano come a Napoli la spazzatura che si stima trovarsi per strada sia scesa a sole 1720 tonnellate, dalle quasi 2000 dei giorni scorsi. Un calo di più del 10%. Ma io a dire il vero vorrei fare dei conti (spannometrici, come sempre) un po' diversi.

Napoli ha circa un milione di abitanti, quindi 2000 tonnellate significa 2 kg a testa. Quanto tempo ci vuole per produrli? Beh, il dossier rifiuti 2008 dice che cinque anni fa la media procapite di rifiuti urbani è stata di 550 kg/anno, cioè di circa 1,5 kg/giorno. Dunque la spazzatura sulle strade napoletane è poco più di quella che viene prodotta in un singolo giorno. Immagino che i roghi siano serviti ad abbassarne la quantità, oltre che ad alzare la probabilità di malattie, ma in ogni caso non si direbbero una gran cosa da un punto di vista relativo: avrebbero ragione sia Berlusconi prima che De Magistris ora a dire che con uno sforzo straordinario si potrebbe ritornare in pari.

E allora perché questo sforzo non c'è? Lo so, qui si esce dalla matematica, quindi non posso dare risposta :-)

Oggi tra le strisce che guardo regolarmente ci sono ben tre vignette matematiche: eccole qua.

Abstruse Goose disegna una citazione di Paul Halmos: per studiare matematica non basta leggerla, ma bisogna combatterla. Questo probabilmente vale per ogni materia, tranne al più le poesie da imparare a memoria - lì il combattimento è di un altro tipo - ma per la matematica probabilmente è ancora più vero, visto che un Vero Matematico non impara nulla a memoria ma si ricostruisce una sua mappa mentale per trattare gli argomenti (credo).

Saturday Morning Breakfast Central mostra i diversi approcci di una studentessa e di una navigata professoressa alla domanda "è possibile esprimere π come una frazione?" La studentessa, avendo appunto studiato a pappagallo, risponde subito di no: non è possibile, perché Lambert dimostrò 250 anni fa che π è un numero irrazionale. La professoressa non si scompone affatto, e risponde "π/1". Dove stava scritto che la frazione doveva avere numeratore e denominatore interi? Già in generale bisogna sempre stare attenti a quanto viene detto e non detto, ma in matematica la cosa è ancor più necessaria.

Infine esco un po' dal seminato con questa vignetta del sommo Makkox, titolo "il negro di Schrödinger". Negro è una licenza artistica, visto che si parla dei tunisini non voluti da nessuno; e anche la matematica (o più precisamente la fisica) è solamente una scusa per parlare di cose molto più serie. Però è interessante notare come appunto la si possa usare per questo scopo, cosa che molti avrebbero sicuramente pensato impossibile!

Benvenuti all'edizione numero 33 del Carnevale della Matematica! Come è usanza, inizio con l'accennare ad alcune delle proprietà del 33. Innanzitutto la parola "trentatré" (mi raccomando l'accento acuto!) è piuttosto usata, il che se volete è abbastanza strano visto che non è un numero piccolo. Il dottore fa dire trentatré ai pazienti, e sembra che ciò non capiti solo in Italia ma anche in Francia, Spagna e Romania; molti conosceranno lo scioglilingua «Trentatré trentini, tutti e trentatré di Trento, entrarono trotterellando in Trento»; e tutti, il giorno del proprio trentatreesimo compleanno, si sentiranno dire la trita e ritrita battuta «Gli anni di Cristo!», che poi non è nemmeno detto sia vero. Alle generazioni allevate a MP3 il "33 giri" non dirà molto, ma quelli della mia età avevano collezioni di padelloni di LP - long playing, anche se duravano meno di un CD - in vinile con gli album dei loro cantanti preferiti. Non sto nemmeno a contare quanti famosi cestisti USA avevano il numero 33 sulla maglia; a furia di ritirare maglie in loro omaggio, prima o poi la NBA non userà più quel numero... Infine Dan Brown in un suo racconto del 2009 afferma che il 33 è il numero della risposta fondamentale alle domande della vita; ragione di più per non credere a una parola di quello che dice.
Passando alle proprietà matematiche e numeriche. Il 33 è un numero semiprimo, prodotto cioè di due primi distinti (3·11), e inizia il primo terzetto di semiprimi consecutivi che appare nella successione dei numeri, che comprende 34 (2·17) e 35 (5·7). È la somma di due quinte potenze (1⁵+2⁵) e dei fattoriali dei numeri da 1 a 4; in compenso è il più piccolo intero che non possa essere scritto come somma di numeri triangolari distinti.

Ma arriviamo (finalmente!) ai contributi di questo mese. Il tema che avevo proposto, guardando il calendario e accorgendomi che si entrava nel 2011, era appunto "il calendario". Casualmente una new entry, Paolo Alessandrini a.k.a. Mr. Palomar, ha iniziato il proprio blog con diversi post sul calendario. In "Iniziano oggi gli 'anni dieci'?" viene raccontata e discussa la vecchia questione su quando inizi veramente un secolo, o un decennio. Paolo parla di calendare anche in un trittico: "Il problema del campionato" (qui i link alle parti 2 e 3), con una personale esplorazione del problema che preoccupa chi deve organizzare tornei sportivi: la compilazione di un calendario di un campionato a squadre strutturato come "girone all'italiana"; mostra che il problema può essere affrontato in modo naif, ma può anche essere modellato ricorrendo alla teoria dei grafi e propone un vecchio algoritmo proposto da uno scacchista dell'Ottocento, e uno ideato da lui.
Mariano Tomatis ci (ri)segnala un suo vecchio post su come costruirsi un calendario Maya con le carte da gioco; avete meno di due anni per impratichirvi prima della fine del mondo, quindi sbrigatevi. Per semplificarvi la vita, Mariano ha anche preparato una spiegazione di come funziona il calendario Maya, assieme alla schermata col calendario di oggi.
Annarita Ruberto segnala un contributo scritto dal quindicenne Marco Cameriero,
Nuove Funzioni Per Excel Con L'utilizzo Del VBA | Calcolare Date...Ecc.: si tratta della programmazione di nuove funzioni Excel con VBA per calcolare in automatico date di festività ecc.
I Rudi Matematici hanno naturalmente il link al loro Calendario della rivista Rudi Mathematici (rivista giunta al numero 144), che al suo interno ha molti altri link di post su calendari: un link al quadrato, insomma.
Gianluigi Filippelli scrive L'uomo del calendario: muove i passi da uno degli avversari di Batman per parlare di calendari, ma anche di filastrocche, carrolliane e non.
Maddmaths! non ha un calendario, ma un almanacco: il 2010 visto da Maddmaths!.
Io ho scritto un paio di post a proposito di calendario sul Post: in Calendario perpetuo mentale spiego come si può riuscire a dire qual è il giorno della settimana corrispondente a una data qualunque senza avere a disposizione un calendario; in Venerdì 13 comunico una brutta notizia per chi ha paura del venerdì 13; il giorno 13 del mese capita più spesso di venerdì che negli altri giorni della settimana, e la colpa è di papa Gregorio XVI!

Come sapete, però, non è affatto obbligatorio seguire il tema per partecipare al Carnevale della matematica, almeno fino a che si parla di matematica. Veniamo dunque agli altri contributi.
Roberto Natalini, non pago di Maddmaths!, ha aperto un nuovo blog sull'Unità, dueallamenouno; il nome deriva da una famosa interrogazione di matematica in Ecce Bombo di Moretti e cercherà di raccontare alcuni aspetti della matematica, evitando di spaventare troppo i lettori. Ecco i post presenti: Paura di Contare - La matematica fa paura. È la bestia nera di tantissime persone adulte e anche molto istruite, che non si vergognano di dire di non riuscire a
capire nulla di matematica. C'è anche un vocabolo per questa paura. la “matofobia”. Un fantastiliardo di auguri - I numeri grandi sono sempre stati molto popolari. Ci si può chiedere quali siano i numeri più grandi che abbiano dei nomi, e insomma, in definitiva servano a qualche cosa. Tutti insieme, appassionatamente - In fondo, è proprio l'opposta polarità tra cooperazione ed egoismo che forma il nocciolo delle visioni politiche che ancora oggi identifichiamo come sinistra e destra. Matematica e democrazia - L'alfabetizzazione quantitativa è “la capacità e l'abitudine mentale di cercare informazioni quantitative, considerarle criticamente, riflettere su di esse, e applicarle nella vita pubblica e professionale”. Il suo scopo sarebbe quello di permettere alle persone di ragionare con informazioni quantitative complesse, che si ritrovano un po' ovunque nella società attuale.
in Maddmaths! sono invece presenti questi post. Viaggi nel tempo - istruzioni per l'uso di Diego Altobelli: due chiacchiere in chat con il fisico che ha ideato la prima macchina. Fantamatematica: John Nash: uno, nessuno, centomila di Stefano Pisanil Direttamente da “A Beautiful Mind”, John Nash, il bizzarro individuo che inventò un equilibrio che porta il suo nome in senso ironico. Gigliola Staffilani è Full Professor presso il Department of Mathematics del Massachusetts Institute of Technology (MIT). Oltre a essere un'eccezionale matematica, è una persona molto simpatica e dalla risata coinvolgente. Schede divulgative: Restauro digitale di pellicole cinematografiche di Domenico Vitulano; secondo una stima UNESCO, 2,2 miliardi di metri di
pellicole cinematografiche sono attualmente conservate in archivi nazionali ed internazionali. E quasi il 90% dei film muti (precedenti agli anni ‘30) ed il 50% dei film prodotti prima degli anni ’50 sono gravemente danneggiati. Scopriamo come la matematica interviene nel restauro digitale delle pellicole "graffiate".
Paolo Alessandrini ha anche scritto "Pensieri sopra GEB", recensione sul celebre e monumentale saggio "Godel, Escher, Bach" di Douglas Hostadter, un libro ancora capace di affascinare e stupire a 32 anni dalla sua uscita; e Mr. Palomar e Doctor Subtilis,
(una rivisitazione giocosa del principio logico noto come "Ex falso sequitur quodlibet").
Dioniso ha deciso di integrare un po' la parte iniziale della serie storica sulla matematica «Numeri e Geometria attraverso la storia», iniziando con una parte introduttiva: I primi passi del pensiero matematico; anche l'Indice è stato doverosamente aggiornato.
Popinga presenta La trisezione del quadrato, cioè suddividere un quadrato in un numero minimo di poligoni che possano essere riassemblati per dare tre quadrati più piccoli fra loro congruenti, di superficie pari a un terzo di quella del quadrato di partenza. Per quanto sia risolvibile con il semplice uso di carta, penna, compasso e forbici, e sia abbastanza semplice da essere compreso da un bambino, esso ha occupato i matematici per secoli, dal medioevo nei paesi islamici fino ai giorni nostri. Ancora oggi è oggetto di studio e di nuove soluzioni.
Annarita Ruberto e i suoi studenti hanno la solita messe di contributi. La Somma Dei Primi Cinque Numeri Naturali Dispari...Di Legno è la configurazione geometrica relativa alla somma dei primi cinque numeri dispari, realizzata con gnomoni di legno da un suo primino. Una Dimostrazione Visiva Del Teorema Di Pitagora è il video di una delle tante dimostrazioni del teorema di Pitagora, che però ha il pregio di essere facilmente compreso visivamente. I Geopiani Di Gattegno: Possibili Impieghi Didattici (1° Parte) è il primo di due articoli dedicati ai geopiani di Gattegno e ai suoi possibili impieghi sia nella didattica e nell'apprendimento della geometria piana che nella risoluzione di problemi matematici, in generale. Costruire Caleidoscopi Augurali Con GeoGebra presenta tre applet di Geogebra realizzate da Annarita per costrire fantasmagorici caleidoscopi e giocare con le simmetrie. Costruire Un Pupazzo Di Neve Con Geogebra e Costruire Un Albero Di Natale Con Geogebra sono due applet costruite con Geogebra, da Davide, un suo primino, che propone anche Muovere punti con Geogebra, che ci fa giocare con le tracce attive di punti.
Roberto Zanasi confessa di essere stato pigro; ha scritto (?) solo di criteri di divisibilità (quasi) e di dimostrazioni (queste sì) senza parole.
I Rudi Matematici ci hanno presentato un giochino pensato per le vacanze natalizie (ma che potete fare anche adesso); l’istituzionale soluzione al quiz della rivista cartacea (Le Scienze); un post mate-geografico che voleva soprattutto celebrare la nomina del direttore de Le Scienze a direttore (anche) del National Geographic (Italia), i cui commenti ricevuti sono stati tutti molto tecnici e poco gossipari, e ancora un gioco, dal titolo fuorviante "14 Luglio”.
Infine Claudio Pasqua in Gravità Zero presenta La Ninfea Matematica del Dr Longfellow: il problema della ninfea è così semplice che chiunque, anche se inesperto di matematica o geometria, può risolverlo. Eppure serve a illustrare un importante problema geometrico in maniera tale che, una volta imparato, non lo si dimentica più. Un esempio di alta divulgazione scientifica.
Gianluigi Filippelli su Science Backstage ha scritto vari post. Fare matematica con i documenti storici è la recensione di un libro (versione per insegnanti), liberamente scarivabile on-line, che mira ad essere un libro di testo alternativo nell'insegnamento della matematica. La matematica di Rachmaninov: è un piccolo post sperimentale per parlare di matematica, usata da Rachmaninov nella riscrittura di una famosa opera di Paganini, scacchi e musica classica. Gravity vs heightè infine il grafico e codice sorgente della dipendenza della gravità dall'altezza realizzato con Scilab. Dal suo blog personale segnaala infine Tini, fori e rubinetti: i primi Problemi di Fibonacci sullo svuotamento e riempimento di botti risolti da Fibonacci e le cui risoluzioni prescindono dalla fluidodinamica.
Infine ci sono io: gli altri miei contributi personali al Carnevale nel blog di matematica sul Post sono Il teorema dei quattro colori, dove mi chiedo se una dimostrazione fatta solo con l'aiuto del computer sia vera o no; i Problemini matematici natalizi, con relative soluzioni; e Probabilità improbabili, alcuni esempi di paradossi che compaiono con il calcolo delle probabilità. Nelle Notiziole ho solo due recensioni: Strange Curves, Counting Rabbits, and other Mathematical Explorations, matematica tra il ricreazionale e il serio, e Il matematico si diverte, dove Federico Peiretti racconta come per divertirsi con la matematica non sia necessario essere matematici professionisti. Ma è stato un periodaccio, anche solo assemblare questo Carnevale è stato un delirio.

Il prossimo mese il Carnevale sarà ospitato per la prima volta da Peppe Liberti, nel suo Rangle. Partecipate numerosi!

(P.S.: il 2011 è l'Anno Internazionale della Chimica: e nasce il Carnevale della Chimica, in collaborazione tra Chimicare e Gravità Zero. Benvenuto a quest'altro nuovo Carnevale!)

Nell'Europa continentale i formati per la carta sono stati standardizzati da parecchio. I più noti sono gli An; un foglio di carta A0 ha un'area di un metro quadro, e se dividi a metà un foglio Ak ottieni due fogli A(k+1). Il formato non è molto bello come proporzioni, ma questa sua proprietà di essere simile a sé stesso una volta dimezzato lo rende così utile che si passa sopra questa sua bruttezza.

La settimana scorsa Zar ha chiesto a un gruppetto di amichetti come avrebbero fatto una "dimostrazione senza parole" (un disegno autoesplicativo) che dimostrasse che condizione necessaria e sufficiente per avere quella proprietà è che i due lati del rettangolo siano in rapporto 1:sqrt(2) tra di loro.

La mia dimostrazione è indicata qui a fianco (il sorgente Geogebra è qui): vi piace? è comprensibile? la fareste in modo diverso?

Le regole del gioco sono spero chiare: non ci deve essere null'altro se non il disegno, al più è possibile indicare graficamente che certi angoli oppure certi segmenti sono uguali mettendoci un apposito segnetto.

Aggiornamento: (28/10) Gnugnu mi ha mandato quella che secondo me è la dimostrazione definitiva, da lui denominata "3x2". Eccola qua.

Grazie alla condivisione di Zar di un post di MarkCC, ho potuto deliziarmi con questo esempio di FAIL, tratto chiaramente da FailBlog. Per chi non lo conoscesse, FailBlog raccoglie immagini di cose e azioni evidentemente sbagliate, per fare quattro risate. In questo caso la risata è doppia, perché nei commenti di FailBlog sono in tanti a chiedersi "embè? che c'è di sbagliato?"

Per chi non può o non vuole vedere l'immagine qui sopra, c'è un problema (con tre stelle, quindi definito molto difficile da chi ha preparato i fogli del test) che dice "Maria ha impiegato 10 minuti per segare in due parti una tavola di legno. Se lavorerà alla stessa velocità, quanti minuti le occorreranno per segare un'altra tavola in tre parti?" Il malcapitato studente (uso il maschile perché la calligrafia mi sembra maschile, ma potrebbe benissimo essere una studentessa) ha risposto "20" e l'insegnante gli ha cassato la risposta, spiegando che se per due pezzi ci vogliono 10 minuti allora per quattro pezzi ci vorranno 20 minuti e quindi per tre pezzi bastano 15 minuti.

I miei ventun lettori sono molto intelligenti; magari a primo acchito avrebbero risposto anche loro "15 minuti" ma sapendo che c'è qualcosa sotto si saranno messi a pensarci su e avranno capito cosa c'è sotto senza continuare a leggere due righe sotto.. No, la risposta non è come quella di un commentatore di MarkCC che scherzando dice "magari la seconda tavola era larga solo il 75% della prima?". Molto semplicemente, per segare in due parti una tavola basta un singolo taglio, e per segarla in tre ne occorrono due, quindi lo studente aveva ragione e l'insegnante torto marcio, il che non è affatto bello come esempio per le nuove generazioni.

A questo punto è giunto il momento di un coming out. In un compito di matematica alle medie dovevamo trovare l'area di una tovaglia che copriva un tavolo quadrato di lato un metro, sapendo che la tovaglia pendeva di 15 cm per lato. Io ho subito detto "beh, il perimetro del quadrato è 4 metri, quindi la parte che non sta sul tavolo ha un'area di 0,6 m² e l'area totale è di 1,6 m²... Insomma, il FAIL è sempre in agguato!

Stamattina (all'ora ufficiale 09:29, nel caso non ve ne siate accorti) i Rudi Matematici hanno presentato l'edizione numero 29 del Carnevale della Matematica. Annuncio semplicemente la new entry Mariano Tomatis, ricordo che Popinga ospiterà la numero 30, e che sono aperti i posti per avere la gioia di tenere da voi un'edizione del Carnevale (per scrivere un post per il Carnevale c'è sempre tempo!)

Ecco un simpatico giochino che ho trovato sul blog del New York Times Wordplay (che una volta la settimana invece che le parole usa i numeri...)
Nel disegno qui sopra vediamo un cannone ideale che spara una palla ideale che colpisce un riflettore ideale. Il cannone è posizionato a 45 gradi; il riflettore è esattamente alla stessa altezza della bocca del cannone. Il problema chiede qual è l'angolo a cui bisogna mettere il riflettore per far sì che la nostra palla rimbalzi e ritorni nella bocca del cannone, con un effetto Vile E. Coyote. Essendo tutto ideale, non ci sono perdite per attrito o cose del genere, ve lo dico subito.
Come sempre, lasciate una bella scritta SPOILER per non rovinare il divertimento agli altri lettori!

Di siti che ti permettono di accorciare il nome di un'URL lunghissima ce ne sono a caterve. Lo stesso vale per i siti che ti permettono di caricare immagini da usare poi nel tuo sito: l'ultimo che sto provando è TinyPic.

Ma con mathURL arriviamo alla delizia estrema per un matematico. Hai un editor di formule in formato TeX (aiutino: le formule che vedi nelle pagine di Wikipedia sono in quel formato, quindi puoi partire da quelle lì e modificarle a tuo gradimento) che poi ti dà un'URL breve che puoi mettere come immagine esterna nel tuo sito o blog.

Se poi sei un talebano del puro testo, asciiTeX (scoperto via Wild About Math!) è ancora meglio: te lo compili, gli dai la formulaccia, e lui... te la converte in Ascii Art, in quel bello (?) stile dei preprint anni '70 e anche '80. Un bijou.

Tutti voi conoscete la favola della Bella Addormentata, immagino. Quello che forse non sapete è che ultimamente, a causa della crisi che colpisce anche i Principi Azzurri, la fanciulla è stata costretta a cercare un lavoro; date le sue indubbie qualità è finita a fare la cavia in un esperimento scientifico.

Una domenica sera viene somministrato a Bella (non sapevate che era il suo vero nome?) una droga che la fa dormire profondamente. A questo punto i ricercatori lanciano in aria una moneta (equa). Se il risultato è testa, viene svegliata dopo ventiquattr'ore (quindi lunedì sera), intervistata e mandata a casa. Se invece il risultato è croce, viene ugualmente svegliata dopo ventiquattr'ore e le viene fatta una domanda; ma poi le viene nuovamente somministrata la droga. Il martedì sera viene nuovamente svegliata, le si fa una domanda, e la si manda a casa. Nessun paradosso con l'infinito, insomma: o ha dormito un giorno e le è stata fatta una domanda una volta, oppure ha dormito due giorni e le hanno fatto una domanda per due volte.. Dimenticavo: un effetto collaterale della droga è una leggera amnesia, quindi Bella non sa assolutamente che giorno sia, e se è la prima o la seconda volta che è stata svegliata. La domanda è la seguente: «Qual è secondo te la probabilità che il lancio della moneta abbia dato come risultato croce?»

È chiaro che dal punto di vista della Bella Addormentata la risposta non può che essere 1/2: non ha certo nessuna informazione in più rispetto a prima. Ma è anche chiaro che se l'esperimento fosse ripetuto mille volte, in media avremo cinquecento sveglie singole e cinquecento doppie, quindi le vengono fatte 1500 domande, e in mille di questi casi è uscita croce. Quindi la risposta non può che essere 1/3. Ma ancora, se prendiamo il punto di vista dei ricercatori, la risposta non può che essere 1/2: la moneta è sicuramente equa, no? (Notate che se la domanda fosse stata «Qual è secondo te la probabilità che oggi sia lunedì?» la risposta sarebbe stata indubbiamente 2/3, ma quella è una domanda diversa.)

Questo è noto come paradosso della Bella Addormentata: è stato ideato nel 1994 da Arnold Zuboff e Adam Elga, e trovate una rapida trattazione su Wikipedia in inglese. Qual è la vostra soluzione?

Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da Gianluigi Filippelli nel suo Science Backstage; il tema non ufficiale è "A spasso con zio Bertie", e i contributori erano stati invitati a scrivere qualcosa su Russell e la logica matematica. Andate subito a leggerlo, poi se avete voglia tornate qui che vi devo spiegare il mio post di sabato.

Non sapendo io esattamente che scrivere su Russell, mi è venuto in mente di riciclare quanto scritto da Hofstadter nel capitolo 11 di Anelli dell'io, quando passa dalle analogie alla trattazione del Teorema di Indeterminatezza di Kurt Gödel. Come forse sapete, Gödel ha praticamente buttato a carte quarantotto il sistema formale preparato da Bertrand Russell e Alfred Whitehead, i Principia Mathematica. Le due opere inesistenti citate sono entrambe analogie umoristiche sul procedimento da lui seguito; ci sono vari indizi che il lettore abile può ritrovare. Il "negozio tipico" ricorda la teoria dei tipi sviluppata da Alf e Bertie, e il nome della scrittrice, "Rossella Wadhead", si pronuncia in modo simile a "Russell and Whitehead", esattamente come succede con "W.A.I.Ted Enrustle" e "Whitehead and Russell". Il dire una frase mentre si vuole significare l'opposto è l'equivalente dell'affermazione matematica che afferma la sua non dimostrabilità, e infatti viene pronunciata da "K.G.". Nell'altra opera, il Principe Ippia - Matedrammatica sono ovviamente i Principia Mathematica, che parla per l'appunto di noiose proprietà dei numeri primi, che però possono essere lette - con la mappa creata da Kurt Gödel, pardon dal critico Gerd Külot, che è di origine TURKa - come proprietà sul libro in sé. Ci sono altri giochi di parole all'interno di quel capitolo, ma bisogna aver letto il resto del libro per coglierli e quindi qui li ho saltati: spero che comunque abbiate apprezzato questa presa in giro hofstadteriana del povero zio Bertie!

Aggiornamento: (17:30) vi ricordo che il Carnevale n. 27 sarà ospitato dal sottoscritto: non qua, però, bensì sul blog di matematica sul Post.

Eccovi qualche problema matematico molto semplice, alla portata davvero di tutti. Le risposte lunedì nei commenti: se volete rispondere voi, ricordate di iniziare il vostro commento con SPOILER:

1) Quant'è la metà dei due terzi dei tre quarti dei quattro quinti dei cinque sesti di 12?

2) Se riflettete un certo numero da destra a sinistra oppure lo ruotate di 180 gradi ottenete 11. Ma il numero non è 11. Qual è il numero?

3) Un automobile (indicata con ??) ha coperto il numero del parcheggio dove si è posizionata. Da qua vedo questi numeri:
(16 - 06 - 68 - 88 - ?? - 98)
Qual è il numero del parcheggio dove si trova l'auto?

4) Nella somma 43+57=207, ciascuna cifra è distante esattamente un'unità da quella corretta. Qual è la somma corretta?

5) Se Cesare ha ordinato 40 toghe extra-large e 50 toghe large, quante toghe di taglia medium ha ordinato?

(tratto da David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx)

Allora: siete capaci a indovinare qual è il termine matematico (di dodici lettere) da inserire qui sotto?

minore di cinque
meno uno
moltiplicato per dieci
uguale due
__________ cento

MI affretto ad aggiungere che per trovare la risposta occorre usare molto bene il pensiero laterale, più o meno come per vedere le faccine :-)

Scrivete SPOILER nei commenti, se volete indicare la soluzione; altrimenti aspettate lunedì per la risposta.

(tratto da David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx)

Questo mese tocca ad Annarita ospitare il Carnevale della Matematica, e lo fa come di sua abitudine con un'edizione strepitosa: non solo per i settantaquattro post scritti da ben trenta collaboratori, ma anche per la parte introduttiva sulla bellezza della matematica.

Ricordate che avete solo un mese di tempo prima della prossima edizione, ospitata da Science Backstage.

Di roba ce n'è davvero tanta, quindi accorrete numerosi!

Una delle cose più o meno inutili che piacciono ai matematici è vedere come è possibile ricoprire perfettamente il piano ("tassellarlo") con figure "carine". Ad esempio, ci sono diciassette tassellature regolari fondamentalmente distinte, come si può leggere ad esempio su Wikipedia e come sfruttato da Mauritz Cornelius Escher nelle sue litografie. Se si vuole tassellare il piano usando un singolo poligono regolare le uniche possibilità sono date da quadrato, triangolo equilatero ed esagono regolare; se si ammette l'uso di poligoni regolari diversi e si aggiungono però i vincoli di non scorrimento (ogni lato di un poligono combacia esattamente con un lato di un altro poligono) e di identificazione dei vertici (ogni vertice della figura è indistinguibile dagli altri) ci sono solo 11 possibilità.

Ma la cosa più interessante è riuscire a trovare una tassellatura aperiodica del piano; un insieme di figure che ricoprono sì il piano, ma senza nessuna simmetria di traslazione. Detto in altre parole, se avessimo due fogli infiniti di carta con una tassellatura aperiodica del piano che non possono ruotare ma solo scorrere nelle due dimensioni, l'unico modo per sovrapporli esattamente è non spostarli affatto. La cosa sembra incredibile, ma è possibile costruire una simile tassellatura usando solo due rombi, uno più cicciotto e uno più smilzo; Roger Penrose e Robert Ammann hanno mostrato nel 1974 come sia possibile farlo, ottenendo una tassellatura che ha solo una simmetria di rotazione, di 72 gradi per la cronaca. Un altro modo per fare una tassellatura di Penrose consiste nell'usare un quadrilatero convesso ("kite") e uno concavo ("dart"), come forse avrete visto da qualche parte.

Il Sacro Graal della tassellatura consiste nel trovare una singola forma che ricopra il piano solamente in maniera aperiodica; potete immaginare come io sia saltato sulla sedia dopo aver letto su MathPuzzle che una piastrella simile era stata trovata! Poi sono andato a leggere l'articolo su arXiv (PDF), e ho purtroppo scoperto che la notizia era stata molto pompata. La piastrella esagonale mostrata qui sopra, con le regole indicate nell'articolo, in effetti ricopre il piano in maniera aperiodica, ma non è possibile modificarla aggiungendo denti e buchi in modo che quello sia l'unico modo per tassellare il piano. Gli autori si arrampicano sugli specchi dicendo che però si può forzare l'aperiodicità se a partire dalla piastrella si disegna una figura non semplicemente connessa (composta cioè di pezzi staccati che però per decreto sono considerati parti della stessa forma) oppure andando sulle tre dimensioni, manco fossimo al cinema.

Intendiamoci: il risultato è sicuramente interessante, ma non è la notiziona che ci si aspettava; potete ancora andare alla caccia della tassellatura aperiodica!

Ricordate il problema che avevo postato il mese scorso, in cui si chiedeva di dimostrare che ogni numero intero può essere espresso in uno e un solo modo come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi? Avevo dato una dimostrazione per induzione, ma avevo aggiunto che non avrei mai scelto di dimostrarlo in questo modo perché il tutto mi pareva inutilmente involuto. Adesso vi presento la "mia" soluzione, presentata in modo descrittivo seguendo il ragionamento che ho effetivamente fatto: come vedrete, è un misto di ricorsione e induzione.

Innanzitutto ho iniziato a scrivere i primi numeri che corrispondono alle ipotesi in "base Fibonacci". Detto in altro modo, proprio come 2718 in base 10 equivale a 8*10⁰ + 1*10¹ + 7*10² + 2*10³, 2718 in base Fibonacci – che scriverò come 2718_F – equivale a 8*F(1) + 1*F(2) + 7*F(3) + 2*F(4), cioè 8*1 + 1*2 + 7*3 + 2*5 = 41. I numeri esprimibili come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi, se scritti in base Fibonacci, saranno composti da soli zero e uno, senza avere mai due uno consecutivi. Ho iniziato così a scrivere i primi di questi numeri, mettendo a fianco il valore corrispondente in base 10.

1_F = 1
10_F = 2
100_F = 3
101_F = 4
1000_F = 5
1001_F = 6
1010_F = 7
10000_F = 8
10001_F = 9
10010_F = 10
10100_F = 11
10101_F = 12

Mi sono subito accorto di una cosa fantastica: abbiamo scritto una e una sola volta tutti i numeri da 1 a 12! Visto che il numero successivo, 100000_F, è già 13, posso immaginare che questo pattern continui all'infinito. A questo punto mi sono messo a cercare una formula ricorsiva per vedere quanti e quali sono i numeri di k cifre in base Fibonacci che soddisfino i vincoli. A parte i casi banali con k ≤ 2, un numero di k cifre inizia con il prefisso 10 e continua usando tutti i numeri con al più k-2 cifre (compreso 0). Il numero di questi numeri è F_k-2 (per ipotesi induttiva); visto che quelli con meno di k cifre sono F_k-1 (sempre per ipotesi induttiva), la loro somma è proprio F_k. Siamo così riusciti a costruire ricorsivamente tutti i numeri con al più k cifre in base Fibonacci che soddisfino i vincoli, e abbiamo scoperto che li abbiamo trovati tutti (e non ce ne sono di uguali, perché se m_F e n_F sono diversi, 10m_F e 10n_F sono anche diversi).

Il tutto è ricorsione oppure no? Qualche passaggio induttivo l'ho usato, e del resto il mio amico gnugnu dice che secondo lui ricorsione, induzione e discesa infinita – una tecnica di dimostrazione per assurdo che Fermat apprezzava molto ma che è davvero complicata da usare – sono poi la stessa cosa. Il mio pragmatismo è un po' diverso: io vedo i vari metodi in maniera diversa, e trovo appunto una dimostrazione come questa essenzialmente più "visuale" di una prettamente induttiva. Inoltre in questo modo uno si convince del risultato, e riesce anche a capire come possa averlo trovato a chi ha proposto il teorema; sicuramente l'enunciato standard non ve l'avrebbe mai fatto venire in mente.

Voi che ne pensate?

ricorsione, s.f.: vedi ricorsione

L'induzione, di cui ho parlato poco tempo fa, è una brutta bestia: non tanto per la complessità del concetto, quanto perché il modo con cui si impiega generalmente l'induzione è piuttosto astratto. Le dimostrazioni per induzione assomigliano spesso a un gioco di prestigio algebrico, con un po' di operazioni formali. Insomma, qualcosa che funziona sì, ma non ci dà informazioni su cosa sta effettivamente dietro.

La cosa buffa è che però è relativamente semplice trovare spiegazioni sull'induzione, ma almeno per i matematici non ci sono così tante informazioni su un modo in un certo senso simile per risolvere i problemi matematici: la ricorsione. La mia sensazione è che la ricorsione era sempre stata usata dai matematici del passato, ma veniva considerata una tecnica di serie B e quindi snobbata nelle dimostrazioni "ufficiali". Poi è arrivata l'informatica, dove la ricorsione è parecchio usata; di nuovo però i matematici pensano che una cosa usata dagli informatici non è poi così importante... Ma lasciamo perdere queste disquisizioni, e vediamo come funziona la ricorsione.

Tecnicamente la ricorsione consiste nel risolvere un problema P con dati in ingresso D riconducendosi alla risoluzione del problema P con dati in ingresso D', dove i dati D' sono "più semplici" dei dati D. La frasetta magica "ricondursi al caso precedente" ricorre spesso nelle barzellette create dai fisici per prendere in giro i matematici; ma in questo caso la cosa è piuttosto diversa, e molto più seria. Ecco l'esempio canonico di ricorsione, tanto per mettere le cose più in chiaro: il calcolo del fattoriale.

Come probabilmente ricordate, il fattoriale di un numero intero positivo n, indicato con n!, è il prodotto dei numeri da 1 a n. Per convenzione, 0! e 1! sono uguali a 1. Per calcolare n! si può appunto fare il prodotto dei numeri da 1 a n, ma si può anche operare in altro modo. Un informatico per esempio scriverebbe un programma la cui parte principale dice più o meno così: "Per calcolare la funzione "fattoriale di n", chiamo la funzione "fattoriale di n-1" e moltiplico il risultato per n." Chi non è abituato a queste cose fa un balzo sulla sedia: "Ma come fa questo qua a scrivere una cosa del genere? Com'è possibile definire una funzione per mezzo di sé stessa? Non si sovrappongono i pezzi?" Per quanto riguarda la struttura informatica, vi posso assicurare che non ci sono problemi: quello che viene richiamato non è il programma inteso come archetipo ma una sua istanza, insomma un suo clone. Il punto chiave è che dobbiamo essere certi che il procedimento non si espenda all'infinito, oppure che a un certo punto si ritorni al punto di partenza ottenendo così un circolo vizioso. Ma per fortuna questo non è il caso: il numero di cui si deve calcolare il fattoriale continua a ridursi, e prima o poi diventerà 1 (beh, ammesso che l'input sia stato un numero intero positivo. Ma quello del validare i dati in ingresso è un altro tipo di problema: qui si fa matematica, non informatica). Ma noi sappiamo quanto vale il fattoriale di 1! (per la cronaca, quest'ultimo è un punto esclamativo, non il simbolo di fattoriale), cioè 1. In definitiva, basta aggiungere il caso particolare; "Per calcolare la funzione "fattoriale di n", verifico se n=1; in caso affermativo il risultato è 1, altrimenti, ecc. ecc.".

Notata la differenza con l'induzione? Lì partivamo da 1 e salivamo fino all'infinito, grazie al quinto postulato di Peano; qui partiamo da un numero qualunque e scendiamo fino a 1. C'è però un altro punto che in genere viene trascurato. L'induzione parte da una formula chiusa, una cioè dove basta infilare il numero e si ottiene il risultato; con la ricorsione non c'è nulla del genere, e anzi trovare una formula chiusa a partire da quella ricorsiva non è sempre così semplice. Tanto per fare un esempio pratico, prendiamo i numeri di Fibonacci. Come ricordate, la loro definizione è ricorsiva: F₁ = F₂ = 1, e F_n+1 = F_n + F_n-1. È anche possibile avere una formula esplicita per l'n-simo numero di Fibonacci:

dove φ₁ è (1+√5)/2 e φ₂ è (1-√5)/2. Semplice, no? Vero che ce l'avevate sulla punta della lingua? D'accordo, questo è forse un caso limite: ma in genere ci vuole comunque una certa arte per trovare la formula chiusa corrispondente a una formula ricorsiva.

Nonostante tutto, però, la ricorsione almeno a mio parere è un modo più naturale per trovare la soluzione di tutta una classe di problemi, e quindi dovrebbe essere sempre pronta nella borsa degli attrezzi di un matematico.

Non so quanto sia leggera questa matematica qua; diciamo però che la soluzione, quando ve la dicono, è facile.

Come forse ricordate, un polinomio di grado n può essere determinato univocamente se conoscete il suo valore in n+1 punti. Supponiamo però che ci venga detto che il nostro polinomio P sia speciale: i suoi coefficienti sono tutti interi non negativi. In questo caso è concepibile che si possa determinare il polinomio conoscendo un numero minore di valori. Se ci è consentito di scegliere opportunamente per quali numeri x (algebrici) ci venga detto qual è il valore di P(x), quanti ce ne serviranno?

(l'ho visto da God Plays Dice, dove c'è anche la soluzione...)

Vi siete ricordati ieri di festeggiare il Giorno Pi Greco? No? Male. Adesso per fare penitenza andate da Popinga e leggetevi il Carnevale della Matematica - edizione numero 23!

Leggendo quanto ho scritto sull'induzione, Gnugnu mi ha scritto, suggerendomi un teorema che si può dimostrare con l'induzione forte: ogni intero può essere scritto in un unico modo come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi. Per chi non se lo ricordasse, i numeri di Fibonacci sono definiti così: F₁ = F₂ = 1, e poi F_n+1 = F_n + F_n-1. In questo caso, però, i primi due numeri di Fibonacci non sono 1 e 1 ma 1 e 2, in modo che tutti i numeri siano distinti. Se volete provare a dimostrare il teorema, smettete di leggere ora! Se invece della dimostrazione non ve ne può importare nulla, saltate i due paragrafi seguenti che sono sì semplici, ma anche piuttosto noiosi.

Per dimostrare che una cosa si può fare in un solo modo, in genere si inizia a domostrare che la si può fare, e poi si fa vedere che se la si fa in due modi questi sono in realtà lo stesso. Vediamo allora innanzitutto che ogni numero può essere scritto come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi. I casi 1, 2 e 3 sono banali: la "somma" è il singolo numero stesso. Andiamo avanti, e prendiamo un n qualunque. Sia F_k=f il più grande numero di Fibonacci minore o uguale a n. Se f=n siamo a posto; altrimenti sia d=n-f. Sicuramente d<f, visto che tranne nel caso di 1 e 2 ciascun numero di Fibonacci è minore del doppio del precedente; cerchiamo ora il più grande numero di Fibonacci minore o uguale a d. Tale numero non può essere F_k-1, perché altrimenti se n ≥ F_k+F_k-1 allora è maggiore o uguale a F_k+1, contro la nostra ipotesi. Ma d è esprimibile come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi per ipotesi induttiva, quindi siamo a posto per quanto riguarda la prima parte.

E per la seconda? Beh, prendiamo il più piccolo numero n esprimibile in due modi diversi come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi. Il più grande F_k nello sviluppo dei due numeri deve essere per forza diverso: altrimenti anche n-F_k sarebbe esprimibile in due modi diversi, e quindi n non sarebbe il più piccolo. A questo punto ci occorre un lemma che mostri come – per quanto grande possa essere un numero come da ipotesi il cui sviluppo abbia come termine maggiore F_k – sarà sempre strettamente minore di F_k+1. Di nuovo, possiamo usare l'induzione. 1, 2, 3 non danno problemi perché il loro sviluppo contiene un solo numero. Per un k generico, un numero m il cui sviluppo abbia come termine maggiore F_k avrà al più come secondo termine F_k-2; quindi per ipotesi induttiva m - F_k < F_k-1 da cui m < F_k + F_k-1 = F_k+1, come volevasi dimostrare.
Dal lemma otteniamo così che non è nemmeno possibile che i due modi diversi per esprimere n abbiano come maggior numero di Fibonacci nel loro sviluppo due numeri diversi, e quindi la nostra tesi è ottenuta.

Detto tutto questo, e dando il bentornato a chi non ha avuto voglia di infilarsi in quei conti che sembravano essere infiniti, aggiungo che se io dovessi presentare una dimostrazione di questo teorema la farei in maniera completamente diversa e, almeno a mio parere, molto più intuitiva. Però prima di farla mi tocca fare qualche altro post...

Qualche giorno fa ho
iniziato a parlare dell'induzione matematica.

Dopo aver parlato di induzione solo dal punto di vista teorico, vediamo un esempio esplicito di dimostrazione per induzione, mostrando che la somma dei numeri dispari da 1 a 2n+1 è uguale a (n+1)². Il passo iniziale è semplicissimo: quando n=0, la somma dei numeri da 1 a 1 fa 1, che è esattamente il quadrato di 1. Più facile vederlo che spiegarlo. Immaginiamo ora che l'ipotesi valga fino a un certo n, e proviamo a vedere cosa succede con n+1. La somma dei numeri dispari da 1 a 2(n+1)+1, cioè da 1 a 2n+3, è pari a 2n+3 più la somma dei numeri dispari da 1 a 2n+1, che per ipotesi induttiva è (n+1)², cioè n²+2n+1. Facendo la somma otteniamo n²+4n+4, che guarda caso vale proprio (n+2)². Fine della dimostrazione: con un solo caso generale abbiamo dimostrato l'ipotesi per gli infiniti casi particolari.

Tutto questo è bellissimo, ma siete stati attenti c'è qualcosa che non va.Il guaio non è nella dimostrazione, che non è poi così difficile: si fanno giusto un po' di giochetti formali coi numeri e si arriva al risultato, e questo capita spesso quando si usa l'induzione, tanto che a volte mi chiedo se nessuno abbia mai fatto un sistema di intelligenza artificiale che sappia risolvere problemi per induzione. Ma come facevamo a sapere che il risultato era proprio quello indicato nel teorema? Chi ce l'ha suggerito? Insomma, l'induzione è un bieco trucco; riusciamo solo a dimostrare qualcosa che conosciamo già. La cosa è spiazzante soprattutto per chi è rimasto alla concezione che purtroppo viene insegnata a scuola, vale a dire che la matematica sia qualcosa di perfettamente lucidato, con i teoremi che sono così perché non potrebbero essere diversi, e che scendono dall'alto come novelli deus ex machina. No, non è affatto così. La matematica avanza per tentativi ed errori, ed è solo in un secondo tempo che ci si affretta a togliere tutte le impalcature e lasciare solo il risultato finale per l'ammirazione del popolo. Per quanto riguarda l'induzione, quello che succede di solito è che il matematico fa un'ipotesi su quale possa essere il risultato, e poi controlla se ha ragione; proprio come un meccanico che ascolta il rumore di un motore e fa una diagnosi. Il vantaggio del matematico, se volete, è che non si sporca le mani... a meno che la penna con cui sta scrivendo non perda inchiostro!
Do solo un accenno a un'estensione del principio di induzione, che potete tranquillamente lasciar che è un parallelo della teoria cantoriana degli infiniti. L'induzione classica si applica all'infinito numerabile, ma si può anche parlare di induzione transfinita; in questo caso su dice che "se una proprietà P vale per zero, e quando vale per tutti gli ordinali minori di ψ, allora P vale anche per ψ, allora vale per tutti gli ordinali." Come in tutte queste eteree proprietà logiche, l'induzione transfinita è indipendente da quella standard, nel senso che uno può accettarla oppure no e il resto della matematica va avanti tranquillo; se lo si accetta, però, l'induzione standard ci viene data gratis. Un esempio a riguardo è il teorema di Goodstein, che non è decidibile usando gli assiomi di Peano ma è vero se si ammette l'induzione transfinita.

Termino con un paradosso matematico basato sull'induzione, che "dimostra" come tutti i cavalli sono dello stesso colore. Prendiamo un insieme di n cavalli. Nel caso n=1 la tesi è banalmente vera. Per un n qualunque, numeriamo i cavalli e togliamo il numero 1. Rimangono n-1 cavalli, che per ipotesi induttiva sono tutti dello stesso colore. Ma se rimettiamo il numero 1 e ne togliamo un altro, abbiamo di nuovo n-1 cavalli, che sono sempre dello stesso colore di prima. A questo punto, visto che i due insiemi hanno un'intersezione in comune, è chiaro che tutti e n i cavalli sono dello stesso colore. O no?

Lo sappiamo tutti: Sherlock Holmes è il principe della deduzione. Almeno, ci è sempre stato venduto in questo modo, anche se poi a guardar bene anche l'investigatore dal naso adunco – o meglio Arthur Conan Doyle – spesso barava e tirava fuori dal cappello alcune informazioni che non erano state date al lettore, oppure giungeva a conclusioni non certe ma altamente probabili. I filosofi affermano che il metodo holmesiano si dovrebbe più correttamente definire abduzione, come lo pseudosillogismo che da una premessa maggiore corretta ("tutti gli uomini sono mortali") e una minore molto probabile ("Giulio Andreotti dovrebbe essere un uomo") conclude con una conseguenza molto probabile ("si presume che prima o poi Andreotti morirà"). A proposito di abduzione, attenti ai falsi amici! In inglese "abduction" è il rapimento, soprattutto se da parte di alieni... ma non divaghiamo.

Il vero regno del campo deduttivo è naturalmente la matematica, dove si inizia a mettere i paletti (gli assiomi e i postulati) e da lì si va man mano avanti a dedurre i vari teoremi, come abbiamo tutti imparato quando abbiamo studiato geometria. Se ci pensarte un po', però, la deduzione è un percorso in un certo qual senso sterile; tutto quello che deduciamo, per quanto possa sembrare incredibile – avete presente il cosiddetto teorema di Napoleone? Se si disegnano le trisettrici di un triangolo qualunque, queste si incontrano a due a due nei vertici di un triangolo equilatero – era già presente in nuce negli assiomi e postulati iniziali. Non abbiamo inventato nulla, ma solo scoperto quello che c'era già fin dall'inizio. Ripensandoci, non è affatto strano che la gran maggioranza dei matematici sia fondamentalmente della scuola platonista; a furia di trarre conseguenze logiche di quello che hai, ti inizia a sorgere il dubbio che gli enti matematici sono tutti lì da qualche parte, un po' come in Flatterlandia.

Eppure anche in matematica c'è un modo per tirare fuori qualcosa di nuovo: l'induzione ("induzione matematica" se si vuole fare i precisini, ma in genere l'aggettivo si omette perché è chiaro che si sta facendo matematica). Anche nel mondo di tutti i giorni si parla di "procedimento induttivo" , ma in realtà è tutta un'altra cosa; si vedono alcune correlazioni, per esempio che quando spunta il sole settembrino dopo un temporale si trovano molti funghi, e si stabilisce una legge generale, che il sole dopo la pioggia faccia crescere i funghi. Tale legge può però essere vera o falsa, ed è solo un risultato empirico che fa rabbrividire un qualunque matematico se applicato alla propria scienza. Qui si tratta di qualcosa di completamente diverso.

La formalizzazione dell'induzione matematica è stata data da Giuseppe Peano nella sua definizione dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano sono cinque, come i postulati della geometria euclidea; l'induzione è l'ultimo e il più complicato da spiegare, proprio come in geometria euclidea. Dopo avere stabilito per legge che 0 è un numero, che esiste una funzione S ("successore") tale che se n è un numero anche S(n) è un numero ("per quanto grande sia un numero, posso sommarci uno"), che non esiste un numero x tale che S(x) = 0 ("zero è il primo numero"), e che se ci sono due numeri m e n per cui S(m) = S(n) allora m = n ("posso mettere tutti i numeri in fila"), il quinto assioma dice che "Se una proprietà P vale per 0 – cioè P(0) è vera – e sappiamo inoltre che se P vale per n allora vale anche per S(n), allora P vale per tutti i numeri naturali". Per amor di precisione, il quinto assioma di Peano afferma che non ci sono altri numeri naturali al di fuori di questi, ma è un punto secondario. In un certo senso, questo quinto assioma ricorda il postulato delle parallele: molto più complicato degli altri, uno si chiede se è proprio necessario e non si possa invece farne a meno. La risposta è però molto diversa, come vedremo subito.

La cosa che dovrebbe subito saltare alla vista è che il quinto assioma di Peano, a differenza degli altri, tratta con l'infinito. Gli altri assiomi lavorano tutti con un numero o due; anche dire "se esiste il numero un fantastiliardo, allora esiste anche un fantastiliardo e uno" è una proprietà locale. Col quinto assioma, invece, dobbiamo prendere tutti i numeri contemporaneamente. L'immagine che io ho in mente è quella di un numero infinito di tessere del domino messe ritte in piedi una vicina all'altra. Forse avete visto quei video in cui ci si limita a dare un colpetto alla prima tessera, che cadendo tocca la seconda che a sua volta cade colpendo la terza... finché tutta la costruzione finisce giù per terra. Ecco, l'induzione è esattamente la stessa cosa, solo che le tessere sono infinite. Per la cronaca, esistono due definizioni di induzione: nell'induzione forte, invece che solo per n, la proprietà P deve valere per tutti i numeri inferiori o uguali a n, perché valga anche per n+1. Ma in realtà le due formulazioni sono equivalenti, e si può scegliere l'una o l'altra a seconda della comodità. Inoltre non è affatto detto che l'ipotesi induttiva debba partire necessariamente da 0; la proprietà può essere valida da un certo numero k, e ovviamente il risultato sarà valido per ogni intero maggiore o uguale a k. Così, se vogliamo dimostrare per induzione che la somma degli angoli di un poligono convesso di n lati è pari a n-2 angoli piatti, partiremo dal triangolo e non certo da un ipotetico poligono con zero lati!

[non è tutto qua, vai alla seconda parte]

Lo so che state scambiandovi Valentines, ma mi preme ricordarvi che i Rudi Matematici (senz'acca) hanno (con l'acca) postato la nuova edizione del Carnevale della Matematica, e che la prossima sarà presso Popinga.

Alle Cenerentoliadi del gennaio scorso c'era questo problemino matematico. Non è difficile da risolvere, diciamo che i più esperti possono provare a farcela senza fare conti e i solutori più che abili possono provarlo a risolvere tutto a memoria; però il problema è comunque alla portata dei ragazzi delle medie.

Avete i dodici numeri da 110 a 121 e dovete associare a ciascuno di essi un numero da 1 a 12 (tutti diversi, naturalmente), in modo che ciascun numero aggiunto sia un divisore di quello iniziale. Per fare un esempio, se poteste usare i numeri da 1 a 15 e aveste anche il 105, visto che 105=3*5*7 potreste associargli 1, 3, 5, 7 oppure 15=3*5. Nel nostro caso, a 120 si può associare 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 oppure 12. La soluzione è unica.

Riassunto delle puntate precedenti: Pitagora si è accorto che le note musicali potevano essere ricavate da una corda che vibra, man mano dimezzando o moltipllcando per tre mezzi la sua lunghezza. Nel primo caso si otteneva una nota "quasi uguale" (all'ottava sopra), nel secondo una "che stava bene insieme" (una quinta sotto). Peccato che i rapporti delle lunghezze tendevano a diventare dei numeracci troppo complicati per il suo gusto estetico, che dopo tante quinte e ottave non si riusciva a tornare esattamente al punto di partenza, e che la nota che completa l'accordo con quinta e ottava suonava male. Zarlino ha provato a mettere a posto il primo e l'ultimo problema, con la fregatura che adesso suonare in do maggiore e in re maggiore faceva una sottile ma perfettamente udibile differenza. Pietro Aron aveva invece preferito temperare le quinte, abbassando un po' la loro intonazione per lasciare uguali i vari intervalli tra le note; i rapporti corispondenti diventavano però brutti numeri irrazionali e il giro di quinte e ottave (il "circolo delle quinte") si chiudeva ancora peggio di prima. Infine Werckmeister aveva scelto un approccio molto più pragmatico, temperando solo alcune quinte a seconda del tipo di musica che si voleva suonare. Gli intervalli tra una nota e la successiva erano generalmente tutti diversi, i rapporti non venivano nemmeno più calcolati, però il circolo delle quinte si chiudeva perfettamente.

Come avrete notato, dopo un promettente inizio nessuno si preoccupò più che i rapporti tra ciascuna nota e la successiva fossero dei numeri "interessanti"; si era indecisi se perlomeno dovessero essere o no tutti uguali tra loro; la chiusura del circolo delle quinte stava diventando davvero importante. Il passo successivo era logico; fregarsene dei valore dei rapporti, e mettere come assioma che il ciclo delle quinte fosse perfetto e che tutti gli intervalli fossero identici. Il corollario è che bisogna dividere l'ottava in dodici parti uguali (per rapporti,non per differenze); ciascun semitono deve pertanto corrispondere a un rapporto pari a ¹²√2. Questa suddivisione ha preso il nome di temperamento equabile, perché appunto a tutti i semitoni corrisponde lo stesso rapporto. Non che l'idea fosse nuova; già ai tempi dell'antica Grecia Aristosseno di Taranto l'aveva formulata, e ai tempi di Zarlino il matematico e fisico Simone Stevino la propugnava con forza. Solo nel Settecento però si ebbe la possibilità tecnica di calcolare correttamente le suddivisioni; non per nulla in quel periodo nacque anche la chitarra, dove i capotasti ti costringono a suonare con il temperamento equabile.

Alle lezioni di storia della musica ti insegnano che è stato Johann Sebastian Bach a propugnare questa accordatura, scrivendoci su apposta Il clavicembalo ben temperato; oggi però molti studiosi non sono d'accordo, e ritengono che Bach abbia scritto quei preludi e fughe avendo in mente il temperamento Werckmeister I (III). Non sono certo in grado di dare un giudizio netto, ma il batto che l'opera abbia nome ben ("Wohl-") e non equamente ("Gleich-") temperato qualcosa lo vorrà ben dire. Ma tanto la cosa non cambia molto; il temperamento equabile ha vinto la guerra, e sono più di duecento anni che si usa solo lui, salvo in casi particolarissimi.

Ecco qua la suddivisione della scala musicale; chiaramente misurarla in cent dà numeri tondi, e in effetti il cent come unità di misura nacque proprio per questa ragione. Non metto i rapporti rispetto alla nota fondamentale, perché tanto sono tutti della forma "radice dodicesima di due elevato a qualcosa".

Temperamento equabile

 
Dovrebbe saltare subito all'occhio che l'intervallo di quinta è praticamente uguale a quello dell'intonazione pitagorica e naturale; la cosa non dovrebbe stupirci piu di tanto, visto che abbiamo spalmato il comma pitagorico di errore del giro delle quinte in dodici parti uguali. L'intervallo di terza è invece un po' migliore di quello pitagorico, ma peggiore di quello naturale o mesotonico; noi non ce ne accorgiamo semplicemente perché siamo bombardati da questo tipo di suoni. Infine è chiaro che si può suonare un brano in una qualunque tonalità e sembrerà assolutamente uguale, proprio per costruzione.

Ma alla fine di tutto questa cavalcata, il temperamento equabile è davvero il migliore? La risposta, come spesso capita, è "dipende". È sicuramente il più comodo da usare oggigiorno; per il resto è un compromesso sufficientemente accettabile, anche se non perfetto. Accontentiamoci!

Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da Chartitalia, un blog generalmente legato al mondo musicale e delle classifiche. Detto in altro modo, andate a darci un'occhiata anche se la matematica non la sopportate: alla peggio evitate di cliccare sui link (farete solo piangere noi poveri divulgatori, ma fa lo stesso)!

(segue da qui)

Il problema principale con l'intonazione naturale è che si è persa la perfetta simmetria dell'intonazione pitagorica. Il tono non è infatti piu "il" tono; il rapporto tra re e do (tono maggiore) è 9/8, mentre quello tra mi e re (tono minore) è 10/9. Questo significa che ci sono intervalli teoricamente uguali che suonano diversi; dunque una scala di do maggiore e una scala di re maggiore suonate all'organo – il pianoforte non c'era ancora! – non sono identiche, il che dà un certo qual fastidio all'orecchio. Per gli archi continuano a non esserci problemi, almeno fino a quando suonano tra di loro, senza tastiere di mezzo. C'è stato a dire il vero qualcuno che aveva proposto e fatto costruire degli strumenti (l'archicembalo e l'archiorgano) dove in ogni ottava venivano affastellati ben trentun tasti in modo da permettere di suonare tutte le note intonate giuste; ma credo che la lobby, pardon la gilda, dei costruttori di strumenti musicali e quella dei musicisti si siano alleate per mandare a stendere i propugnatori di quelle ipertroficità. Come per i toni, l'intonazione naturale prevede due semitoni distinti; quello che vediamo comparire nella scala standard, il cui rapporto vale 16/15 e viene chiamato semitono diatonico, e quello calcolato per differenza tra un tono minore e un semitono diatonico, detto semitono cromatico e che vale 25/24. Per confronto, il semitono pitagorico vale 256/243, cioè circa 20/19. La confusione nei nomi e nei numeri è enorme, e non è finita: nella discussione si intrufolò persino Galilei! Non Galileo, ma il su' babbo Vincenzo, musicista di una certa importanza ben noto a chi ha studiato a Pisa; Galilei propose un semitono dal rapporto 18/17, probabilmente per rompere le scatole a qualcuno perché non so assolutamente come riuscisse poi ad accordare gli strumenti.

Già che stiamo parlando di numeri, aggiungo che la differenza tra tono maggiore e tono minore, il comma di Didimo o comma sintonico, è pari al rapporto 81/80; un rapporto importante anche se, nella migliore tradizione musicale, ci sono almeno altri due commi: quello pitagorico che vale 531441/524288 (parlavamo di numeri piccoli?) e quello enarmonico che vale 128/125. Se ci accontentiamo di un'approssimazione pratica, un tono vale circa 9 commi e un semitono diatonico vale cinque commi, quindi la differenza tra il sol diesis (un semitono sopra il sol) e il la bemolle (un semitono sotto il la) è un comma. Da qua si capisce come mai per vari secoli il comma è stato usato come unità pratica per le approssimazioni.

A proposito di approssimazioni, Zarlino diceva che la sua proposta era da considerarsi uno studio teorico, perché l'Accordatura Migliore era già stata proposta qualche decennio prima: il temperamento mesotonico, detto anche "del tono medio". Avete notato che prima parlavo di intonazione e adesso di temperamento? Non è un caso, e ora vedrete il perché. Il temperamento mesotonico è stato teorizzato da Pietro Aron nel 1523, e parte da un presupposto se volete lapalissiano: "Vogliamo che le terze suonino bene assieme, e accordando per quinte non riusciamo a farlo? Evitiamo di accordare per quinte!" All'atto pratico si iniziava ad accordare per quinte, cominciando con do - sol - re - la - mi. A questo punto si prendeva il mi ricavato in questo modo, e lo si abbassava (lo si accordava "calante", nel gergo musicale) fino a che si poteva suonare contemporaneamente do e mi sentendoli intonati. A questo punto si divideva in quattro parti l'abbassamento complessivo e lo si distribuiva tra le quattro quinte, in modo che fossero tutte calanti uguali. Per accorciare il rapporto si fa la stessa operazione con cui si tempera una matita per accorciarla... da qui il termine "temperamento" (anche se a dire il vero sia una corda che una canna d'organo devono essere allungate per abbassarne il suono!) Una volta messa a posto la prima terza non ci sono più grossi problemi: si continua ad accordare per quinte abbassandole per farle diventare consonanti con la terza relativa. Ecco il risultato finale:

Temperamento mesotonico

Ci sono un po' di radici, addirittura radici quarte, e la logica pitagorica si è persa del tutto; ma non è poi la fine del mondo. Tra l'altro tutti i toni adesso hanno lo stesso rapporto, √5/2, che è la media geometrica tra il tono maggiore e quello minore, da cui il nome dato al temperamento. E la radice quadrata di 5 la si trova anche nel pentagono e nel rapporto aureo, quindi numerologicamente è accettabile. Il guaio è quando ci si mette a riempire l'ottava con i semitoni mancanti, e si casca di nuovo nel problema della chiusura del circolo delle quinte. Il problema era anche presente nell'intonazione pitagorica e in quella naturale, ma diventa importante solo adesso, visto che si inizia a comporre brani in tonalità diverse e a fare delle modulazioni, cioè cambiare tonalità all'interno di un brano inserendo note che non fanno parte della scala originaria. Quel che è peggio è che il temperamento mesotonico, per aggiustare le note usate di solito abbassando le quinte "normali", rende ancora più difficile chiudere il circolo. Esiste così un singolo intervallo di quinta – la quinta del lupo, in genere tra sol♯ e mi♭, con un intervallo di ben 737 cent, rispetto ai 702 della quinta giusta e ai 697 della quinta temperata mesotonicamente. Quasi mezzo semitono – tecnicamente il famigerato comma enarmonico di cui parlavo prima – davvero difficile da digerire! Occhei, formalmente tra sol♯ e mi♭ c'è una sesta diminuita e non una quinta; diciamo che che se uno suona un brano in mi♭ si trova questo intervallo al posto di quello che dovrebbe essere l'intervallo di quinta la♭ - mi♭ similmente per chi vuole suonare in mi maggiore e (non) si trova l'intervallo sol♯ - re♯. Per ovviare a questo problema, una volta ammesso il principio del temperamento, occorreva qualcuno che con pazienza certosina studiasse quali martellate dare alle canne dell'organo (non scherzo, si fa anche così per accordarlo), insomma quali quinte toccare e di quanto per ottenere un risultato apprezzabile in qualunque tonalità si volesse suonare. Queste cose le sanno fare solamente i tedeschi e i giapponesi: ma questi ultimi non avevano al tempo contatti con gli europei, quindi toccò ai teutonici. Fu Andreas Werckmeister, organista e compositore di cui non rimane praticamente alcun suo lavoro musicale, a comporre il capolavoro ;-): il cosiddetto buon temperamento. Anzi ne compose ben quattro, un po' come capita adesso nei supermercati americani dove non si può comprare un litro di latte ma bisogna scegliere tra quello che va meglio per una cosa, quello preferibile per l'altra, e così via. Non vi tedio mostrandovi tutti e quattro i temperamenti ideati da Werckmeister; se proprio siete curiosi date un'occhiata a Wikipedia. Mi limito a presentare il cosiddetto Werckmeister I (III), che è quello più adatto per i brani che tendono a usare tutte e dodici le note dell'ottava. Per la cronaca il temperamento si chiama I (III) perché il buon Werckmeister prima ha presentato i suoi metodi, poi ha pensato bene di premettere intonazione naturale e temperamento mesotonico, spostando di numero tutti gli altri.

Temperamento Werckmeister I (III)

Non spaventatevi dei numeracci! Werckmeister ha fatto un lavoro completamente diverso per far quadrare il circolo delle ottave, e i valori qui indicati sono stati calcolati a posteriori. Quello che ha fatto è dire "prendiamo alcune quinte giuste e temperiamone giusto qualcuna per far tornare i conti". Le quinte abbassate di un quarto di comma sono quelle do-sol, sol-re, re-la e si-fa#; visto che il comma, come certo ricordate, era l'errore di chiusura del circolo delle quinte adesso il circolo si chiude eccome. I vari toni hanno naturalmente rapporti diversi, ma il risultato finale è apprezzabile all'orecchio, pur non essendolo all'occhio del matematico, tanto che... ma questa sarà la terza (e ultima) puntata della storia.

Magari non lo sapete, ma se una persona vissuta nel Medioevo o nel Rinascimento fosse portata ai nostri giorni e gli venisse fatta ascoltare una melodia contemporanea, si metterebbe le mani sulle orecchie e la definirebbe assolutamente stonata. No, non è colpa della pessima qualità di quello che oggidì ci propinano come musica (quantunque...); se anche facessimo loro ascoltare un brano dei loro tempi suonato al pianoforte, il risultato sarebbe lo stesso. E non è nemmeno colpa del pianoforte! Il problema è un altro, e il colpevole - se proprio ne volete trovare uno - è la matematica. Ma andiamo con ordine.

Tutto inizia con Pitagora, il cui marchio di fabbrica - o almeno quello che i suoi seguaci hanno attribuito a lui - era "Tutto è numero". Pitagora scoprì che se prendevi due corde dello stesso spessore ma di lunghezza l'una il doppio dell'altra il suono emesso quando le si pizzicava era sì diverso ma non troppo; e se il rapporto tra le lunghezze era di uno a tre c'erano due suoni indubbiamente diversi ma che stavano bene insieme. Che si parli di rapporto e non di differenza, come qualcuno potrebbe pensare, non è strano: il nostro orecchio è tarato sui rapporti dei suoni. D'altra parte, per i greci che facevano matematica in modo geometrico la cosa non dava alcun problema.

Il nostro filosofo (o i suoi discepoli) fu ben felice della cosa, visto che era una conferma della sua legge, e si mise a preparare la scala musicale usando i rapporti di quinta (quello uno a tre) per salire e ottava (uno a due) per scendere, riuscendo così a completare le sette+una nota delle scale modali usate dai greci. Ecco i rapporti che si ottengono, fatto pari a 1 il do basso: anche se anacronistico, aggiungo anche gli intervalli relativi alla nota di base calcolati in milleduecentesimi logaritmici di ottava, i cent come oggi sono chiamati. (occhei, dei cent parlerò più tardi, non preoccupatevi)

Intonazione pitagorica

Questa scala (detta intonazione pitagorica) è bellissima da un punto di vista matematico. Il rapporto tra due toni vicini qualsiasi è sempre 9/8, e quello tra due semitoni è sempre 256/243: peccato per alcuni problemucci. Innanzitutto, per quanto riguarda Pitagora, c'è che la frase completa che descrive la sua filosofia è "tutto è numero piccolo. Uno, due, tre, quattro formano la tetraktys e sono gli Unici Veri Numeri da usare. Passi se si devono usare 5 e 6, ma 243/128 è proprio bruttino a vedersi! Ma c'è anche una fregatura ineliminabile, dello stesso tipo dei problemi irrisolubili dalla matematica classica come la trisezione dell'angolo e la duplicazione del cubo. Il giro delle quinte e delle ottave dovrebbe chiudersi: sali di dodici quinte, scendi di sette ottave, e in teoria ottieni tutti e dodici i semitoni in cui si divide l'ottava. Peccato che 2⁷ faccia 128 mentre (3/2)¹² è un po' più di 129.74; è un po' come la barzelletta delle due squadre che iniziano a bucare una montagna dai lati opposti per fare un tunnel e non si incontrano perché hanno sbagliato la direzione di scavo. Non ci si può fare molto: i rapporti sono quelli, e tra l'altro la divisione in 12 parti dell'ottava è una delle migliori possibili, visto che per migliorarla si deve passare a 41 o 53 parti il che diventa pesantuccio: pensate a un pianoforte con tutti quei tasti!

I greci non erano poi così stupidi come si potrebbe pensare, e avevano studiato almeno in teoria altri modi in cui suddividere l'ottava. Peccato che fosse difficile riuscire ad accordare gli strumenti, mentre con l'intonazione pitagorica non c'erano problemi visto che si poteva fare tutto a orecchio. Così si è dovuto aspettare il Rinascimento perché questi metodi diversi venissero messi in pratica... anche perché con le nuove sensibilità musicali se ne sentiva la necessità. Il problema non era l'aggiungere gli altri semitoni, cosa che è stata fatta nel medioevo continuando a lavorare per quinte e ottave; sì, il "semitono in su" e il "semitono in giù" sono diversi, ma per il tipo di musica che si suonava non si poteva mai fare confusione. Il guaio era che nella polifonia si usavano terze e seste per dare un po' di spessore in più al suono – lo si fa anche adesso, che credete? – e con l'intonazione pitagorica terze e seste cantate insieme suonavano da cani. Fu così che Gioseffo Zarlino nel suo testo del 1558 Le istitutioni harmoniche presentò un "nuovo" metodo per l'accordatura; nuovo si fa per dire, perché era stato inizialmente teorizzato da Archita nel IV secolo a.C. e ripreso da Didimo nel I secolo a.C. e Claudio Tolomeo nel I secolo d.C.

Il metodo di Zarlino ritornava alle origini, cioè agli armonici. Data una nota di partenza (il do₁, ad esempio), il secondo armonico è all'ottava superiore (do₂); il terzo sale ancora di una quinta (sol₂), il quarto di una quarta (do₃) e il quinto... di una terza, arrivando al mi₃. Se abbassiamo questa nota di due ottave otteniamo per la terza maggiore un rapporto di 5/4 con la nota fondamentale. A questo punto si può scegliere se definire direttamente la terza minore con il rapporto 6/5, che ha la simpatica proprietà di essere un numero della forma n+1/n esattamente come la terza maggiore, la quarta e la quinta; oppure si può procedere di nuovo per quinte e ottave. Il risultato è comunque lo stesso, ed è mostrato qua.

Intonazione naturale

Nell'intonazione naturale i numeri dei rapporti sono molto migliorati; gli unici ancora grandi sono quelli degli intervalli di seconda e di settima, che tanto sono dissonanti di loro quindi possono stare così. Le quinte continuano ad essere a posto, le ottave lo sono per definizione come in tutti i tipi di intonazione e temperamento che presenterò, terze e seste suonano che è un piacere, tanto che l'intonazione naturale è usata ancora oggi per suonare strumenti tipo archi (dove si può fare la nota che si vuole) e fiati (dove ci sono problemi tecnici per intonarli diversamente). Però....

Beh, il "però" ve lo racconto un'altra volta.

Essendoché è il 14 del mese, abbiamo il Carnevale della Matematica: Annarita Ruberto è riuscita a radunare una quantità incredibile di contributori, e quindi di contributi. Se vi scocciate della tombola natalizia avrete comunque da fare...

Ricordo che il 14 gennaio sarà Chartitalia a ospitare il Carnevale, probabilmente con una nuance più "musicale"

Chi ritiene che il 19 sia un numero stupido, senza grandi pretese, non vada a leggere il nuovo numero del Carnevale della Matematica.

Qualche giorno fa Maxxfi mi ha chiesto cosa ne pensassi delle dimostrazioni matematiche fatte per mezzo del calcolatore. La mia laconica risposta è stata "brutte, ma valide"; provo ad aggiungere qualche considerazione in più.

Innanzitutto, bisogna mettersi d'accordo sui termini: cos'è una dimostrazione matematica al calcolatore? Lascio immediatamente da parte i programmi di intelligenza artificiale che dimostrano semplici teoremi, magari dandone nuove dimostrazioni, oppure se ne escono con nuovi teoremini non pubblicati in precedenza: quelle sono dimostrazioni del computer, e hanno la stessa validità degli esercizi che ci facevano fare nel biennio di matematica (forse un po' meglio, se il programma è fatto bene e gli sono stati implementati correttamente gli algoritmi.

Esistono poi "dimostrazioni" che non lo sono affatto: prendiamo ad esempio il test di primalità di Miller-Rabin, che permette di verificare molto velocemente se un numero è presumibilmente primo. Un non matematico può pensare che se la probabilità che il numero testato non sia primo sia di 1 su 10¹⁰ ci si potrebbe anche accontentare, e in effetti molti programmi di crittografia usano questi probabili primi accettando il rischio che primi non siano e quindi si possa fare un attacco al testo crittografato; ma un matematico non potrà mai dire "quel numero è primo".

Resta infine il gruppo di dimostrazioni al computer vere e proprie: quella archetipale è per il teorema dei quattro colori, che afferma che bastano quattro colori per colorare una qualunque mappa in modo che nessuna coppia di regioni confinanti (per un tratto, i singoli punti non contano) abbia lo stesso colore; ma ad esempio c'è stata anche quella della congettura di Keplero, che afferma che il miglior impacchettamento di sfere nello spazio tridimensionale è quello che faremmo tutti, facendo tanti strati a esagono uno sopra l'altro. Queste dimostrazioni, che gli anglofoni definiscono "computer assisted", hanno una struttura comune. Il teorema è stato inizialmente analizzato e azzannato, e si è arrivati a dire che il caso generale si può ricondurre a un numero finito di sottocasi particolari; nel caso del teorema dei quattro colori si parla di 1476 mappe (grossine) distinte, mentre per la congettura di Keplero sono state ritenute necessarie più di 5000 configurazioni di sfere. In questi casi, il calcolatore serve a verificare che nessuna di queste mappe/configurazioni invalidi il teorema: un lavoro che in linea puramente teorica si potrebbe fare a mano, ma richiederebbe non so quante centinaia d'anni, e si rischierebbe di fare degli errori (tenetevi a mente questa frasetta).

L'atteggiamento dei matematici rispetto a queste dimostrazioni al calcolatore è prettamente filosofico. Alcuni non le considerano valide perché affermano che la dimostrazione deve essere comprensibile a un essere umano, e se non ci si può mettere a verificare tutti i casi allora la dimostrazione in verità non esiste. Altri hanno una preclusione più di principio: come ci si può assicurare che l'algoritmo usato sia corretto, e il programma per computer lo implementi correttamente? Altri ancora, credo la maggioranza, non si fanno di questi problemi e prendono il teorema per dimostrato.
La mia visione personale? Come credo abbiate capito, non ho nessun problema ideologico su una dimostrazione assistita dal computer. Per quanto riguarda la correttezza degli algoritmi, si può ovviare alla cosa implementando indipendentemente più programmi su più architetture diverse – in effetti per il teorema dei quattro colori hanno fatto così – e verificando che l'output sia lo stesso. D'altronde, non è che le dimostrazioni umane siano scevre da errori: proprio il teorema dei quattro colori era stato "dimostrato" nel 1879 salvo poi accorgersi nel 1890 che la dimostrazione era errata. Insomma, la correttezza degli algoritmi e la correttezza delle dimostrazioni sono in fin dei conti la stessa cosa. Nel caso poi degli algoritmi probabilistici di cui sopra, c'è persino chi afferma che se la probabilità che l'algoritmo non ci prenda sia inferiore a quella di un errore hardware della macchina allora si ha la certezza, ma è una linea di pensiero che non mi ispira molto, a meno di pensare anche che tutti gli esseri umani possano venire ipnotizzati contemporaneamente ;-)

Detto tutto questo, resta il mio giudizio lapidario iniziale: il teorema è sì dimostrato, ma la dimostrazione è così brutta che un Vero Matematico se ne fa ben poco, come diceva anche Erdős. Non è detto che esista una dimostrazione "bella" di questi teoremi; visto però che questi teoremi non sono fondamentali nel senso di essere alla base di tanta matematica si può anche decidere di non contarla come dimostrazione dal punto di vista estetico. A voi la scelta!

Ricordate il messaggio di veto su una legge scritto da Arnold Schwarzenegger, le cui prime lettere di ogni riga compitavano "Fuck You"? Istigato da Stefano Bartezzaghi, ho provato a vedere qual era la probabilità di ottenere casualmente una frase di senso compiuto. (Per la cronaca, lo spazio più ampio segnalato da Bartezzaghi alla fine di ogni frase è una caratteristica standard delle regole tipografiche americane, e l'"I" iniziale secondo me non fa parte del presunto messaggio nascosto, visto che tutte le lettere di veto del simpatico ex-culturista iniziano con quelle due righe standard)

Il conto che faccio è molto spannometrico, come spiego in seguito; iniziamo con la parte di stima semplice. Il numero di combinazioni di tre lettere con o senza senso, da aaa a zzz, è 26*26*26 = 17576 mentre quello di combinazioni di quattro lettere è 26*26*26*26 = 456976. Il numero di parole inglesi effettivamente esistenti è molto minore: qui sono riportate 1108 parole di tre lettere e qui il numero di parole di quattro lettere viene stimato essere intorno a 7000. Quindi c'è circa una possibilità su 16 di avere una parola di tre lettere e una su 65 di averne una di quattro, il che dà come probabilità totale 1 su 1000.

Questa è un'analisi molto grossolana, che soffre almeno di tre distorsioni.
- Le due parole devono avere senso messe insieme come frase; questo in una lingua virtualmente posizionale come sta diventando l'inglese non è un grosso problema e non mi preoccupa più di tanto.
- Ho presupposto che le lettere iniziali delle parole inglesi siano tutte equiprobabili, il che è chiaramente falso, ma di brutto. Una distribuzione anisotropa dovrebbe rendere più probabile il riuscire a creare combinazioni, ma non è detto; bisogna anche vedere se una lettera molto frequente come iniziale è anche molto frequente all'interno o alla fine di una parola.
- Bisogna tenere conto che molte delle parole inglesi esistenti sono in realtà arcaiche e non usate, e quindi non verrebbero riconosciute da un cacciatore di acrostici che non sia davvero appassionato alla cosa. Tanto per dire, io mica so che significhi "wog" o "uts"! (beh, no; a dire il vero "uts" è il plurale di "ut", quindi significa "le arcaiche note do")

Dare una stima di questi punti è un tipico Problema di Fermi, e bisognerebbe mettersi di buzzo buono a fare delle stime sensate, magari scegliendo a caso un po' di parole per vedere la loro distribuzione. La mia sensazione è che il primo punto riduce la probabilità di un fattore 3, il secondo la accresce fino a un fattore 10, mentre il terzo è più difficile da valutare visto che l'accorgersi che un insieme di lettere forma una parola dipende dalla cultura di chi sta leggendo quelle lettere; secondo me la probabilità si riduce di un fattore 100 (ricordatevi che qua e nel caso precedente sono due le parole da considerare, e quindi bisogna moltiplicare le probabilità relative)

Qualcuno vuole lanciarsi in stime più accurate?

Il 21 ottobre 1914 nacque a Tulsa, in Oklahoma, un neonato che decise poi di laurearsi in filosofia e fare il giornalista freelance... fino al 1956, quando Scientific American pubblicò un suo articolo sugli esaflexagoni.
Gli amici che amano la matematica hanno indubbiamente capito che sto parlando di Martin Gardner, che alla non certo tenera età di 95 anni continua a lavorare alle edizioni definitive dei suoi libri, dopo aver deliziato almeno tre generazioni di matematici in erba e convinto molti di loro a studiare appunto matematica. Dire che Gardner non si è mai trovato a proprio agio con l'analisi matematica, come potete leggere in questo articolo del NYT... insomma, non buttatevi giù!

Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da una new entry, Gianluigi Filippelli nel suo Science Backstage. Inutile aggiungere di andare a vedere cosa hanno scritto i soliti noti; meno inutile ricordare che il club non è affatto esclusivo, e chiunque voglia parlare di matematica può partecipare!

Ecco, non riesco mai a capire perché tutti quelli che sono così convinti che nel problema di Monty Hall sia indifferente cambiare porta non accettano mai la mia scommessa. Sono soldi da guadagnare facile, no? E allora perché non accettare questa mia bella scommessina, fatta alla luce del sole e verificabile indipendentemente da chiunque?
Scherzi a parte, mi sa che anche le più granitiche credenze si possano incrinare un poco quando uno debba iniziare a metterci su dei soldi; purtroppo però rimane questa schizofrenia per cui nonostante tutto non si cambia idea. Se ad ogni buon conto non avete davanti a voi un fondamentalista probabilistico, eccovi alcune possibilità per convincerlo che in effetti nel problema di Monty Hall in versione standard conviene cambiare porta.

(1) Ripetere più volte l'esperimento. Come nella scommessa da me proposta, se invece di un singolo evento se ne hanno parecchie decine tra loro indipendenti è facile accorgersi se in media la porta iniziale nasconde un'auto una volta su tre oppure una su due. Il buffo è che la Legge dei Grandi Numeri, per come è recepita dalla gente comune, è assolutamente errata; eppure dà loro molte più sicurezze della logica corretta di questo problema.

(2) Aumentare il numero di porte. Se invece di tre porte ce ne fossero un milione, voi scegliete la numero 1 e Monty apre tutte le altre tranne la 142857, oltre ovviamente alla 1, siete ancora così sicuri che l'auto non tia dietro la porta 142857? Visto che il caso è logicamente identico a quello con tre porte, la risposta dovrebbe essere la stessa.

(3) Mettersi a esplicitare i casi possibili. Per simmetria si può supporre di scegliere la porta numero 1; a questo punto si può clonare la famigerata scelta, enumerando i sei casi possibili in teoria, controllando quali sono i quattro possibili in pratica, e valutando le varie possibilità. Questa è la soluzione più debole, nel senso che è difficile convincere l'interlocutore che sia corretta; immagino che la colpa stia nell'abitudine di considerare tutti i casi come equiprobabili, e non accorgersi che i due sottocasi che si hanno quando l'auto era proprio dietro la porta da lui scelta sono appunto sottocasi e quindi la loro unione sia equivalente alla probabilità degli altri casi.

(4) Calcolare la probabilità a posteriori con il teorema di Bayes. Pur essendo l'unica che dà la certezza che la risposta sia corretta è quella meno preferita; l'evoluzione della razza umana non ha richiesto in effetti di impratichirci con le probabilità a posteriori.

(5) Prima di aprire una porta, Monty dice al concorrente "vuoi confermare la porta scelta, oppure cambiare con entrambe le altre porte? Io in ogni caso poi aprirò una tra due porte che non hai scelto inizialmente." Se l'interlocutore riesce a convincersi che la formulazione è esattamente equivalente, allora la scelta è immediata.

Ho tralasciato apposta l'argomento "Monty può sempre aprire una porta con dietro una capra, qualunque sia la scelta del concorrente" perché, come vedremo tra poco, può essere fuorviante.

Detto tutto questo, non credo che se qualcuno è convinto di avere ragione gli si possa far cambiare idea; insomma, non perdeteci troppo tempo. In compenso, può essere simpatico vedere qualche scenario in cui tutto quello che ho scritto è falso. Naturalmente il trucco c'è: sto leggermente cambiando le ipotesi iniziali. Suppongo però sempre che la probabilità iniziale che l'auto si trovi dietro una porta sia 1/3 in ogni caso.

(1) Dopo che il concorrente ha scelto una porta e Monty ne ha aperta un'altra, arriva di corsa un'altra persona che conosce come funziona il gioco ma non sa quale sia stata la scelta del concorrente. Per costui le due porte sono assolutamente equivalenti, visto che non ha nessun dato su cui basarsi.

(2) Monty apre una porta davvero a caso tra le due che ha a disposizione, con il rischio di mostrare l'automobile e terminare il gioco con ignominia. In caso contrario, il concorrente può scegliere assolutamente a caso tra le due porte: però bisogna ricordarsi che alcune delle possibilità iniziali non sono più possibili a posteriori, e quindi la situazione è cambiata.

(3) Il concorrente sa che Monty ama la porta numero 3 e la apre sempre, se ne ha la possibilità. Se lui ha scelto la porta 1 e Monty apre la 2, è certo che l'auto stia dietro la 3, e quindi è obbligatorio cambiare scelta. Se invece apre la 3, è indifferente cambiare o no porta.

Qual è la morale di tutto questo? che bisogna sempre verificare molto attentamente le ipotesi, e non bisogna mai fidarsi troppo della propria intuizione!

Il paradosso di Monty Hall è stato uno dei pochissimi argomenti di matematica ad avere l'onore della prima pagina del New York Times, giusto per dare un'idea di quanta fama ha avuto negli anni '90: probabilmente perché è così controintuitivo che molte persone, anche versate in matematica e probabilità, sbagliano la risposta. Per chi non lo conoscesse, ecco il testo: leggetelo molto attentamente, perché non c'è nessun trucco sotto ma la formulazione deve essere assolutamente precisa.

Sei alla fase finale dello show condotto da Monty Hall. Hai davanti a te tre porte; dietro una di esse c'è una Ferrari, dietro le altre due una capra. Tu scegli una porta, e vincerai quello che ci sta dietro. Dopo che hai fatto la tua scelta, Monty - che sa dov'è nascosta la capra - ti dice "Beh, oggi mi sento buono e ti voglio aiutare: invece che una probabilità su tre di vincere la Ferrari, te ne voglio dare una su due. Guarda: in effetti una delle porte che non hai scelto nascondeva una capra". Apre una porta e mostra l'ovino belante. Monty prosegue: "Questa è la tua ultima possibilità: preferisci cambiare la tua scelta o rimani sulla porta iniziale?"

Per essere ancora più chiari, ecco alcune precisazioni. Dietro una delle tre porte c'è la Ferrari, e voi volete vincerla; Monty Hall sicuramente apre una porta con dietro una capra, tra le due che non avete scelto; se può scegliere quale porta aprire perché entrambe nascondono una capra, sceglie a caso; voi siete sicuri che vi faccia l'offerta in ogni caso. Ora, molte persone dicono che è indifferente cambiare porta oppure no; la verità è che cambiare porta raddoppia le vostre probabilità di vincita, da 1/3 a 2/3.

In tutti questi anni ho visto moltissime persone che non sono affatto convinti di questa cosa, e non sono mai riuscito a convincerli. La cosa strana è che però nessuno ha mai voluto fare una scommessa multipla al riguardo con me, chissà perché. Riprovo ancora una volta; sono sempre pronto ad accettare la sfida. Ecco la mia versione del gioco per la scommessa; se qualcuno non è d'accordo sul fatto che sia la stessa cosa, parliamone.

Prendiamo un'estrazione futura del lotto, a tua scelta. Ci sono 11 ruote - hanno aggiunto la Nazionale a quelle classiche - e quindi vengono estratti 55 numeri. I numeri da 1 a 30 sono nella classe "1"; quelli da 31 a 60 sono nella classe "2"; quelli da 61 a 90 sono nella classe "X". Prima dell'estrazione, tu dici a che classe apparterrà ciascun numero; dopo l'estrazione, senza che tu sappia quali numeri sono effetivamente usciti, io ti dirò per ciascun numero una classe (diversa da quella che hai scelto) a cui il numero non appartiene; a questo punto, visto che per te è indifferente cambiare o no, ti propongo di puntare 4 euro su ciascuna tua scelta. Se non avevi indovinato, mi intasco i soldi; se invece avevi indovinato te li ridò assieme a 5 euro miei.

Come per i polli di Trilussa, su 55 giocate ne dovresti in media vincere 27 volte e mezzo, e quindi guadagnare 27,5 euro; se anche sei parecchio sfortunato e vinci solo 25 volte perdendo 30, hai ancora 5 euro di margine. C'è un piccolo problema legato al fatto che i numeri estratti su una ruota non sono statisticamente indipendenti, ma se la cosa ti disturba possiamo prendere i primi estratti di cinque estrazioni consecutive. Facciamo la scommessa? Anzi guarda, per dimostrarti che non c'è trucco né inganno ti posso dire in anticipo quale classe ti dirò essere perdente, a seconda della tua scelta e del numero effettivamente estratto; così puoi calocare direttamente anche tu quanti soldi vincerai...

- Tu hai detto 1, è uscito 2; ti dirò che X è perdente.
- Tu hai detto 1, è uscito X; ti dirò che 2 è perdente.
- Tu hai detto 1, è uscito 1; se il numero estratto è pari, ti dirò che X è perdente, altrimenti ti dirò che 2 è perdente.
- Tu hai detto 2, è uscito 1; ti dirò che X è perdente.
- Tu hai detto 2, è uscito X; ti dirò che 1 è perdente.
- Tu hai detto 2, è uscito 2; se il numero estratto è pari, ti dirò che 1 è perdente, altrimenti ti dirò che X è perdente.
- Tu hai detto X, è uscito 1; ti dirò che 2 è perdente.
- Tu hai detto X, è uscito 2; ti dirò che 1 è perdente.
- Tu hai detto X, è uscito X; se il numero estratto è pari, ti dirò che 2 è perdente, altrimenti ti dirò che 1 è perdente.

Sei pronto? Ti aspetto... (e la prossima settimana racconterò ancora qualcosa a riguardo)

Leggo dalla BBC che in Bulgaria per due volte consecutive sono stati estratti gli stessi sei numeri - anche se non nello stesso ordine - alla locale lotteria; le autorità bulgare, memori forse del tempo in cui stavano nel blocco sovietico e l'espressione "consenso bulgaro" aveva un significato negativo, hanno subito fatto partire un'inchiesta al riguardo. Ma è davvero così improbabile un simile avvenimento?

Non so tra quanti numeri venga estratta la sestina vincente in Bulgaria, quindi non posso calcolare la probabilità di avere per due volte di fila la stessa sestina, che poi è la stessa probabilità di riuscire a indovinare la sestina. Se prendiamo per buono quanto riportato dall'articolo, tale probabilità è una su 4 milioni, il che sembrerebbe davvero incredibile. Persino Terry Pratchett, che ama dire che in letteratura le cose che hanno una probabilità su un milione di funzionare riescono nove volte su dieci, probabilmente scuoterebbe la testa. D'altra parte, come ho già detto più volte, una sestina deve essere estratta, in fin dei conti, e siamo noi a vedere delle correlazioni: facili in questo caso (tutti i numeri uguali ai precedenti), più complicate in altri casi.

Fare delle stime della probabilità "generica" (lasciatemi per il momento passare il termine, ve lo spiego dopo) è un po' difficile, ma ci provo lo stesso. Immaginiamo che ogni giorno, da una qualunque parte del nostro pianeta, ci siano 100 estrazioni simili al lotto bulgaro, nel senso di numero di distinti risultati possibili. Consideriamo di tutto: ad esempio lotterie con un milione di biglietti estratti dove vengono estratti 10 biglietti e potrebbero essere stati premiati due numeri consecutivi. Anche se fosse capitata una cosa del genere qualcuno avrebbe potuto gridare alla truffa, no? La stima mi pare abbastanza ragionevole; questo darebbe 36000 estrazioni ogni anno - arrotondiamo a 33000. In quindici anni di lotterie avremo raggiunto 500.000 estrazioni; un evento che capiti una volta su 4 milioni non è così improbabile, se facciamo mezzo milione di tentativi.

Avete notato il punto fondamentale del mio ragionamento? Una coincidenza specifica (due estrazioni (1) consecutive, (2) degli stessi numeri, (3) al lotto bulgaro, (4) la scorsa settimana) è molto improbabile; ma una "coincidenza generica" (due estrazioni con una facile relazione tra di loro da qualche parte nel mondo in un qualche momento) è molto più semplice da ottenere, perché non limitiamo anticipatamente il campo in cui vogliamo operare. Fortuna, sì; ma non così incredibile.

P.S.: la cosa più interessante, almeno a mio parere, non è tanto matematica quanto sociologica. Nella prima estrazione nessuno aveva indovinato la sestina; nella seconda ci sono stati ben 18 vincitori , tutta gente che probabilmente è convinta della "memoria dei numeri". Inoltre i soldi che girano in Bulgaria sono pochi, pochissimi rispetto al nostro superenalotto: i 18 fortunati hanno infatti vinto poco più di 5000 euro a testa, il che significa che il montepremi per la sestina vincente era inferiore ai 100000 euro...

Sì, sono in ritardo. Diciamo che tra le giornatacce di questo periodo il 14 settembre è stata una delle peggiori. Rammento comunque ai miei ventun lettori che il Carnevale della Matematica XVII (anagramma di VIXI... ecco perché c'è chi dice che il 17 porta male) è ospitato dagli amici e conterranei di Gravità Zero, che con l'occasione hanno anche attivato una fan page su Facebook che sono sicuro sottoscriverete a decinaia.
Buona lettura matematica, e ricordatevi che il "carnevale maggiorenne" del 14 ottobre sarà ospitato da una new entry, Gianluigi Filippelli, e che dovreste smetterla di fare i timidi e candidarvi per l'edizione di novembre, oltre che scrivere e parlare di matematica!

Chi si interessa alla matematica ricreativa sa perfettamente chi è John Horton Conway, e chi non si interessa ha già smesso di leggere, quindi non perdo tempo a spiegarglielo. Vorrei invece spiegare uno degli algoritmi inventati da Conway, quello per calcolare a mente la data di un qualunque giorno passato presente e futuro. Vi risparmio le mnemoniche da lui inventate - se proprio le volete conoscere, Wikipedia è la vostra amica - e mi limito alla pratica.
Innanzitutto, vediamo le date dell'anno in corso. In qualunque anno, il 4/4, il 6/6, l'8/8, il 10/10 e il 12/12 cadono lo stesso giorno (quest'anno è sabato). Questo giorno è chiamato il Doomsday, letteralmente il giorno del Giudizio (anche se preferirei definirlo il Giorno del Destino); quest'anno è di sabato. Inoltre anche il 9/5, il 5/9, l'11/7 e il 7/11 sono un Doomsday, così come l'ultimo giorno di febbraio, o se preferite lo zero marzo, e il 3 gennaio in 3/4 degli anni; per i bisestili è il 4 gennaio. A questo punto, avendo un'ancora per ogni mese, è facile andare avanti sommando o sottraendo multipli di sette per avvicinarsi alla data richiesta.
Se vogliamo fare i Veri Mnemonici, però, dobbiamo trovare un modo per sapere automaticamente qual è il Doomsday di un anno qualunque. Beh, Conway ha pensato anche a questo. Occorre sapere il numero magico del secolo; per gli anni 18xx è 5, per i 19xx è 3, per i 20xx 2, per i 21xx 0 e così ciclicamente. Poi si calcola la parte relativa all'anno; si prende la parte xx, e le si somma il quoziente della sua divisione per 4. Questo numero, sommato al numero del secolo, ci dà il nostro Doomsday. Nel 2009 calcoleremo così 9/4 = 2 (con resto 1): la somma di 2+9+2 fa 13, cioè 6. Visto che la settimana inizia di domenica come spiega l'Antico Testamento, il Doomsday per quest'anno cade di sabato.

Il tutto serve a qualcosa? No. Basta tirare fuori il proprio telefonino e potete ricavare subito il giorno della settimana corrispondente a una data data. L'unica utilità, oltre al divertimento per i pazzi che amano di queste cose, è che tutti questi conti ti mantengono attivo il neurone, il che non è poi da buttar via.

Benvenuti alla sedicesima edizione del Carnevale della Matematica! Il 16 è un numero molto interessante dal punto di vista matematico, ma non solo. Qui in Italia a sedici anni puoi giusto prendere la patente A e bere alcolici, ma negli USA prendi la patente vera e propria. I sedici anni sono un'età magica, e il rock'n'roll se n'è appropriato; a parte il brano portato al successo da Ringo Starr, credo tutti voi ricordiate Sweet Little Sixteen, e forse qualcuno rammenta anche Sixteen Candles.
Ma questo è il Carnevale della Matematica, non della Musica, e quindi sarà opportuno passare alle proprietà del numero 16. È un quadrato, e anche una quarta potenza; è anche l'unico intero positivo n per cui esiste una soluzione all'equazione n = x^y = y^x con x ≠ y, come dimostrato da Eulero: e scusate se è poco! Chi ama i numeri geometrici, può deliziarsi nel sapere che 16 è un numero pentagonale centrato, ed è il primo quadrato che può essere scritto in due modi diversi come somma di due numeri triangolari in due modi: 16 = 6 + 10 = 1 + 15; chi è davvero curioso può andare su Wikipedia e scoprire che 16 è un numero di Erdős–Woods e un numero di Padovan. Ultimo ma non certo ultimo, i computer attuali contano tutti in base 16, usando i numeri esadecimali. Insomma, questo numero 16 è una cifra tonda informatica :-)

Cosa è successo di bello nell'orticello matematico italiano online? parecchie cose, nonostante il caldo estivo.
Iniziamo con una new entry, Dioniso, che da qualche tempo sta preparando una storia della matematica, anzi "Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria". Come dice lui stesso, Dopo aver riascoltato una trasmissione radiofonica di Piergiorgio Odifreddi ho pensato di ripercorrere e approfondire (per quanto possa consentirlo un blogghetto) l'avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria che parte da Pitagora per arrivare alla fine del XX secolo. Ecco le prime puntate. ♦ I pitagorici, quelli di "Tutto è Numero" ♦ Il crollo del castello pitagorico, con la diagonale di un quadrato che non è un numero ♦ Il grande contributo dei pitagorici, l'idea di dimostrazione ♦ Platone e le forme geometriche: "quasi nulla è Numero", ma ... ♦ Euclide, o della Rifondazione Matematica; &diams gli Elementi di Euclide: sistematizzazione e nascita del metodo assiomatico ♦ la Biblioteca di Alessandria: Archimede: il mondo matematico si ellenizza.

Anche Popinga appare da poco nel Carnevale: stavolta ci segnala un suo vecchio contributo sull'attività poetica di James Clerk Maxwell e un divertissement su limerick e clerihew matematici; però vi consiglerei di dare un'occhiata anche al suo Rio Mandelbrot. Gli amici di Gravità Zero ci segnalano il pezzo di Walter Caputo Scoperte le basi di un gioco matematico!!!, con alcune somme magiche fatte su una calcolatrice, e quello di Claudio Pasqua su Hilbert e i suoi 23 problemi, che detto così sembra un cugino di Alì Babà e i 40 ladroni ma è un tipo di leggendarietà ben diversa. Il mio omonimo kchico parla di algebra, con L’anello delle classi modulo n e la sua applicazione ai criteri di divisibilità. Non vi dico che è uscito il numero 127 di Rudi Mathematici; ma per quanto riguarda i Rudi Matematici senza l'acca, l'ultimo mese ha portato per la serie vecchi classici della Matematica Ricreativa Tentativi o non Tentativi, col celebre “Problema impossibile” dei matematici S(omma) e P(rodotto) e un problema di percorso su griglia; per i Compleanni, questo mese si parla del papà dei quaternioni, William Rowan Hamilton; infine per i Paraphernalia, è giunto sui loro schermi Suppergiù Platonicamente Perfetto, che inizia a trattare di cose facili ad immaginarsi.

Ci sono poi gli habitué logorroici (quelli come me, insomma). zar prosegue la sua spiegazione dialogica sui numeri surreali, che in questi trenta giorni è andata parecchio avanti: abbiamo ♦ la costruzione di nuovi numeri surreali (dopo lo zero); ♦ la definizione di ordinamento; ♦ la Genesi di tutti i numeri; ♦ mettiamo in ordine i nuovi numeri; ♦ come funziona l'ordinamento; ♦ e come funziona l'induzione; ♦ semplifichiamo l'elenco dei nuovi numeri; ♦ come si sommano due numeri surreali.

Chi preferisce cose meno surreali si rinfrescherà sicuramente da Giovanna, che come sempre tratta temi di tutti i tipi. Per la serie "curve celebri" con Geogebra ha scritto La cicloide e La nefroide; tra i puzzle geometrici tre post, sullo Stomachion di Archimede, una segnalazione su Il Tongram e la dimostrazione di Perigal del Teorema di Pitagora. Le terne pitagoriche sono un tema già trattato in passato; in questo mese abbiamo un post sui cateti espressi da num consecutivi, Triangoli pitagorici ... inoltre!. C'è poi un "raccontino", tratto da Il senso di Smilla per la neve: Il Sistema numerico come la vita umana; per la didattica, due esercitazioni guidate con filmatino, Rotazione: individua il centro e... e Disegna il vettore. Non ci si può proprio lamentare!

Annarita Ruberto di La Nostra Matematica ci invia tanti post, dai titoli autoesplicativi: Il Problema Delle Graffette - Mathematics In Movies - Probabilità E Circonferenza: Il Paradosso Di Bertrand - Il Segreto Del 57 E Altre Magie - Numeri Felici - Numero 57, Numeri Felici, Calendario Maya, Grande "Conto"...Ed Harry Potter - Numeri Palindromi - FIBONACCI NIM - Geometria Composita Nella Figura Della Poesia "Notte": Sezione Aurea, Endecagramma - Il Puzzle Della Capra Nel Recinto - Il Puzzle Della Capra Nel Recinto: Le Soluzioni - Geometria Di Una Curva: L'Ovoide A Cipolla - Logica Fuzzy: Storia E Sue Applicazioni

Per quanto riguarda il sottoscritto, infine, tra le recensioni librarie trovate gli ultimi volumi della collana Sfide Matematiche, Cibo per la mente - II (diciamo che il primo volume era meglio); Eravamo 5 amici al bar ... / Ero un Leoncino di Mompracem (la prima parte soporifera, la seconda carina); The Inquisitive Problem Solver (se vi piacciono i problemi matematici, questo libro è per voi!); Coincidences, Chaos and All That Math Jazz (divulgazione matematica basata sulle sue manifestazioni non intuitive) e L'invenzione della verità (un bel saggio di filosofia della scienza di Bruno de Finetti). Poi c'è un link a SymmetriSketch, un'applicazione che permette di costruire figure simmetriche complesse a piacere. Nella Povera Matematica c'è stato un post su un articolo del Giornale, La matematica fa male? e uno (con molti interessanti commenti) a proposito delle statistiche sulla RU486. Per la matematica light, infine, c'è un post abbastanza serio sulla matematica del Superenalotto, una proposta - al momento ferma - per un Glossario matematico - ricreativo e un post molto leggero sui Metri Teorici.

Bene, anche per agosto ce l'abbiamo fatta! Ricordo che il 14 settembre troverete la nuova edizione del Carnevale da Gravità Zero, e se volete contribuire basta che segnalate loro i vostri post. Se invece volete ospitare il Carnevale potete scrivermi o passare sul blog matematti a mettere il vostro nome; questo blog è anche aperto a chi voglia scrivere di matematica ma non voglia avere un blog apposta, basta chiedermi l'accesso. Buona matematica a tutti!

Mentre Anna e io stavamo andando verso l'Ipercoop di Carasco, abbiamo visto i vari cartelli segnalatori, con la distanza indicata in "mt". Anna ha commentato "chissà perché usano l'abbreviazione mt invece che la corretta m; alla fine abbiamo deciso che in effetti non si tratta di metri, ma dei famosi metri teorici. Ve ne sarete accorti anche voi: la distanza indicata non ha nessuna relazione con quella reale, e nel caso di più cartelli consecutivi per la stessa destinazione l'unica cosa di cui si può (di solito) essere certi è che i numeri che si vedono decrescenti.

La matematica delle unità di misura non finisce qui, però: ci sono i pesi indicati in "gr", che non possono essere altro che grammi relativi: il loro uso è in genere limitato alle diete, dove si sa che il peso non è una variabile ma una costante, e quindi occorre giocare in altro modo per ottenere i risultati voluti. Non siamo però riusciti a trovare il significato dell'unità temporale denominata "sec". Saranno "secondi e chissà"? "Secondi eventualmente compressi"? "Secondi effettivamente consumati"?

Ve lo dico subito: non vi racconto come si fa a vincere al Superenalotto, ma non mi metto nemmeno a fare tutte le solite storie sui 622 milioni di schedine possibili, sul fatto che il modo migliore di vincere è non giocare, e che cento milioni di euro sono molto più di quanto possa ragionevolmente spendere qualcuno. Lo fanno già in tanti, e non mi sembra serva a qualcosa. Preferisco un approccio più pragmatico e non così distruttivo.

È chiaro che il Superenalotto, come tutti i giochi di azzardo, statisticamente fa guadagnare lo Stato e non certo i giocatori. Solo il 34.6% delle giocate viene redistribuito nel montepremi: quindi per ogni euro giocato in media mi dovrei aspettare di ritrovarmi meno di 35 centesimi. Per prima cosa, il conto è sbagliato; il jackpot continua a crescere con i soldi non vinti in precedenza, anche se comunque non ne vale la pena: giocare tutte le possibili combinazioni costerebbe 311 milioni di euro, giusto per dare un'idea. Ma quella della vincita media è però una statistica alla Trilussa; nient'altro che il numerino che esce fuori da una formula di Excel™ o del vostro foglio di calcolo preferito, e che nella vita reale può o meno essere importante.

Elwyn Berlekamp un giorno mise giù la cosa in questi termini: "Supponete di dover necessariamente lasciare l'isola dove vi trovate, ma non abbiate i soldi necessari per il volo: il biglietto costa 360 euro e voi ne avete solo 10. Se lì vicino c'è un casinò, la vostra migliore chance è andare e puntare i costri dieci euro su un numero secco. Tanto restare con dieci euro o al verde è solo lo stesso!" Detto in altro modo, un conto è il guadagno teorico atteso, ma all'atto pratico possono essere più importanti altre considerazioni. Insomma, se uno decide di andare dal tabaccaio a farsi le due schedine esattamente come potrebbe andare al bar a prendersi cappuccino e brioche non è certo un problema, sempre che sappia che quei soldi li ha probabilmente persi. Il vero problema è quando uno continua a giocare sempre più soldi per recuperare quelli persi nei concorsi precedenti; quello sì che è pericoloso, e spero nessuno dei miei lettori sia finito in questo vortice. Temo che spesso sia così: tra l'altro, rispetto all'ultima megavincita di fine 2008 si può notare come con un concorso in meno ci sia un montepremi maggiore di quasi il 10 percento. Semplicemente un sottoprodotto della crisi?

Veniamo al montepremi abnorme. A parte che dopo avere scoperto che a maggio in Spagna hanno vinto 126 milioni di euro ho vieppiù capito che ormai i cugini poveri siamo noi, tutti i commentatori che tuonano contro le grandi vincite partono da un assunto: che la gente giochi singolarmente la schedina. Sarà vero? Io non lo so, ma mi sembra abbastanza comune vedere ad esempio venti persone che si coalizzino per giocare venti colonne. Il risultato pratico è moltiplicare per venti la probabilità - infima, occhei - di vittoria, dividendo per venti l'eventuale vincita e facendo soffrire molto meno i vincenti della cosiddetta "sindrome della fortuna".

Insomma, la matematica è sempre una cosa seria: non basta tirare fuori una formuletta perché le cose funzionino sempre perfettamente! (Per i curiosi: no, io non ho mai giocato al Superenalotto, e credo di aver giocato una volta al Totocalcio con mia nonna quando avevo dodici anni; come vedete, posso pontificare da perfetto ignorante!)

Sto giochicchiando con DokuWiki (ne parlerò più diffusamente in seguito) e mi è venuto in mente che si potrebbe fare un glossario di "matematica usata per i problemi ricreativi".
Trovate un primissimo abbozzo qui: l'idea dovrebbe essere di avere una rapida spiegazione nel glossario, e poi almeno per alcune voci un wikilink che porti a una spiegazione un po' più corposa. Domande varie:
- vi piace l'idea?
- avete degli argomenti che vorreste vedere definiti e/o trattati? (la differenza è quella indicata sopra)
- volete lavorarci su? (se riesco a settare la wiki)

ps: dokuwiki ha già al suo interno la possibilità di fare un wikilink a Wikipedia per eventuali approfondimenti. La mia idea è un po' diversa da quella di Wikipedia, ma naturalmente non è in contrapposizione, pur essendo un progetto non-commercial. Me la posso portare avanti anche da solo, il terzo punto è il meno importante insomma.

Abbiamo visto che il minimo comune multiplo (mcm) e il massimo comun divisore (MCD) di due numeri sono strettamente correlati; dati due numeri r e s, si ha che mcm(r,s) = rs/MCD(r,s). Ne consegue che basta avere un algoritmo per calcolare uno dei due valori, e siamo anche in grado di trovare l'altro; visto che il mcm è (di solito molto) maggiore del MCD, chiaramente è meglio dedicarci a quest'ultimo.

L'algoritmo più antico noto per calcolare il MCD di due numeri è così antico che non sono non c'era ancora il nome "algoritmo", ma non credo la gente avesse in mente addirittura il concetto idi algoritmo. Lo si trova infatti in Euclide, che nei suoi Elementi non ha trattato solo di geometria ma anche dei numeri. L'algoritmo euclideo per calcolare MCD(r,s) è concettualmente molto semplice: se r=s, allora MCD(r,r)=r; altrimenti, supponendo che r>s, MCD(r,s)=MCD(r-s,s). Tutto qua. Il lettore più attento (occhei, il lettore meno attento ha già semsso di leggere da un po') si sarà sicuramente accorto che il procedimento deve per forza terminare, visto che nel caso generale si passa da una coppia di numeri a una coppia la cui somma è minore, e non si può scendere all'infinito visto che la somma sarà sempre positiva. Non è nemmeno troppo difficile scoprire che in effetti l'algoritmo calcola correttamente il MCD di due numeri. Se i numeri sono uguali la cosa è immediata; altrimenti, se m è l'ancora incognito MCD(r,s), allora r=mh e s=mk; quindi m è sicuramente un fattore comune di r-s=m(h-k) e s=mk: e se ci fosse un fattore comune maggiore nella differenza, quel fattore ci sarebbe stato anche all'inizio.

La cosa più incredibile è che l'algoritmo che si usa oggi per calcolare il MCD di due numeri è ancora essenzialmente quello di Euclide! L'unica miglioria che c'è stata è che non si sottraggono più i due numeri ma si prende il resto della loro divisione e lo si sostituisce al maggiore dei due; se il minore divide esattamente il maggiore, allora il MCD cercato è il numero minore. E in effetti non è che cambi molto, visto che come certo ricordate la divisione tra numeri interi non è altro che una ripetuta serie di sottrazioni. L'algoritmo così modificato è molto veloce, richiedendo una quantità di operazioni dell'ordine del logaritmo dei numeri; il caso peggiore si ha quando i due numeri dati sono in posizioni successive della successione di Fibonacci... ma questa è un'altra storia, che forse prima o poi racconterò.

Termino con un simpatico problemino matematico (la parola "simpatico" sta ovviamente a indicare qualcosa che farà arrabbiare chi cercherà di risolverlo, e farà arrabbiare ancora di più chi leggerà la soluzione e scoprirà la semplicità). Ci sono due amiche, Thelma e Louise, che hanno preparato due pile di pancake e si accingono a mangiarle. Le amiche si alternano a prendere pancake dalla pila in quel momento più alta, togliendone un multiplo a piacere del numero presente nella pila più piccola. Visto che il pancake più in basso è sempre molliccio, la prima che è costretta a prenderlo ha perso il gioco. Se Thelma e Louise scelgono la loro migliore strategia, chi vincerà, data una coppia di valori iniziali? La risposta alla prossima puntata!

GaS mi ha segnalato un interessante articolo, che trovate su arXiv, di un tipo (Boudewijn F. Roukema) che si è messo a spulciare i risultati ufficiali delle elezioni iraniane del mese scorso per fare delle analisi statistiche sui risultati dei singoli seggi elettorali e scovare eventuali brogl... pardon, situazioni molto improbabili.
L'analisi più semplice da fare è la verifica della legge di Benford. Ve la ricordate? Ne avevo parlato un bel po' di tempo fa. In pratica, se viene dato un insieme di valori molto sparpagliati (su vari ordini di grandezza) e si guarda la prima cifra di tali valori, è molto più probabile che tale cifra sia un 1. Per dare un'idea, in una distribuzione ideale il 30% dei valori dovrebbe iniziare per 1 e solo il 5% per 9. Nel mondo reale le cose sono un po' più complicate, e l'autore propone una versione modificata della legge adattata ai risultati totali delle elezioni, in modo da eliminare alcune distorsioni. Per gli amanti dei complotti ci sono però delle brutte notizie: i risultati sono abbastanza vicini ai valori teorici, tanto che l'analisi continua osservando la strana frequenza delle cifre iniziali 7 di un candidato outsider che ha preso in tutto poche centinaia di migliaia di voti, e cercando di estrapolare da quei pochi collegi elettorali una tendenza totale - che toglierebbe circa un milione di voti ad Ahmadinejad ma non cambierebbe di molto i risultati. Almeno questo è ciò che ho capito: non sono un grande esperto di statistica, e sono riuscito a seguire i ragionamenti di Roukema solo a grandi linee. Però l'idea che mi sono fatto è che i risultati presentati sono un po' tirati per i capelli.

Che dire? Trovo molto interessante l'idea di applicare analisi statistiche ai voti di un'elezione per vedere eventuali brogli. Ma in casi come questo, dove i risultati dei vari candidati sono così diversi tra di loro, non credo la cosa abbia un grande valore pratico. Se io dovessi fare dei brogli di questo tipo, sposterei direttamente in ciascuna circoscrizione elettorale metà dei voti del candidato M al candidato A; un'operazione di questo tipo non dovrebbe lasciare strascichi statistici verificabili, che io sappia.

Il problema di questa settimana di MondayMathMadness riguarda i numeri di Fibonacci, o meglio il loro prodotto.
Data la definizione quasi standard F₀=F₁=1 e F_n=F_n-2+F_n-1, con i primi numeri che sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... viene chiesto di semplificare dare un'espressione più semplice per la somma

S(n) := F₀F₁ + F₁F₂ + F₂F₃ + ... + F_n-1F_n + F_nF_n+1

La soluzione, se sapete come dimostrarla, è molto semplice; visto che fino a lunedì sera la gara è ancora aperta vi invito a non postare eventuali soluzioni qui da me, ma di mandarle se volete a Wild About Math. Però, se volete cimentarvi, potete provare a lasciare degli aiutini :-)

Aggiornamento: (1. luglio) nei commenti c'è un link alla soluzione.

Ci sono alcuni problemi matematici che sono ben noti a chiunque abbia una collezione di libri di giochi matematici. Questi problemi si dividono in due categorie: la prima consiste in quelli per cui occorre mettersi alla caccia di carta e penna per fare conti su conti - un esempio? prendete 12 palline, di cui 11 identiche e una che pesa un po' di più oppure un po' di meno, non si sa, e cercate di scoprire qual è la pallina farlocca avendo a disposizione una bilancia a due bracci e tre pesate - e che a me personalmente non piacciono più di tanto.
Poi c'è la seconda categoria: problemi che assomigliano agli altri ma hanno invece un punto debole, dove chi trova il grimaldello giusto può risolverli senza stancarsi più di tanto. Per uno fondamentalmente pigro come me, questi problemi sono molto più simpatici.

Alcuni dei miei ventun lettori sanno di cosa sto parlando (ma tacete... e ad ogni buon conto questa è robba nuova); per tutti ho pensato di inaugurare l'ennesima sezione del mio sito, con tre problemi di questo tipo. Per la gioia di chi non ama sbattere troppo la testa, i problemi hanno un aiutino: cliccate, e vi sarà dato un indizio per mettervi sulla buona strada.
Spero la cosa vi piaccia :-)

Non so se le frasette "massimo comun divisore" e "minimo comune multiplo" facciano ancora venire a qualcuno un brivido di terrore, al pensiero dei conti che ci facevano fare a scuola e magari anche per capire com'è che una di quelle due sigle - che ricordano pericolosamente 1400 e 1900 scritti in numeri romani - fosse tutta in maiuscolo e l'altra tutta in minuscolo, e perché quello maiuscolo fosse il più piccolo dei due numeri, e non il più grande. Forse è vero che oggi questi concetti sono un po' meno importanti di un tempo, quando i conti si facevano a mano; ma hanno ancora un certo qual interesse.

Per prima cosa occorre fare un passo indietro e approcciare il tutto da parecchio lontano. I numeri naturali hanno una simpatica proprietà, niente affatto scontata: quella della fattorizzazione unica. Un fattore di un numero n è un numero f tale che la divisione n/f non dà resto: i numeri primi, forse ricordate, sono quelli maggiori di 1 che hanno come fattori solo sé stessi e 1. Se prendiamo un qualsiasi numero, la fattorizzazione unica ci assicura che lo possiamo scrivere in un solo modo come prodotto di numeri primi; per esempio, 1001 = 7·11·13.
In matematica la fattorizzazione unica è importantissima, ed è il motivo fondamentale perché si definisce che 1 non è un numero primo; piuttosto che aggiungere qui la frasetta "eccetto che si possono aggiungere tanti fattori uno quanti si vogliono", si preferisce aggiungere "eccetto 1" nella definizione di numero primo. Come curiosità posso aggiungere che all'inizio del XIX secolo si pensava di poter dimostrare il teorema di Fermat con alcune tecniche nemmeno troppo difficili matematicamente ma che presupponevano che la fattorizzazione unica valesse anche per numeri "più o meno interi", quelli della forma n + m √(-1); ed è stato un brutto colpo acccorgersi che non è affatto vero.

Ma basta con le divagazioni, e torniamo alla fattorizzazione unica. Abbiamo visto che ogni numero si può scrivere in modo univoco come prodotto di numeri primi; ma allora se prendiamo due numeri possiamo trovare quali fattori - e presi quante volte - hanno in comune. Per esempio, 9009 = 3²·7·11·13 e 147 = 3·7² hanno in comune il prodotto 3·7, cioè 21. Detto in altro modo, posso dividere sia 9009 che 147 per 21 senza ottenere nessun resto, e non c'è nessun numero maggiore con questa proprietà. Quindi 21 è un divisore, comune a entrambi i numeri e massimo; il Massimo Comun Divisore (MCD), appunto. In maiuscolo, perché immagino che la parola "massimo" faccia pensare a qualcosa di grande.

Supponiamo però che ci interessi qualcosa di diverso; possiamo riempire degli scatoloni di libri mettendoli a gruppi di sei oppure a gruppi di otto a seconda di cosa il Comitato Centrale ci comunicherà, non vogliamo scatoloni mezzi pieni perché non sta bene, e vogliamo evitare di fare troppi scatoloni perché siamo pigri. Ovviamente prendere sei per otto, quarantotto, libri ci permette di riempire in ogni caso gli scatoloni; però si può fare di meglio limitandoci a 24 libri. Questo 24 è il minimo comune multiplo (mcm) di 6 e 8, appunto. In minuscolo, perché immagino che la parola "minimo" faccia pensare a qualcosa di piccolo.

Se ci capita di sommare due frazioni, a denominatore ci conviene usare il minimo comune multiplo dei denominatori, perché ci troveremo con numeri più piccoli. Ma come si fa a sapere qual è il mcm di due numeri? Più semplice di quanto possa sembrare a prima vista: si moltiplicano tra di loro i due numeri e si divide il risultato per il loro massimo comun divisore. In fin dei conti il MCD indica proprio quali fattori sono in comune tra i due numeri, e quindi è inutile contare doppi. E come si fa a sapere qual è il massimo comun divisore dei numeri? Beh, quello lo racconto la prossima volta :-)

God Plays Dice riporta un articolo del New York Times sulle creme solari, o più precisamente sui fattori di protezione indicati sulle creme.
Cosa significa "fattore di protezione N"? Vuol dire che la dose consigliata di crema lascia passare soltanto una parte su N dei raggi ultravioletti; se preferite vederla in un altro modo, moltiplica per N la quantità di tempo che potete stare al sole senza bruciarvi (almeno in teoria, visto che la crema si assorbe, se ti fai il bagno se ne va via, ecc. ecc. Notate la parolina magica "la dose consigliata"; è una quantità enorme, tipo 30 grammi, che nessuno si metterebbe mai visto il prezzo delle cremine.

Bene, supponiamo che io abbia la mia bella cremina protezione 16 e me ne metta addosso solo quindici grammi invece che trenta. Qual è la mia protezione equivalente? La metà, cioè 8? No. È la radice quadrata, cioè 4! Come Isabel fa notare, la cosa ha un senso: se noi prendiamo uno strato standard di crema a protezione 4 ci arriva solo un quarto degli ultravioletti; con un secondo strato ce la fa solo un ulteriore quarto, vale a dire un sedicesimo. I conti esatti sono leggermente diversi, visto che la matematica è solo un'approssimazione della vita reale, e visto che la protezione non è uniforme su tutte le frequenze di ultravioletti il risultato è un po' minore; ma l'idea è quella. Se doppio strato di crema protezione 4 dà una protezione 16, chiaramente metà strato di una crema protezione 16 darà una protezione 4, no?
Il tutto non è solo una curiosità: è anche un modo per mostrare come una funzione oggettivamente poco comune come la radice quadrata possa apparire in maniera naturale anche nella vita, se non proprio di tutti i giorni, almeno di tutte le estati. God Plays Dice arriva anche a far notare che per confrontare il costo di due diversi tubetti di crema occcorre dividere il prezzo non solo per il volume dei tubetti ma anche per il logaritmo dei fattori di protezione: ma qua forse si esagera con la matematica!

C'è crisi. C'è brutta crisi, e non sembra che stia finendo. I media sono caldamente invitati a infondere fiducia alla gente, ma è difficile farlo senza mentire spudoratamente. Capita così che soprattutto all'estero l'arte di arrampicarsi sugli specchi faccia improvvisamente tornare alla mente la matematica liceale.

Prendiamo ad esempio questo articolo della BBC. Il titolo è «Pace of US job losses is slowing», il che significa che negli USA si continuano a perdere posti di lavoro, ma meno di prima. Insomma, la funzione "posti di lavoro nel tempo" è quindi decrescente, però la funzione "differenza di posti di lavoro rispetto al periodo precedente" passa da numeri negativi grandi a numeri negativi un po' meno grandi, e quindi cresce (Se la temperatura è -5 fa un freddo becco, ma sicuramente fa più caldo che se è -15, no?) Tecnicamente la derivata prima della funzione posti di lavoro è negativa, ma la derivata seconda è positiva: come in una parabola, si spera che prima o poi a furia di scendere sempre più dolcemente la discesa termini e ricominci una salita; ma al momento si scende e basta.

Devo però aggiungere che se misuriamo la portata della crisi dall'ordine della derivata usata nelle spiegazioni allora non siamo arrivati ancora al peggio. Il matematico Hugo Rossi osservò (trovate la citazione originale ad esempio qui): «Nell'autunno del 1972 il presidente Nixon annunciò che il tasso di crescita dell'inflazione si stava riducendo. È stata la prima volta in cui un presidente in carica usò una derivata terza per promuoversi durante la campagna elettorale.».

Aggiornamento: (11 maggio) Come si può vedere qua ("Svolta vicina, rallenta il calo del Pil"), anche in italiano sono arrivate le costruzioni con la derivata seconda.

Supponete che qualche giorno prima della partita di andata dei quarti di finale della Champions League vi arrivi una email che dice "ho sviluppato un algoritmo che prevede correttamente i risultati sportivi. Per dimostrarGlielo, ecco quali sono le quattro squadre che passeranno alle semifinali:" e un elenco di quattro squadre. La mail termina con "per favore, non divulgate la notizia, per ovvie ragioni". Voi non ci fate molto caso: quando però le partite si sono concluse, vi arriva una seconda email, che dice "Le quattro squadre che hanno passato il turno sono state proprio quelle da me previste. Perché Lei si possa sincerare della potenza dei miei algoritmi, Le dico quali saranno le finaliste"; e stavolta ci sono due nomi. Fate mente locale, vi ricordate che effettivamente l'interlocutore aveva ragione - e dire che non avreste scommesso un euro su una delle squadre - e aspettate incuriositi. Anche stavolta le predizioni si sono rivelate corrette: arriva una terza mail che dice "Se Lei vuole sapere il nome della squadra che vincerà la Champions League, invii cento euro a questo numero di conto corrente. Mi raccomando, però: non diffonda la notizia, altrimenti le quote crollerebbero." Che fareste? Mandereste all'anonimo i soldi, pronti a scommetterne ben di più? Se avete risposto sì, forse è meglio che continuiate a leggere; altrimenti la lettura non sarà così importante ma spero sia comunque piacevole.

Il nostro anonimo interlocutore aveva infatti iniziato a spedire 128.000 email - tanto non gli costava nulla - divise in sedici gruppi, ciascuno dei quali aveva una quaterna diversa di semifinaliste previste. Una volta visti i risultati, il secondo gruppo di spedizioni è stato fatto solo agli 8000 destinatari che avevano ricevuto la predizione corretta (suppongo che le probabilità che passi il turno una squadra oppure l'altra siano le stesse, ma il ragionamento vale lo stesso); il terzo messaggio con la richiesta di denaro, infine, solo ai 2000 per cui anche i risultati delle semifinali erano stati previsti correttamente. La maggior parte delle persone ha ricevuto solo la prima mail con le previsioni errate, ma voi eravate tra i duemila "fortunati", e con buona probabilità sgancerete al nostro ignoto amico cento euro per un'ulteriore predizione assolutamente casuale. Se anche solo la metà dei polli ci casca, sono 100000 euro in saccoccia senza troppa fatica: niente male, vero?

Purtroppo l'evoluzione non ha insegnato a noi umani come trattare le probabilità, soprattutto le probabilità a posteriori. Quello dell'esempio è un caso limite: prima dell'invio della prima email avete una possibilità su 64 di ricevere tutti e sei i risultati corretti, e quando vi arriva la lettera con la richiesta di un piccolo contributo tendete a pensare ancora a quella probabilità, mentre quella a posteriori è ovviamente la certezza nel vostro caso (e l'impossibilità negli altri 63 casi... la probabilità è come l'energia, nulla si crea e nulla si distrugge). Ma ci sono anche altri casi in cui le probabilità a posteriori sono sovrastimate e non sottostimate. Il caso classico che viene fatto è quello del test per l'Aids. Supponiamo che il test rapido abbia una probabilità su 100 di dare un falso positivo (una persona sana che risulti aver contratto l'infezione), e che il vostro stile di vita assai morigerato sia tale che a priori avete una possibilità su 1000 di essere infetti. Andate a fare il test, e vi richiamano dicendo che il test rapido è risultato positivo e quindi occorre sottoporvi a un test più accurato. Quant'è la probabilità a posteriori (cioè dopo la positività al test rapido) che voi siate effettivamente infetti? il 99%? No, è molto meno. Su un milione di persone con il vostro stile di vita, infatti, solo 1000 sono statisticamente infette. Il test darà risultato positivo su questi 1000 e sull'1% degli altri 999000, cioè su 9990 persone (che arrotondo a 10000 per fare meglio i conti). Quindi ci sono 1000 infetti su quasi 11000 positivi all'esame, pari a meno del 9%. In altre parole: c'è da preoccuparsi (siamo passati da una probabilitàa priori dello 0,1% a quasi il 9%) ma non avete ancora un piede e mezzo nella fossa!

Tutti questi conti sono ben noti da secoli ai matematici, e la formula che calcola le probabilità a posteriori a partire da quelle a priori e dai risultati si chiama Teorema di Bayes. Il fatto che sia ben nota non cambia però le carte in tavola: continua a risultare poco intuitiva, e quindi anche persone con una buona conoscenza scientifica ci possono cascare.

C'è anche un altro fenomeno relativo alle probabilità che fa prendere lucciole per lanterne, anche se più che matematico è probabilmente di natura psicologica, ed è l'aggiustamento probabilistico a posteriori. Inizio con un esempio che di matematico non ha nulla: le centurie di Nostradamus. Adesso non sono molto di moda, ma negli anni '70 del secolo scorso c'erano vari studiosi che invariabilmente mostravano come Nostradamus avesse previsto i vari fatti accaduti: una volta verificatisi tali fatti, i riferimenti nel testo del veggente erano infatti inequivocabilmente chiari. Purtroppo le previsioni per il futuro non sono mai state così chiare, un po' come quelle degli astrologi: o magari è tutto un complotto delle società di assicurazione che non vogliono finire in rovina, e quindi stanno attente a eliminare tutti i possibili metodi per conoscere davveo il futuro.

Spostandoci ìn un ambito piu matematico ancorché qualitativo, prendo un esempio purtroppo tragico: il terremoto abruzzese di questi giorni, e la coda di polemiche perché le previsioni di Gioacchino Giampiero Giuliani non sono state tenute in considerazione. Guardiamo le cose da un punto di vista strettamente matematico. La probabilità a priori che ci sia un terremoto di intensità distruttiva in un giorno specifico in una zona specifica (diciamo con l'epicentro in un raggio di quindici km da un punto indicato) è molto bassa, per fortuna: e lo è anche se ci si trova in una zona sismica, e comincia a diventare significativo - ma non ancora elevato, sempre per fortuna - in presenza di alcuni segnali. Immaginiamo che Giuliani avesse effettivamente previsto il terremoto del 6 aprile all'Aquila, ma non avesse detto nulla perché in fin dei conti era già sotto inchiesta per procurato allarme. Resta il fatto che il 28 marzo aveva affermato che il terremoto sarebbe stato il giorno successivo (sette giorni prima della data effettiva) a Sulmona (cinquanta chilometri in linea d'aria dall'Aquila). Chi dice "ci aveva azzeccato" è come chi pensa di aver vinto alla lotteria perché la differenza tra il numero del suo biglietto e quello vincente è solo 14: non esattamente un gran risultato. Eppure, proprio perché l'evento è così raro e distruttivo, si pensa inconsciamente che un'approssimazione di questo tipo sia accettabile. Visto che non possiamo riprodurre a piacere i terremoti, non abbiamo un modo di valutare aprioristicamente la probabilità che da una serie di segnali si giunga a un sisma. D'altra parte, mentre in linea di principio ha senso avere qualche allarme a vuoto, non possiamo nemmeno averne troppi; non tanto per l'effetto "al lupo al lupo", quanto per gli ovvi problemi organizzativi.

La morale di tutto questo è semplice: fate sempre attenzione quando valutate delle probabilità, e non fidatevi degli argomenti spannometrici!

Probabilmente la vignetta di oggi di Ferd'nand non vi farà molto ridere, soprattutto se la vostra abilità nei lavori manuali è comparabile con la mia. La striscia però rappresenta visivamente un importante fatto geometrico, che probabilmente è passato del tutto inosservato a scuola.

Una delle informazioni generalmente inutili che rimangono appiccicate dagli anni scolastici è "per due punti passa una retta". La frase corretta, sottintendendo che si parla del piano euclideo, è "per due punti passa una e una sola retta", ed è uno dei postulati degli Elementi di Euclide, vale a dire un'affermazione che si deve prendere per vera senza cercare di dimostrarla. Se i punti presi sul piano sono tre, bisogna essere fortunati per averli tutti sulla stessa retta; in genere non capita. Sì, ci sarebbe la battuta "per tre punti passa una retta, purché sufficientemente spessa", ma non divaghiamo... L'affermazione si può anche leggere alla rovescia: dati due punti, abbiamo definito una retta ben specifica.

Se dal piano passiamo allo spazio, però, le cose si fanno più interessanti. Il postulato equivalente a quello indicato qui sopra dice "per tre punti passa uno e un solo piano", o se preferite "dati tre punti, abbiamo definito un piano". Come nel caso del piano aggiungere un terzo punto non permette più di essere certi di avere una retta che passi per tutti e tre i punti, così quattro punti nello spazio possono non appartenere a nessun singolo piano, come il nostro Ferd'nand si è accorto col suo tavolino che balla. Ma se il tavolino ha solamente tre gambe, la stabilità è assicurata! Naturalmente non è detto che le cose posate sul tavolino non scivolino a terra, o detto in altro modo il piano del tavolino non è detto sia parallelo al pavimento (o meglio, come fa correttamente notare S. nei commenti, e perpendicolare alla forza di gravità: un tavolino parallelo a una ripida strada di San Francisco sarebbe scarsamente utile); ma è comunque qualcosa. Questo tra l'altro è il motivo per cui si usano i treppiedi e non i quadripiedi, se si deve fare una fotografia e si vuole che la macchina fotografica sia stabile. Insomma, anche la geometria ha la sua utilità

Ho trascorso la pausa pranzo andando al Poli a sentire la conferenza "Modelli matematici e crisi finanziaria", nell'ambito dei Seminari di Cultura Matematica del dipartimento di Ingegneria Matematica. Sì, lo so che ho appena scritto un ossimoro.
Premetto che io di matematica ne capisco abbastanza, di statistica un po' e di economia nulla, e aggiungo che sono riuscito a resettare il mio palmare prima di salvare gli appunti che mi ero preso, quindi può darsi che io abbia preso delle cantonate: tanto ci sono fior di economisti tra i miei ventun lettori, che saranno lesti a correggere. La netta sensazione che però ho avuto è che il sistema bancario prenda gli strumenti matematici e poi li usi in maniera tale che i fisici in confronto sono dei formalisti puri.

Innanzitutto c'è il leverage, vale a dire quanti soldi la banca dà in giro rispetto al suo capitale (troppi, soprattutto negli ultimi anni...), ma questo con la matematica c'entra poco. Più interessante il racconto di Emilio Barucci su come funzionano le cartolarizzazioni dei mutui casa. Se un mutuatario ha probabilità x di non poter pagare, con varianza σ², basta prendere mille mutuatari e mettere insieme i loro mutui. Se le loro probabilità di default sono indipendenti, un po' come quando si lancia un dado N volte, la probabilità di default del pacchettone continua ad essere x, ma la varianza scende a σ²/1000, il che mi torna: se provate a disegnare la distribuzione binomiale di dieci oppure diecimila lanci di moneta nella stessa scala, vedrete che la seconda sembra una gaussiana molto più stretta. A questo punto si prende il pacchetto dei mille mutui e si fanno delle quote: non però uguali, ma dividendolo in tranche. In pratica ci sono le quote più rischiose, che però quando le cose vanno bene danno tanti soldi, e quelle via via più sicure, con rating che arrivava anche ad AAA (cioè una possibilità su 20000 di diventare carta straccia entro un anno). Queste quote sicure sono state vendute come obbligazioni sul mercato: solo che le banche americane, invece che fare come da noi dove le obbligazioni venivano rifilate agli utenti finali, se le compravano tra loro, spostando le voci nel bilancio ma rimanendo comunque fregate con una crisi come questa.
Ma anche questo non c'entra con la matematica light, se non per un punto fondamentale: la varianza si riduce così tanto solo se i vari mutui sono statisticamente indipendenti. Nel caso ci sia correlazione perfetta, la varianza rimane ovviamente σ²; altrimenti ci sarà un valore intermedio. Cosa facevano allora quelli che erano incaricati di suddividere il pacchetto dei mutui nelle varie tranche? Semplice: giocavano con i parametri, e soprattutto con la correlazione tra i mutui, per trovare i risultati che gli andassero bene. Un po' insomma come i "sondaggi televisivi" dove facciamo una domanda a una decina di persone e mostriamo le tre risposte che ci piacciono di più.

Ma il secondo punto "molto matematico" è quello del Valore a rischio, o VaR. Questo numeretto misurerebbe qual è il valore minimo che ci aspettiamo il nostro portafoglio avrà in una certa data nel 95% dei casi: in pratica nel 5% dei casi scenderemo sotto quel valore, nel 95% invece lo supereremo. In condizioni perfette - leggasi, distribuzione del rischio sotto forma di gaussiana pura - il VaR è un'ottima misura del rischio. Peccato che non solo le condizioni non sono generalmente perfette, ma è anzi vantaggioso mettere investimenti molto più rischiosi in quel 5%, visto che al mondo sono nascosti (il VaR resta lo stesso) ma si può guadagnare di più... se le cose vanno bene, naturalmente.

Insomma, il concetto di base mi pare essere "prendiamo le formulette matematiche, e facciamo finta funzionino sempre; se non funzionano, cominciamo a spostare i numerini fino a che non dicono quello che vogliamo noi". Belle cose, e poi uno si stupisce che stia andando tutto a catafascio!

Nella rubrica odierna di Lessico e Nuvole, Stefano Bartezzaghi parla di una ipotetica operazione da aggiungere alle quattro usuali: l'unisione, che «sarebbe l'operazione per cui due uniso due fa ventidue», o per meglio specificare "due uniso tre fa ventitré".

Tralasciamo il fatto che l'unisione si fa evidentemente in una base specifica, nel nostro caso in base 10, e veniamo alla sua operazione inversa. Secondo Stefano, l'unisione sarebbe un'operazione autoinversa, tale cioè che ventidue uniso due fa due. Io non sono d'accordo; secondo me ventidue uniso due fa duecentoventidue. Propongo come operazione inversa dell'unisione la stacchisione, tale per cui ventitrè stacchiso tre fa due (e ventitré stacchiso due fa tre...)

Voi che ne pensate, sia riguardo alla nomenclatura che all'operazione in sé?

[Questo è un vero articolo di matematica light, nel senso che ho eliminato equazioni e dimostrazioni. Chi volesse fare le cose un po' più sul serio, può andare a leggere la versione completa su una Prestigiosa Rivista Matematica]

Immagino che abbiate già sentito parlare del Triangolo di Tartaglia, magari sotto il nome di Triangolo di Pascal. È un triangolo (ma vah?) infinito, che ha in punta e sui due lati tutti 1; gli altri numeri si calcolano sommando i due numeri immediatamente al di sopra. Il triangolo di Tartaglia, come tante strutture matematiche, spunta da tante parti; ad esempio, i coefficienti dello sviluppo binomiale (1+a)ⁿ sono proprio gli elementi della riga n del triangolo di Tartaglia. Ah: la prima riga, quella per intenderci dove si trova solo il numero 1, è la "riga zero". I matematici amano partire da zero.

Oltre alla formula ricorsiva per ricavare i numeri del triangolo di Tartaglia, ce n'è anche una che permette di calcolare esplicitamente il k-simo elemento della n-sima riga; esso vale n!(k!(n-k)!), dove l'esclamativo indica la funzione fattoriale. Ah, il primo elemento, quello per intenderci più a sinistra, è l'"elemento zero". Vi ho già detto che i matematici amano partire da zero?

Ma immaginiamo che non ci interessi sapere il valore esatto dei vari elementi del triangolo di Tartaglia, ma solo se sono pari o dispari. Proviamo a disegnare il triangolo mettendo un pixel nero se il numero è dispari e uno bianco se è pari: il risultato, come vedete, sembra una specie di merletto e ha l'aspetto di tipo frattale. In effetti la figura limite è nota come Triangolo di Sierpinski: se siete romantici, potete anche vederla così. Spesso i frattali hanno una descrizione semplice, e anche in questo caso in effetti c'è un modo per trovare rapidamente se un pixel è bianco o nero, cioè se il numero corrispondente è pari o dispari. Guardando la figura, vediamo che ci sono delle righe tutte nere, altre righe quasi tutte bianche, e ancora altre righe un po' alternate, il che però non ci dice molto; la spannometria è utile, ma in questo caso non ci basta.

Il matematico che scoprì la regola è un poco conosciuto francese vissuto nell'Ottocento: Edouard Lucas. Lucas è forse più noto ai matematici ricreativi che a quelli accademici, anche se il test che permette di annunciare ogni tanto la scoperta di un numero primo enorme è stato inventato da lui e poi affinato da Lehmer. Non è un caso che il test di primalità valga per i numeri della forma 2ⁿ-1: Lucas era affascinato dai numeri scritti in notazione binaria, e purtroppo per lui era nato con un secolo di anticipo, perché altrimenti sarebbe stato deliziato dagli elaboratori elettronici che in base 2 ci lavorano. Un altro esempio di questa sua infatuazione è la creazione del gioco della Torre di Hanoi, nella cui soluzione le potenze di due giocano un ruolo fondamentale.

Torniamo al nostro triangolo, e prendiamo un elemento a caso; quello in posizione k nella riga n, ricordandoci sempre che si inizia a contare da zero. Scriviamo ora k e n in formato binario, e mettiamoli uno sotto l'altro, aggiungendo se necessario degli zeri a sinistra di k perché siano della stessa lunghezza. Cerchiamo ora tutti i bit di k che hanno valore 1 e vediamo il bit corrispondente di n; se per ciascuno di quei bit di k anche quello corrispondente di n vale 1, allora il nostro elemento sarà dispari, altrimenti sarà pari. Lo so, detto così è incomprensibile; quindi faccio un esempio pratico. Se n vale 19, cioè 10011 in notazione binaria, ci saranno esattamente otto valori di k per cui l'elemento del triangolo sarà dispari: quelli della forma x00xx, dove x può valere 0 oppure 1. Andando a scalare, ci saranno così 10011 in formato binario, cioè 19; 10010=18, 10001=17, 10000=16, 00011=3, 00010=2, 00001=1, e... 00000=0. Quest'ultimo risultato può sembrare un po' strano: in fin dei conti non ci sono mica bit di k che valgano 1, e quindi si direbbe che l'ipotesi non valga. Ma i matematici amano parlare delle mirabolanti proprietà dell'insieme vuoto: se ci pensate, questo caso è la stessa cosa che dire "se non faccio, non sbaglio". Poi dovreste fidarvi, visto che l'elemento in posizione zero è il primo della riga (vi ho già detto che i matematici amano partire da zero?) e quello vale sicuramente 1.

Vi faccio ancora qualche esempio facile. Le righe 2, 4, 8, 16... del triangolo, vale a dire la terza, la quinta, la nona... sono quelle dove gli unici pixel neri sono i due estremi, dove cioè k = 0 e k = n; in effetti n è della forma 1000...000 e non si può fare molto. In compenso, le righe appena sopra di esse, cioè la 1, 3, 7, 15, ... sono completamente nere, e in effetti se n è della forma 1111...111 si può scegliere un k qualsiasi, perché tanto i bit sopra sono tutti a 1. Se ci si pensa un po' su, si può capire perché ci siano i triangoli bianchi che man mano si riducono (aiutino: dipende da quanti 1 ci sono a destra nella rappresentazione binaria di k); ma si può anche lasciar perdere tutto questo e limitarsi ad apprezzare il risultato. Qui si vuole essere light, in fin dei conti!

C'è una rubrica su Mathematics Magazine della MAA che si chiama "Proofs without Words", e che appunto presenta dimostrazioni per così dire visive: non sono vere dimostrazioni, naturalmente, ma chiunque sia abituato a fare un po' di matematica, dopo aver visto il disegno, sa esattamente quali sono i passi formali da fare per una dimostrazione, mentre chi abituato non è riesce comunque a convincersi.

La cosa mi è venuta in mente ieri, dopo avere scoperto che qualcuno era finito sul mio blog con la chiave di ricerca «in un triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente a metta ipotenusa-dimostrazione di questa teorema». Il teorema mi ricordava qualcosa, ma non ricordavo esattamente cosa: ho preso carta e penna per vedere la dimostrazione, e in un attimo è uscito fuori questo disegnino (non cliccateci sopra se volete prima dimostrarvelo da voi). Non è carino?

(la prima parte si trova qua)

Moltiplicazione, ma soprattutto divisione!

Una tabellina per la somma è una cosa strana, ma nessuno si scandalizza nel caso della moltiplicazione: in fin dei conti, la buona vecchia tavola pitagorica la conosciamo tutti. La tabella 2 mostra appunto la moltiplicazione, stavolta modulo 10 per semplicità pratica: è come se guardassimo l'ultima cifra della tavola pitagorica standard. Alcune sue caratteristiche sono quelle a cui noi siamo abituati. La tabellina dello zero è sempre monotona: zero per un qualsiasi numero fa zero. Anche la tabellina dell'uno non è che sia poi così eccitante: uno per n fa n per ogni numero n. Negli altri casi, le cose cambiano eccome.

Tabella 2: prodotto modulo 10

A volte succede che due numeri diversi da zero, moltiplicati tra di loro, diano zero: lo vediamo nelle tabelline dei numeri pari e in quella del 5. Altre volte succede che nella tabellina tutti i numeri diversi sono presenti; lo vediamo, oltre che nella tabellina dell'uno, anche in quella di 3, 7 e 9. I due casi sono complementari: non è difficile dimostrare che o capita uno o l'altro, però sono buono e non lo faccio, visto che non è così importante nella nostra discussione. Qui ci basta vedere che 4*2 e 4*7 valgono entrambi 8, il che significa che nell'aritmetica modulare la divisione può avere più di un risultato, oppure non averne nessuno. Nel primo caso, 8/4 vale 2 oppure 7; nel secondo caso, 9/4 è impossibile, e non ce la facciamo nemmeno a pensare di estendere i numeri modulo 10 per avere un risultato fuori dall'insieme di partenza. Non abbiamo insomma l'equivalente dei numeri frazionari modulari, almeno così ad occhio.

Tabella 3: prodotto modulo 11

La situazione però cambia di colpo se stiamo usando l'aritmetica modulare con un modulo che è un numero primo. La tabella 3 mostra la tavola pitagorica per l'aritmetica modulo 11. In questo caso, a parte per lo zero, l'insieme dei multipli di ciascun numero è composto da tutti i numeri! Quindi ogni numero diverso da zero ha un suo inverso, che moltiplicato per il numero dato ci fa ottenere 1. Per i numeri modulo 11, l'inverso di 1 è 1, quello di 2 è 6, quello di 3 è 4, quello di 5 è 9, quello di 7 è 8, quello di 10 è 10. Come per la differenza, in questo caso possiamo permetterci il lusso di non imparare le divisioni; basta avere la tabellina per gli inversi, e così 5/8 (modulo 11) è uguale a 5*7 che vale 35 cioè 2.

Listato 2: inversi modulo 11

Potenze e logaritmi

Accenno solamente a quello che succede nel caso dell'elevazione a potenza e del logaritmo, limitandomi al caso in cui il modulo sia un numero primo dove le proprietà sono più interessanti: per fissare le idee, immaginiamo di usare i numeri modulo 11.

Tabella 4: potenze modulo 11

Scrivere a^b significa moltiplicare a*a*a... per b volte, sempre eliminando tutti i multipli di 11 nelle operazioni. Come nel caso dei numeri interi, definiamo a⁰ = 1 e a¹ = a. La tabella 4 è una "tavola potenziagorica": visto che l'elevazione a potenza non è commutativa e cioè a^b non è necessariamente uguale a b^a, preciso che la base si legge nella colonna a sinistra e l'esponente nella riga in alto. Notate nulla di strano? Dovrebbero esserci almeno due cose che saltano all'occhio. La prima è che la colonna della potenza 10 è composta da tutti 1; la seconda (in po' più difficile) è che alcune colonne (in lilla) e alcune righe (in azzurro) contengono tutti i numeri da 1 a 10. La prima di queste proprietà vale per l'aritmetica modulare quando il modulo è un numero primo p, ed è nota come Piccolo teorema di Fermat (no, non c'entra nulla con l'Ultimo teorema di Fermat se non che sono stati enunciati entrambi dal matematico e giudice francese). La seconda invece è vera per le colonne quando stiamo lavorando con l'aritmetica modulo p (primo) e prendiamo una potenza n tale che n e p-1 non abbiano fattori primi in comune; tecnicamente si dice che "n è primo con p-1". Per le righe, invece, i valori per cui vale la proprietà si chiamano generatori nella base p.

Per quanto riguarda le colonne lilla, possiamo dire che in quei casi è sempre possibile fare la radice n-sima di un numero, che ha sempre un solo valore (a meno di multipli del modulo). Non ditemi che è lo stesso con le radici cubiche "normali": anche lasciando perdere i valori complessi, ditemi voi qual è la radice cubica di 9! Per quanto ne so, comunque, questa proprietà non è poi così importante in pratica, a differenza di quella sui generatori. Se si sceglie una base che è un numero primo e un valore che è un generatore per questa base, infatti, è sempre possibile calcolarne il logaritmo discreto, che poi non è altro che il logaritmo in versione modulare. Se 2⁶ è congruo a 9 (modulo 11) questo significa che il logaritmo discreto di 9 in base 2 e modulo 11 vale 6. (Vale anche 16, 26, 36 e così via... ma anche in questo caso si prende convenzionalmente il più piccolo valore). La cosa interessante del logaritmo discreto è che non ci sono modi "facili" per calcolarlo, se non andando avanti a elevare a potenza la base finché non si trova il valore di cui ci serve il logaritmo. L'unico problema è che fare tutti questi conti costa, e il costo cresce esponenzialmente con la dimensione del modulo p. Questo significa che per un modulo abbastanza grande (il generatore può anche essere piccolo) abbiamo una "funzione trappola", che è facile da calcolare in un verso ma difficile da craccare nell'altro verso: situazione ideale per gli algoritmi a chiave pubblica, e infatti il protocollo Diffie-Hellman sfrutta i logaritmi discreti come base di un algoritmo di crittografia... algoritmo che non vi spiego in questa sede perché questa è matematica light.

Questo è tutto: come sempre domande e suggerimenti sono i benvenuti!

L'aritmetica modulare è una di quelle parti della matematica che non sono affatto difficili da comprendere, e anzi vengono usate nella vita di tutti i giorni senza grandi problemi, però non vengono quasi mai insegnate a scuola. Provo così a scrivere qualcosa al riguardo, per la gioia di grandi e piccini.

I moduli nella vita di tutti i giorni

Cominciamo subito da un esempio reale – non per me, in effetti, e probabilmente per nessuno in questo decennio; ma dovrebbe essere comunque comprensibile. Se una persona entra in discoteca alle 23 e ci sta cinque ore, quando ne esce? Alle 4 del giorno dopo, più o meno in grado di intendere e volere. Ma 23+5=28, non 4! Il nostro discotecaro ha anche perso la facoltà di contare? Ovviamente no, le 4 sono nella giornata successiva e i conti tornano. Però se stiamo guardando un'orologio digitale che non indica la data, l'operazione 23+5=4 è perfettamente corretta. Un matematico direbbe che la somma è corretta modulo 24; se vogliamo usare concetti più terra terra possiamo dire che il resto della divisione per 24 dell'operazione 23+5 è 4. Storicamente in effetti l'operazione di modulo è nata per utilizzare i resti, e solo in seguito è stata assorbita nella teoria dei gruppi, di cui però al momento non parlo.
Altri esempi di occorrenze "naturali" dei moduli sono l'orologio analogico con le lancette, che considera i numeri modulo 12, e la trigonometria, dove gli angoli sono calcolati modulo 360 gradi (o 2π radianti... ma di nuovo andiamo fuori strada, soprattutto perché in questo caso non stiamo più dividento per un numero intero). La prova del nove, anche se a prima vista non ce ne accorgiamo perché non facciamo esplicitamente le divisioni, lavora con i numeri modulo 9; se ci limitiamo a guardare l'ultima cifra, quella più a destra, nei calcoli stiamo in realtà lavorando modulo 10. Infine, se vogliamo fare le cose in grande e guardare attentamente i sistemi di crittografia a chiave pubblica, scopriremo che anche in quel caso si usano i moduli, anche se di numeri parecchio più grandi.

Sommiamo, ma non confrontiamo

Se i numeri modulo 12 sono i resti della divisione per 12 di un numero intero qualunque, è chiaro che i possibili valori sono esattamente 12, quelli da 0 a 11. Più in generale, i numeri modulo k vanno da 0 a k-1. "Ma nell'orologio non ci sono le ore 0! Sono le 12!", mi dirà qualcuno. La risposta è "sì, ma cosa importa?" In effetti se lavoriamo modulo 12 allora 0 e 12 sono la stessa cosa, visto che la differenza tra di loro è 12... e dodici diviso dodici dà resto zero. Se vogliamo essere pignoli come un Vero Matematico, dobbiamo dire che 0 e 12 sono congrui (modulo 12); non arrabbiatevi però troppo se mi scapperà qualche "uguale" al posto di "congruo".
All'atto pratico è come se avessimo suddiviso tutti i numeri, positivi e negativi, in dodici classi distinte come gli animali del calendario cinese, e poi per ciascuna classe scegliamo un rappresentante. Convenzionalmente si usano i numeri da 0 a k-1 perché semplificano le operazioni, ma non c'è nulla di male in certi casi a prendere quelli da 1 a k; in altri casi, ad esempio quando si usano i numeri modulo 3, si può anche scegliere di prendere come rappresentanti 0, 1 e -1 "per ragioni di simmetria".

Tabella 1: somma modulo 12

Che ci facciamo con questi numeri? Beh, iniziamo con le quattro operazioni! Per la somma, nella tabella 1 vediamo cosa succede con la somma modulo 12. Sarete d'accordo con me che non è che la cosa sia così eccitante: la tabella sembra più che altro uno di quelle strisce di led dove scorrono le parole. Lo zero si comporta come ci si aspetta da lui; l'unica cosa che potrebbe sembrarci strana è che il risultato della somma è minore dei due addendi, come in 8+5=1. Ma è proprio così? Stiamo dando per scontato che i moduli possano essere ordinati. Ma questo non è affatto vero: anche in un orologio, uno può dire che le cinque sono "dopo" l'una, ma un altro può ribattere di no, che l'una del pomeriggio sono dopo le cinque del mattino, e non si vede come dargli torto. Potremmo pensare di dire "sì, ma dalle cinque all'una c'è più distanza che tra l'una e le cinque, e quindi c'è un ordine implicito". Ma è meglio lasciar perdere, visto che con questo "ragionamento" 5 è maggiore di 1, 9 è maggiore di 5, ma 1 è maggiore di 9 modulo 12: e questo non sembra troppo bello.

La differenza si calcola esattamente come la somma. Si potrebbe scrivere una tabellina apposta, e lo potrei lasciare come esercizio per il lettore: ma probabilmente non ne vale la pena, visto che è facile usare "alla rovescia" la tabellina per somma scegliendo il sottraendo nella riga in alto, cercando il minuendo all'interno della colonna ad esso corrispondente, e leggendo il risultato sulla colonna a sinistra. Ma c'è un altro modo per fare una sottrazione! Possiamo infatti scrivere a-b nella forma a+(-b). A prima vista non sembrerebbe esserci chissà quale vantaggio, anzi: ma questo è perché siamo abituati ai numeri usuali. Con i moduli, non ci vuole nulla a sostituire un numero negativo con uno positivo! Per esempio, -4 è per definizione la stessa cosa che 12-4, cioè 8; quindi 5-4 è pari a 5+8, cioè 13 e quindi 1. All'atto pratico può ancora essere utile imparare a fare le differenze, visto che passare da 5-4 a 5+8 in realtà ci complica le cose: ma almeno in linea di principio la sottrazione è un'operazione inutile, e ci basta una tabellina dell'addizione e una lista dei numeri complementari.

Listato 1: opposti modulo 12

(continua)

(attenzione! in questo post non parlo di matematica - o di fisica, se per questo - ma di qualcosa che si può avvicinare più alla filosofia della scienza. Questo significa che anche se dite di non capire nulla di matematica non avete scuse per non leggerlo)

I Rudi Matematici hanno inserito nel loro blog un problemino di fisica, che in una giornata ha già generato decine di risposte. Occhei, sono più bravi di me a generare traffico, ma quello non importa, almeno fino a che non avrò cliccato su "submit" e sarò andato a piangere amaramente. Il problema non è quantitativo: quindi non occorre per nulla fare i conti, ma semplicemente stabilire se la temperatura finale di due sfere sarà la stessa o diversa. Il tutto con una serie di assunzioni per così dire "naturali" (le sfere sono identiche, alla stessa temperatura iniziale, e con la stessa quantità di calore loro fornita), e altre necessarie per avere un problema e non una tautologia (una sfera è sospesa a un filo, l'altra posata sul pavimento); poi ci sono le assunzioni tipiche dei problemi di fisica (conoscete la barzelletta dell'approssimazione dei cavalli sferici?) che pavimento e filo siano perfettamente isolanti, e che le perdite di calore verso l'ambiente possano essere trascurate.
Il guaio, per me, non è il fatto che il problema sia qualitativo e non quantitativo: se siete convinti che la matematica sia solamente quantitativa ne avete una visione assolutamente limitata e distorta. Il guaio è che in questo problema, come del resto in tutti i problemi di fisica che non siano banali conti per applicare un principio, il povero solutore non sa quale sia la proprietà non invariante. I trenta e più commenti prima del consenso sulla soluzione erano proprio tesi a cercare quale poteva essere questa proprietà omessa nel testo ma necessaria per arrivare alla soluzione: un po' come un romanzo giallo di quelli di serie C, dove l'investigatore scopre chi è l'omicida "barando", e usando delle informazioni che non erano affatto indicate nello svolgimento della trama. (Io in genere non riesco a trovare il colpevole nemmeno nei gialli di Ellery Queen che sono esplicitamente fatti per scoprire come è stato nascosto l'indizio, ma di nuovo questo è irrilevante).
Capisco che per molta gente questo è proprio il bello della fisica: scoprire cosa applicare in quella situazione, per quanto teorica essa sia, in modo da sentire di conoscere le regole che regolano il mondo. Per me invece questo approccio non funziona per nulla: o meglio, funziona nella vita reale, dove però non sono interessato ad avere la risposta (che tanto è quarantadue, lo sappiamo tutti) ma un risultato sufficientemente passabile.
Per come vedo io la cosa - probabilmente perché sono un platonista dentro - nella matematica la situazione è completamente diversa. Io in linea di principio ho gli strumenti per risolvere un problema, ammesso sia risolubile il che come sappiamo non è detto. Poi può darsi che io non riesca a scoprire lo strumento giusto, ma gli strumenti matematici (i "teoremi"...) sono in realtà delle convenienti abbreviazioni per tutta una serie di operazioni elementari impacchettate insieme e che posso usare come una scatola nera: se le scatole sono tante magari me ne sfugge una, ma in linea di principio posso sempre mettermi a costruirla per conto mio.
Sopra ho usato il termine "invariante" non a caso: ci sono molti problemi matematici, specialmente di classificazione ma non solo, per la cui soluzione si cerca un invariante, cioè una proprietà che non cambia facendo una serie di operazioni. Il classico problema di coprire con trentun rettangoli 1x2 una scacchiera 8x8 dove sono state tolte due caselle agli angoli opposti si risolve con un invariante (il numero di caselle bianche e nere); nella teoria dei nodi sono stati proposti molti invarianti per dire se due nodi apparentemente distinti sono in realtà equivalenti, ma non c'è ancora un risultato completo. La situazione si direbbe equivalente a quella della fisica; per me non lo è affatto, perché qua mi limito a cercare delle formule che facciano da invarianti, e non parto per la tangente a fare una caccia al tesoro... pardon, alla proprietà non meglio identificata che può essere di qualsivoglia tipo.
Occhei, rileggendomi vedo che non mi sono affatto spiegato, il che non è poi così strano visto che io e la filosofia abbiamo sempre avuto dei franchi scambi di opinione. Voi ci avete capito qualcosa?

Number nine, number nine, number nine...
Scusate, ma un beatlesiano puro e duro come me non può esimersi dal citare Revolution #9 in occasione di questa nona edizione del Carnevale della Matematica, la prima a tenersi nell'anno 2009. Ah, vi serve un calendario? Giovanna ne ha preparato uno in Excel valido fino al 9999! O volete imparare a memoria il calendario? I Rudi Matematici hanno spiegato come Conway lo fa. Conway e i RM sono stati poi messi insieme in un pot-pourri di Zar che parte addirittura dal Manuale delle Giovani Marmotte... ma non è ancora davvero ora dei link, prima dovete cuccarvi il mio sproloquio introduttivo.

Che dire d'altro su questo numero? Beh, è un quadrato, il che non fa mai male nella vita; poi è un numero primo-per-gli-ingegneri (per i fisici è solo un errore sperimentale); un numero intero è sempre esprimibile come somma di nove cubi di interi (al limite usando un po' di zeri che non fanno mai male); la prova del nove dovrebbe essere nota a tutti (e sennò ripassatevela); nove è un numero palindromo in base 2, 4, e 8; il nove è anche usato in probabilità per indicare la scarsa probabilità di un evento. Quando sentite "l'affidabilità del sistema è di cinque 9" significa che sta su per il 99,999% del tempo e cioè non funziona una volta su 100mila; quella che ovviamente vi serve davvero, ma la legge di Murphy impera sempre.
Ma il nove è anche usato da un punto di vista simbolico, come indice di qualcosa di completo. Se ci pensate un attimo, ci sono nove muse; mi ostino a dire che ci sono nove pianeti (povero Plutone, pianeta per poco, poi "plutino"... peccato!); nove sono i gironi dell'Inferno e i cerchi del Paradiso danteschi; e nove sono i mesi di una gravidanza (e il numero che la Smorfia associa alla figliolanza).

Dopo questa doverosa acculturazione, passiamo a vedere quale matematica si è fatta tra gli italici blog. Un po' meno del solito, in effetti; si vede che le festività natalizie hanno permesso al più di contare i giorni del calendario dell'Avvento, aggiungere calorie alla propria dieta, e dividere il proprio tempo tra la famiglia, moltiplicando i saluti e i messaggi ma sottraendolo alla scrittura. Anche i quotidiani però hanno toppato più del solito. Chi vuole rabbrividire nel leggere i casi di "innumeracy" può vedere quello che ho raccolto nel mese; dalla densità di casellanti in Sicilia all'uso personalizzato del "più" nelle percentuali; dalla crescita a tasso logaritmico, che arriva sì all'infinito ma con moooolta calma ai metri quadri lineari che, come fatto notare da Daniele A. Gewurz, servono per progettare i depositi di Paperon de' Paperoni, quelli che contengono i "quattro ettari cubici" di denaro.

Parlando di mangiare, e considerando che a mia conoscenza non esiste un Carnevale della Fisica, segnalo il mistero dei tortellini proposto da Zar, con relativa soluzione. Più matematico, anche se sempre gastronomico, il quesito sui cocomeri disidratati, sempre da Zar.

L'angolo del lettore matematico presenta varie mie recensioni: qualche ilbro della collana RBA Italia (Giochi d'ingegno e divertimenti matematici: mah; In cerca della soluzione: pollice verso; Il labirinto: sì, se reggete la traduzione), e un vecchio classico ristampato da Dover, Taxicab Geometry. Ma naturalmente un vero lettore matematico non può che essere un metalettore, e quindi è d'uopo segnalare che i Rudi Matematici, oltre che aver fatto uscire (un po' in ritardo...) il numero 120 della Prestigiosa Rivista, hanno anche pubblicato nel loro blog la "biografia" di Charles Babbage. Annarita presenta poi l'incipit di un giallo matematico di Pier Luigi Zanata e quello di un saggio (esoterico e matematico) sul Cenacolo di Gaetano Barbella, oltre che la traduzione di un articolo sulle Dieci Eccellenze Matematiche al femminile.
A mio personale giudizio, però, il miglior saggio metamatematico è quello sulla borgesiana Biblioteca di Babele, preparato per la notte di San Silvestro da Mauro Boffardi (a proposito, Zar si chiedeva se avete contato giusto e nell'ordine giusto...)

Se vi piace giocare con i numeri, Maurizio ha parlato del problema 3n+1, uno di quei giochini che sembrano tanto semplici, si possono anche programmare al computer, ma di cui nessuno sa dare la risposta definitiva; se l'algebretta non vi spaventa troppo potete invece buttarvi sulle terne pitagoriche descritte da me (prima e seconda parte), e scoprire come le si possano descrivere tutte. Il matematico dialogico Zar (ma è stato anche filosofo laconico) presenta il problema dei soldati (prima, seconda, terza parte, più un ponte verso una futura seconda dimostrazione), che ha una soluzione assolutamente inaspettata sia nel risultato che nel tipo di attacco. Non vi tolgo il piacere di andare a vedere la dimostrazione.

Chi vuol vedere la matematica in azione può andare su Gravità Zero, dove Walter Caputo usa la statistica, e per la precisione il test chi-quadro, per valutare se il numero di morti in un ospedale era stato indipendente dalla presenza o meno di un'infermiera. La didattica è come sempre ottimamente rappresentata da Giovanna e Annarita. Giovanna ci mostra come usare GeoGebra per suddividere un segmento in n parti uguali e moltiplicare così tra loro due frazioni. Altri post di Giovanna su GeoGebra sfidano i lettori a dividere un triangolo equilatero in tre quadrilateri congruenti e mostrano la proporzionalità diretta e inversa. Annarita presenta un lavoro di alcuni suoi studenti sulle frazioni decimali non periodiche, e un suo minicorso (prima, seconda, terza e quarta parte) su come usare l'algebra per risolvere i problemi geometrici. Sempre sulla didattica, Walter Caputo fa alcune considerazioni su come si può insegnare la matematica in modo tale che venga imparata.

Giovanna ci parla poi anche della storia della matematica, riprendendo un intervento di Paolo Ardizzoni sui sistemi di numerazione (prima, seconda e terza parte). Ma anche le formule matematiche sono storia, e Giovanna ce ne mostra una di Ramanujan e la Top Ten assoluta delle equazioni.

Spero di non aver dimenticato nulla... La prossima edizione del Carnevale, il giorno di san Valentino, sarà ospitata da Zar. Inviate i contributi a lui, e ricordatevi della cosa fondamentale: qui ci si vuole divertire, non c'è nessun problema se uno non ha voglia o tempo di scrivere qualcosa. Né c'è problema se volete scrivere qualcosa ma non avete un blog: potete sempre usare il povero "matematti" che è lì a languire...

Tanto vi conosco, nelle feste avete sbafato e basta. Però entro domenica (via, facciamo lunedì 12) mi inviate i vostri contributi per il nono carnevale della Matematica?
Come potete vedere, la lista degli ospitanti si è rimpolpata, ma potete sempre aggiungervi :-)
Aggiornamento: (io le cose me le dimentico sempre...) Mi sapete consigliare qualche software freeware per fare disegnini su carta quadrettata? C.a.R. fa fare costruzioni e permette di creare un foglio quadrettato, ma per quello che mi serve non va bene.

Dove eravamo rimasti con le nostre terne pitagoriche? Ah sì: dimostrare che in ogni "triangolo pitagorico", rettangolo con i tre lati di lunghezza pari a un numero intero, c'è un cateto multiplo di tre, un cateto (non necessariamente distinto dal primo) multiplo di 4, e un lato (cateto o ipotenusa) multiplo di 5. Vediamo come fare, in modo diverso da quanto fatto da Giovanna nei commenti al post precedente: anche in questo caso consideriamo (in genere) le terne pitagoriche base, dove i tre numeri non hanno alcun fattor comune.

Iniziamo con il caso del multiplo di 3. L'idea è considerare le lunghezze dei lati modulo 3, cioè i resti che si ottengono dividendo per tre le varie lunghezze. I resti possibili sono 0, 1 e 2; e i quadrati dei resti sono 0, 1 e 1. (2*2=4, e il resto della divisione 4/3 è 1). Ma allora se né il cateto a né il cateto b fossero multipli di 3 allora il quadrato dell'ipotenusa modulo 3 varrebbe 1+1=2, il che è assurdo. Quindi almeno un cateto è multiplo di 3. Come corollario, si vede che se entrambi i cateti sono multipli di 3 anche l'ipotenusa lo è e la terna non è base; questo è l'unico caso in cui l'ipotenusa è multiplo di 3.

Il caso del multiplo di 5 si dimostra sfruttando la stessa idea: stavolta si prendono le lunghezze dei lati modulo 5. Quando tali lunghezze sono rispettivamente 0,1,2,3 e 4 i loro quadrati sono 0,1,4 (che possiamo leggere come -1), 4 (di nuovo, -1) e 1. Gli unici modi in cui si possono combinare tre di questi valori in modo che la somma dei primi due (sempre modulo 5) sia il terzo sono 0+0=0, 0+1=1, 0+(-1)=-1, 1+(-1)=0. Nel primo caso non abbiamo una terna pitagorica base, ma comunque tutti e tre i valori sono multipli di 5; nel secondo e nel terzo abbiamo un cateto multiplo di 5; nell'ultimo caso ad essere multipla di 5 è l'ipotenusa.

Per il caso del multiplo di 4 dobbiamo tirare fuori dal cilindro - inteso come cappello - un coniglio di tipo diverso. Ricordate le formule per ricavare le terne pitagoriche base a partire da due numeri dispri coprimi m e n? Il cateto di lunghezza pari era dato dall'espressione b = (m² - n²)/2. Ora, m e n sono dispari, e quindi della forma 4k+1 oppure 4k+3. Nel primo caso, m² = 8(2k²+k)+1; nel secondo, m² = 8(2k³+k)+9. Entrambi i numeri sono uguali a 1 modulo 8: quindi per ogni scelta di m e n la loro differenza è multipla di 8, e la metà della differenza, cioè il nostro cateto b, sarà un multiplo di 4, come volevasi dimostrare.

Che dire? Le dimostrazioni richiedono conoscenze di aritmetica modulare che in genere non si fanno a scuola, ma non sono di per sé complicate: nei casi di 3 e 5 probabilmente non serve nemmeno una grande fantasia per riuscire a scoprire la strada giusta, mentre nel caso del 4 magari c'è bisogno di una spintarella per sapere quale strada prendere. Detto questo, io di didattica non ne so molto: ma mi chiedo se una ragazza delle medie, seguita e aiutata dalla sua professoressa, può arrivare non dico a dimostrare ma almeno a seguire il procedimento (Giovanna?) e se uno studente delle superiori ce la potrebbe fare da solo, sia pure con qualche aiutino di base (Zar?). Sono però certo che problemi come questo ce li avrebbero potuti dare dopo il primo mese di lezione all'università.

Non so se a voi sia mai capitata la stessa cosa, ma il pensiero che se costruiamo un triangolo di lati 3, 4 e 5 unità tale triangolo è rettangolo è sempre sembrato qualcosa di magico. Nulla farebbe immaginare a priori una relazione così semplice, e si può perfettamente capire come per più di due millenni si sia stati convinti che la geometria euclidea fosse quella "vera", visto che dava un risultato così bello e semplice. (Nelle geometrie di Lobacevskij e Riemann le cose non sono così semplici, perché c'è sempre un fattore correttivo... ma questa è un'altra storia). Il teorema di Pitagora è stato dimostrato in centinaia di modi diversi, persino da un futuro presidente degli Stati Uniti d'America: Garfield, che però fu assassinato pochi mesi dopo l'elezione il che potrebbe dare ragione a chi pensa che la matematica faccia male. Il triangolo di lati 3, 4 e 5 era però già noto agli egizi, e forse è il primo esempio pratico di geometria noto all'umanità.

Quasi la stessa magia, almeno per me, è stato scoprire che ce n'erano infiniti, di triangoli rettangoli con i lati interi: a parte quelli ovvi di lati multipli della terna (3,4,5) ci sono ad esempio quelli definiti da (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). La cosa è abbastanza inverosimile, se si pensa che l'ultimo teorema di Fermat afferma che con i cubi o le potenze di ordine maggiore non si riesce mai ad avere una cosa del genere, a meno di scrivere 0ⁿ + 1ⁿ = 1ⁿ. Da buon matematico, a questo punto, la prima domanda che mi faccio è "Ma c'è una formula per ricavare tutte le terne pitagoriche, come vengono detti i numeri che formano i lati di un triangolo rettangolo?" Per le prime tre terne è abbastanza facile ricavare una formula generale che le rappresenti: il cateto più corto è un numero dispari, diciamo 2n+1; il cateto più lungo è n(2n+1)+n; l'ipotenusa è uno in più del cateto piu lungo. Ma il quarto triangolo è fuori da questo schema, e ci vuole una formula diversa; e chissà quanti altri triangoli "sostanzialmente diversi" ci sono!

A dire il vero, esiste una formula che permette di ottenere tutte le terne pitagoriche, e tale formula è nota da secoli, e sapevo dell'esistenza di tale formula. Quello che non sapevo è che per ricavarla non occorre affatto chissà quale abilità matematica; se uno sa qual è il trucco giusto, ci arriva con le conoscenze della terza media. Rubo così la dimostrazione da Algebra ricreativa di Yakov Perelman (libro che consiglio, tra l'altro), sperando che vi possa interessare.

Iniziamo a dire che a noi interessa trovare le terne pitagoriche "base", cioè di numeri senza alcun fattor comune: a partire da quelle non ci sono problemi a moltiplicare i tre valori per un qualsiasi intero e ottenerne un'altra. Questo significa che se (a,b,c) è la nostra terna, dove a e b sono i cateti e c l'ipotenusa, allora possiamo assumere che i tre numeri non sono tutti pari. Limitandoci ad a e b, non possono essere entrambi pari, visto che in questo caso lo sarebbe anche c; ma non possono nemmeno essere entrambi dispari. Se infatti a=2h+1 e b=2k+1, allora c² = a²+b² = 4(h² + k² + hk) + 2. Peccato che questo valore non sia multiplo di 4, mentre il quadrato di un numero pari lo è. Insomma, in una terna pitagorica base ipotenusa e un cateto sono dispari, mentre l'altro cateto è pari: per fissare le idee, supponiamo che quest'ultimo cateto sia b.

Adesso arriva il colpo di genio. Invece che scrivere a² + b² = c², scriviamo a² = c² - b² = (c+b)(c-b). I due numeri c+b e c-b sono necessariamente primi tra loro! Se infatti avessero un fattore comune k, questo sarebbe un fattore comune alla loro somma 2c, alla loro differenza 2b e al loro prodotto a². Però k non può essere multiplo di 2 (ricordo che a è dispari) e non può essere nessun altro valore, perché altrimenti potremmo dividere a, b e c per k contro l'ipotesi di avere una terna pitagorica base.

Ma se (c+b)(c-b) è un quadrato e (c+b) e (c-b) sono dispari e primi tra loro, devono essere entrambi dei quadrati di numeri dispari. Diciamo che (c+b)=m² e (c-b)=n². Risolvendo per b, c ed a otteniamo

a = mn
b = (m² - n²)/2
c = (m² + n²)/2

Fine del nostro lavoro. Ciascuna terna così ottenuta è pitagorica; e scegliendo a nostro piacere i valori di m ed n (purché entrambi dispari, primi tra loro e con m>n) possiamo ottenere tutte le terne pitagoriche base. Per la cronaca, la mia formula iniziale si ottiene da quella generica quando n=1.

Un'ultima cosa. Dopo questa bella dimostrazione, Perelman afferma - senza provarlo - che nelle terne pitagoriche c'è sempre un cateto multiplo di 3, uno multiplo di 4, e un lato (cateto o ipotenusa) multiplo di 5. Le dimostrazioni non sono difficili: almeno io le ho fatte a mente mentre sollevavo pesi in palestra, il che la dice lunga su quanto mi alleni con scrupolo e coscienza. Se qualcuno di voi vuole cimentarsi per conto proprio, ha una settimana di tempo prima che posti le dimostrazioni relative: non rovini però la vita agli altri scrivendo la soluzione, ma al limite metta un aiutino. Posso solo dire che anche in questo caso le conoscenze necessarie non superano quelle della scuola media, e che un liceale dovrebbe farcela a trovarle. Buon divertimento :-)

Annunciaziò annunciaziò: essendo arrivato il 14 del mese, gli appassionati di matematica devono fiondarsi da Ricciele e scoprire di cosa si è parlato questo mese. Per gennaio, restate pure qua: per il futuro, le iscrizioni sono sempre aperte.

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)

Una persona è razionale quando ragiona, e irrazionale quando fa cose incomprensibili - almeno per noi, visto che è sempre più facile dire che è l'altro a "fare le cose strane". Uno potrebbe immaginare che tutto questo non c'entri nulla con i numeri razionali, e che questi derivino invece dalla parola "frazione": in fin dei conti a scuola ci hanno insegnato che i numeri razionali sono tutti e soli quelli che si possono scrivere sotto forma di frazione, e le due parole sono chiaramente simili... E invece no!

La storia in questo caso è in effetti un po' strana. La parola latina ratio aveva infatti il doppio significato di "ragione" (da cui "raziocinio", ad esempio) e "rapporto". In effetti, per i greci antichi un numero è razionale quando "si comporta bene", nel senso che può essere espresso come rapporto tra due quantità. Col tramutarsi del latino in italiano, i matematici hanno mantenuto il secondo significato della parola, mentre la nella lingua comune c'è stato uno spostamento di significato ma anche di suono. il gruppo tio, che nel tardo latino si pronunciava già zio, è infatti diventato gio. A questo punto però i filosofi si sono un po' arrabbiati, perché non potevano più usare la parola che si era per così dire imbastardita; dire "l'uomo è un animale ragionevole" poteva infatti dare l'idea di persone che capissero quando non valeva la pena continuare a discutere. Così sono tornati a prendere il termine più vicino al latino... cioè quello che i matematici hanno sempre usato. Una rivincita, anche se a dire il vero la prima occorrenza della parola in matematica si ha col Tartaglia, quindi a metà del Cinquecento. Ma è solo perché i filosofi scrivono di più e non buttano mai via nulla!

Ricordo a tutti che domenica prossima è il 14 del mese, e da Matematica 2005 troverete la prossima edizione del Carnevale della Matematica. Mandate entro venerdì i vostri contributi a ehypatia[at]gmail.com.
Ciò detto, ricordo a tutti che non c'è ancora nessuno che si è offerto per ospitare le prossime edizioni del Carnevale (forse Marcello ha chiesto febbraio...) Mi state dicendo che la spinta propulsiva si è esaurita? Inutile dire che anche se ne avete già ospitato uno potete comunque rimettervi in lista!

Da God Plays Dice ho trovato un link a un giochino facile facile scritto in flash: Shinju. Scopo del gioco è trovare in quattro mosse al massimo quale delle ostriche presenti nel reticolo nasconde una perla. Quando si clicca su un'ostrica, i casi sono due: o c'è una perla - e allora si passa al livello successivo - oppure compare un numero che indica la distanza di Chebyshev tra la posizione scelta e la perla. Scritto così può spaventarvi, ma non è difficile: è il numero di passi che occorre a un re degli scacchi per spostarsi da una casella all'altra. Se siete un po' più matematici, potete pensarla come il massimo tra la distanza in unità orizzontali e quella in unità verticali; se siete parecchio matematici, è quella data dalla norma L_∞.
La parte matematica del tutto consiste nel dimostrare che è sempre possibile trovare la perla in quattro tentativi. È vero che così si perde il piacere di giocare al giochino, ma tanto dopo qualche schema ci si scoccerebbe comunque, e almeno si dovrebbe avere il piacere di mettersi alla prova con una dimostrazione. Confesso che non mi sono messo a trovare la dimostrazione nel caso pratico del gioco, ma al momento mi sono limitato al caso più semplice in cui sia possibile cliccare su una qualunque casella, anche se non ci sono perle. Volete provarci anche voi? E cosa succede se invece che la norma L_∞ abbiamo la norma L₁, cioè calcoliamo la somma delle distanze orizzontali e verticali? Anche in questo caso si è sicuri di risolvere il gioco in quattro mosse al più? Buona dimostrazione: se proprio non ce la fa nessuno, posterò qualche aiutino. Un'unica avvertenza: se volete postare una soluzione, scrivete SPOILER in maiuscolo all'inizio del commento!

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Questa volta sono arrivato a un punto morto (nessun gioco di parole implicato). In effetti, la parola "radice" ha sicuramente una sua orogine latina: radix, -icis che sembra derivare dallo stesso ceppo di "ramo" ed è subito entrato nell'italiano, già a metà del XIII secolo.
Ma anche il significato di "radice" imparato a scuola, quello insomma di "radice quadrata, cubica" cioè del numero che elevato al quadrato o al cubo dà il numero iniziale, ha più di sette secoli di vita nella lingua italiana. La prima citazione attestata in italiano è infatti «Lo numero del tre è la radice del nove, però che sanza numero altro alcuno, per se medesimo fa nove, sì come vedemo manifestamente che tre via tre fa nove» ed è tratta nientemeno che dalla Vita Nuova di Dante!
A questo punto immagino che il significato matematico arrivi attraverso il senso figurato di "origine"; pensando come i greci antichi, dove il quadrato e il cubo di un numero erano delle entità fisiche vere e proprie, il segmento che le generava era in effetti la loro origine, quindi la loro radice. Sarebbe interessante sapere se già in greco o in latino esistesse il termine.
Nei secoli, poi, i matematici come al solito hanno iniziato a usare la parola a loro piacimento: è abbastanza moderno il parlare di radice numerica per indicare il numero ottenuto sommando le cifre di quello dato e ripetendo l'operazione finché non si ottiene una singola cifra, mentre è del '700 l'introduzione del termine radicale, che non c'entra con Pannella ma riguarda le soluzioni delle equazioni usando solamente le quattro operazioni e l'estrazione di radice n-sima.

Non so se avete presente le frittelle che gli americani si mangiano a colazione (i pancakes, per la precisione): quelle robe più o meno spesse e tonde che già non sono dietetiche di loro ma poi vengono completate con generose dosi di sciroppo d'acero. Qua però le frittelle le uso solo come spunto per un problema matematico. Supponiamo di avere un certo insieme di frittelle, tutte di dimensioni diverse, e volerle mettere in ordine di diametro, con la più piccola in alto e la più grande in fondo. L'unica operazione che ci è concessa fare, però, è prendere una spatola, infilarla in un punto qualsiasi della pila di frittelle, sollevarne alcune e lanciarle in aria, riprendendole rovesciate. Detto in maniera meno cuciniera, se abbiamo la stringa abcdefghijk possiamo scegliere un punto qualunque (ad esempio, e) e rovesciare la sottostringa che termina lì, ottenendo così edcbafghijk. Al crescere del numero n di frittelle, come varia il numero minimo P(n), il pancake number, di operazioni da fare nel caso peggiore?

Con una sola frittella non occorre fare nulla, quindi P(1)=0. Con due frittelle, i casi sono due: o sono già in ordine oppure basta rovesciarle entrambe in un colpo, quindi P(2)=1. Con tre frittelle la cosa si inizia a fare un po' complicata: però si può vedere che partendo dalla disposizione 132, entrambe le mosse iniziali possibili (girare le prime due frittelle arrivando alla disposizione 312, oppure girarle tutte arrivando a 231) richiedono altre due operazioni: insomma, P(3)=3. Al crescere delle frittelle, la cosa diventa molto complicata: è abbastanza semplice vedere che aggiungendo una frittella il numero minimo di operazioni cresce almeno di 1 (aiutino: se la configurazione peggiore nel caso di n-1 frittelle è C, immaginate la configurazione nC', dove C' è la configurazione ottenuta invertendo C), è abbastanza semplice vedere che P(n) ≤ 2n-3 (aiutino: va' a leggere la pagina relativa di Wikipedia, da cui tra l'altro ho preso il disegno). Che una formula non sia così semplice da trovare, lo si può notare anche guardando la tabella dei valori di P(n) per n che va da 1 a 13:

e i valori computati negli ultimi anni da un gruppo di informatici giapponesi usando cluster di computer:

Se non si sa andare più avanti di così, significa che c'è davvero qualcosa di complicato. E in effetti, i limiti teorici trovati nel 1975 e pubblicati nel 1979 - che 5(n+1)/3 inversioni sono sempre sufficienti, e nel caso peggiore ne servono almeno 17n/16 - sono rimasti imbattuti fino al 1997, quando Mohammad H. Heydari e I. Hal Sudborough alzarono il limite inferiore a 15n/14, e a quest'ultimo settembre, dove Sudborough e un gruppo di suoi studenti ha abbassato il limite inferiore a (18/11)n.

Che c'entra tutto questo con Bill Gates, mi staranno chiedendo i pochi pazzi che sono arrivati fin qua? Semplice. L'articolo del 1979, Bounds for Sorting by Prefix Reversal, è stato scritto da nientemeno che William Henry Gates III, insieme al suo allora professore Christos Papadimitriou. Un lato inaspettato del multimiliardario, insomma!

Bibliografia:
♦ http://it.wikipedia.org/wiki/Ordinamento_delle_frittelle
♦ http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_10_9_08.html
♦ http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=92236781

Ricordo ai miei affezionati lettori che qui non si parla solo di Silvio B., ma ad esempio anche di matematica.
Questa volta, per la precisione, parlo di metamate, e vi ricordo che tra sei giorni (venerdì 14 novembre) ci sarà la settima edizione del Carnevale della Matematica, ospitato sul blog di Marcello Seri. Invito quindi a scrivergli, a proposteblog - chiocciola - gmail - punto - com, raccontandogli di quale matematica avete parlato... oppure potete cogliere l'occasione per scriverne adesso!

La media aritmetica, di cui ho già parlato in passato, sembra in fin dei conti una cosa piuttosto tranquilla. Sì, è vero che non è sempre proprio il numero migliore per rappresentare schematicamente e con poca spesa un insieme di elementi: una famiglia con 1,6 figli, ad esempio, non la vediamo certo in giro. Però possiamo immaginare che la media aritmetica sia per così dire un numero "stabile", visto che in un certo qual modo tempera gli eccessi dei singoli elementi. Ma non sempre è così! Eccovi tre paradossi, che vanno contro quello che ci aspetteremmo da una funzione per così dire civile.

1. Non è detto che si possa sempre trovare una velocità media
Sappiamo che calcolare la velocità istantanea a cui ci stiamo muovendo non è in realtà possibile, visto che per trovarla dobbiamo dividere lo spazio percorso per il tempo impiegato, e otterremmo un'espressione 0/0. Insomma, Newton e Leibniz, quando hanno inventato il calcolo differenziale, hanno ben avuto dei problemi, no? Quello che facciamo in pratica è calcolare la distanza percorsa in un'intervallo di tempo molto piccolo, calcolare la velocità media in quell'intervallo, e sperare che intanto la velocità sia rimasta costante. Ma anche se la velocità cambia nel tempo, possiamo immaginare che, se ad esempio la velocità media durante un percorso è di 100 Km/h, possiamo trovare un intervallo di un'ora - anche se a priori non si sa a che istante farlo iniziare - in cui si siano percorsi esattamente 100 chilometri. Ovvio, no? Basta fare un grafico spazio-tempo, costruire una finestrella equivalente a un'ora, e spostarla man mano. Scommetto che ci deve anche essere un teorema che si studia in analisi matematica!
Peccato che non sia per nulla vero. Supponiamo di fare un percorso di 250 km in due ore e mezzo, quindi a una media di cento all'ora, alla velocità indicata nella figura qui a fianco: nella prima, terza e quinta mezz'ora andiamo a 92 Km/h, e nella seconda e quarta a 112 Km/h. Prendiamo adesso un qualunque istante iniziale; nell'ora successiva avremo fatto esattamente trenta minuti alla velocità maggiore e gli altri 30 a quella minore, percorrendo dunque 102 chilometri. Ma avremmo potuto anche fare diversamente: se i vari tratti fossero stati percorsi rispettivamente a 88 e 108 Km/h, in un qualunque tratto di un'ora la distanza totale percorsa è di 98 chilometri. D'accordo, gli esempi numerici che ho fatto sono impossibili da ottenersi in pratica, ma non è difficile modificarli per ottenere lo stesso risultato con una tabella di marcia verosimile: non l'ho fatto perché non vale la pena di complicare i conti da fare.
Dov'è il trucco? Il trucco è che non c'è nessun trucco! Se avessi scelto come unità di misura un sottomultiplo esatto del tempo totale percorso (nel nostro caso mezz'ora, oppure 50 minuti) il ragionamento fatto sopra sarebbe stato corretto. Se dividiamo esattamente il percorso in tante parti, o tutte le parti hanno la stessa velocità media oppure ci sono due parti vicine, una con velocità media inferiore e una superiore alla media globale, e in questo caso il ragionamento ella finestrella funziona. Nel nostro caso non possiamo dividere il percorso in questo modo, quindi il ragionamento non regge.

2. Anche se due medie parziali crescono, la media delle medie decresce

Uno potrebbe immaginare che la media di due medie sia in un certo senso coerente: se le medie parziali crescono nel tempo, anche quella globale deve crescere. Peccato che nemmeno in questo caso l'affermazione sia vera! In letteratura, il fatto è noto come Paradosso di Simpson: la pagina su wikipedia fa un esempio numerico del paradosso, esempio che riprendo qua. Supponiamo di avere questa ipotetica situazione:

3. Se A è in media meglio di B, e B è meglio di C, C può essere in media meglio di A
D'accordo: non si può nemmeno fare la media delle medie. Però almeno la media una proprietà transitiva ce l'avrà bene, no? Insomma, se in media la scelta A è preferibile a B e la B a C, è ovvio che A è preferibile a C, no? Beh, non proprio. Supponiamo di avere i seguenti quattro dadi qui a fianco. Lanciamo ora i dadi A e B. In media B darà il risultato maggiore in quattro casi su sei: quando esce 5 (tre volte su sei) e quando esce 1 ma con A esce 0 (3/6 * 2/6, cioè una volta su sei). Se lanciamo i dadi B e C, in media C darà il risultato maggiore in quattro casi su sei: quando esce 6 (due volte su sei) e quando esce 2 ma con B esce 1 (4/6 * 3/6, cioè due volte su sei). Se lanciamo i dadi C e D, il conto è ancora più facile; C vince se e solo se esce 6, quindi in due casi su sei, e pertanto D vincerà in media in quattro casi su sei.

Ricapitoliamo: B supera A in media 4 volte su 6; C supera B in media 4 volte su 6; D supera C in media 4 volte su 6. Prendiamo ora A e D; è immediato che A vince se e solo se esce 4, quindi 4 volte su sei. Oops... non era D che avrebbe dovuto vincere quattro volte su sei? Ecco, appunto. Ve l'avevo detto di stare attenti. Ancora una volta non c'è nessun paradosso, in realtà: semplicemente, quando si hanno più di due scelte possibili le preferenze non sono transitive. Per la cronaca, ci si può anche limitare a tre soli dadi, mettendoci su i valori (3 3 5 5 7 7), (2 2 4 4 9 9), (1 1 6 6 8 8). In questo caso, però, i conti da fare sono un po' più complicati, e quindi ho preferito un esempio non minimale ma più semplice da vedersi. Un suggerimento: provate a costruire i quattro dadi, e invitare qualche amico a fare una partitina, lasciandogli graziosamente scegliere ogni volta per primo quale dado lanciare...
(Il tutto è stato ispirato dall'articolo di Philippe Boulanger Il n'y a pas moyen de moyenner!, Jeux Math, Dossier Pour La Science, Avr-Jui 2008)

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)

La parola "ordine" è onnipresente nella lingua italiana: la possiamo trovare in politica, con gli "uomini d'ordine", l'"ordine pubblico"; tra le casalinghe, che vogliono avere "la casa in ordine"; nei teatri, che si tengono gli ordini di poltrone; in botanica e zoologia per definire un essere vivente, e in architettura per indicare il tipo di colonne. Riesce persino a mettere d'accordo fanti e santi, rispettivamente con l'ordine cui ubbidire e l'ordine religioso cui appartenere, o con gli ordini che un prete prende. Insomma, una parola davvero per tutti gli usi. Eppure non se ne conosce l'origine. Sì, deriva dal latino ordo, ordinis, e fin qua ci si arriva. Ma la parola latina è di incerta origine: il DELI pensa derivi da un termine tecnico per indicare i fili dell'ordito, che poi è passato a "fila", "posizione nella fila", "posizione nella battaglia", "comando". Si vede che già i latini la usavano molto. Per etimo.it, invece, la radice or- è la stessa di "iniziare" (origine, oriente...), e quindi starebbe per "modo di procedere". Vabbè. In ogni caso è chiaro che sono stati i matematici a rubare la voce al linguaggio comune, visto che il significato di "disposizione armonica" è attestato addirittura prima del Trecento e quello di "ordine religioso" si trova nel Boccaccio.

In matematica si usa direttamente la parola "ordine" in vari contesti. L'ordine di un gruppo è il numero di elementi del gruppo stesso; una relazione d'ordine, parziale o totale, è quella dove dati due elementi di un insieme puoi generalmente dire se uno è "prima" o "dopo" l'altro, e quindi metterli in ordine (magari non completo, se la relazione è parziale); la logica del primo ordine è quella ad esempio dei sillogismi, dove "se ogni uomo è mortale, e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale". Ma tutti questi sono esempi dalla seconda metà dell'Ottocento in poi. Più interessante vedere che già intorno al 1750 venivano usati dei derivati del termine. Abbiamo infatti l'ordinata, che è la sorella dell'ascissa, quindi l'asse verticale quando facciamo il grafico cartesiano; e soprattutto l'ordinale, che è "il numero che indica la posizione di un elemento in un insieme ben ordinato"; il numerino romano dopo il nome dei re e dei papi nel linguaggio comune, e uno dei due modi di contare i numeri interi assieme ai cardinali. I modi sono due perché appunto negli ordinali li si mette tutti in ordine, mentre nei cardinali si fa il mucchio e ci si accontenta che siano distinti. Non è un problema di pignoleria, perché non appena si arriva agli insiemi infiniti si scopre che infiniti numeri ordinali corrispondono allo stesso numero cardinale. Ah, sì: a proposito di numeri infiniti, un'altra frase moderna è il buon ordinamento, dove si riesce a mettere un insieme in ordine in modo che ogni suo sottinsieme abbia un elemento "primo della fila". Teoricamente va benissimo, in pratica nessuno è mai riuscito a trovare un buon ordinamento dei numeri reali tra 0 e 1, il che fa capire che non dev'essere un concetto così banale.

Abbiamo insomma una parola davvero versatile, non solo nella lingua comune ma anche in quella dei matematici! E dulcis in fundo, una chicca straniera. In francese il calcolatore (che per me dovrebbe essere un elaboratore, ma tant'è) si dice ordinateur. È sempre il nostro ordine! Ehm... non quello ufficiale, visto che la persona che mette in ordine sarebbe al più un ordonnateur: al limite ordinateur potrebbe essere stato un vescovo. Ma non sottilizziamo.

I miei lettori che masticano di matematica (gli altri mi sa che non sono nemmeno arrivati a leggere questa riga), quando si dice loro "i ventitré problemi", pensano subito a David Hilbert e alla sua lista di problemi presentata al Congresso Internazionale dei Matematici del 1900. Forse non tutti sanno che a dire il vero Hilbert non riuscì a presentare tutti i problemi durante il suo intervento, perché gli finì il tempo a disposizione. Si sa, questi accademici... Ad ogni modo, questi problemi sono stati molto importanti per lo sviluppo della matematica nel ventesimo secolo, sia quando sono stati risolti (positivamente o negativamente) sia nel caso in cui abbiano resistito a tutti gli assalti; i Clay Problems, in confronto, sono molto meno interessanti, o forse troppo pochi (sono solo sette, anche se è vero che danno un milione di dollari a chi ne risolve uno).
In questi giorni, però, il DARPA ha deciso di proporre una nuova serie di problemi, sotto il nome di "Mathematical Challenges", con lo scopo di "dramatically revolutionizing mathematics and thereby strengthening DoD's scientific and technological capabilities." (il DoD è il Department of Defence statunitense, lo dico per i pacifisti che passano di qua). Potete leggere i problemi su Network World, e vedere che effettivamente sono ventitré: non ho ben capito come verrebbero assegnati dei fondi al loro riguardo, ma da quel sito potete passare al documento ufficiale. Se non ricordo male, se ne parlava già l'anno scorso, e magari ne ho anche parlato anch'io, ma adesso a quanto pare le domande sono state formalizzate. La cosa che dovrebbe saltare all'occhio di tutti è che ci sono pochissime domande di matematica pura, ma poche anche di matematica applicata alla fisica, a differenza di quanto accadeva nei secoli passati. I campi più interessanti sembrano l'informatica, e fin qua non c'è nulla di strano, e la biologia. L'altra cosa che ho notato è che ho difficoltà a comprendere parecchie delle domande, altro che trovare delle risposte!

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)

Per un matematico, la parola grado fa venire in mente la misura di un angolo (occhei, un Vero Matematico li misura in radianti - e anche questa sarebbe una bella parola matematica - ma anche noi sappiamo adattarci al resto del mondo) oppure la temperatura. Una persona qualunque invece pensa ai gradi dell'esercito o del vino; e magari usa la locuzione "in massimo grado". Stavolta la parola ha sempre lo stesso significato, ma ha dovuto fare una lunga marcia per arrivare al significato odierno!
In effetti, grado deriva dal latino gradus, -us, un nome della quarta declinazione, ricavato dalla stessa radice del verbo deponente gradi, "avanzare, camminare". Il gradus latino era inizialmente il passo, e poi lo scalino, quello che noi chiamiamo ora "gradino". (Il "gradasso" non c'entra, invece: Gradasso è il nome di un guerriero saraceno). Ma già i latini avevano traslato il significato di gradus per indicare il risultato della suddivisione del cerchio: lo troviamo persino nella Bibbia! (Is 38,8). Non c'è così voluto molto per mantenere tale significato. A questo punto il suddividere qualcos'altro era solo questione di tempo, e Francesco Redi parla di gradi di temperatura nel 1660. Sulla gradazione alcolica non ho informazioni precise, mi spiace.
La morale di tutto questo? Spesso è difficile accorgersi che una parola è usata allo stesso modo in ambiti diversi, ma solo perché non ci si pensa su! Occorre però riconoscere che altre volte non è così: il gradiente, che misura la variazione di una quantità rispetto a una direzione, deriva sempre da grado ma è irriconoscibile...

Termino la "trilogia delle uguaglianze", iniziata con la dimostrazione che 0,999999... è uguale a 1 e continuata con la dimostrazione che magari i due numeri non sono proprio uguali, con un terzo esempio. Chi salta a piè pari la mia roba matematica stavolta può fare uno sforzo e andare avanti: garantisco che di conti e formule stavolta non ce ne sono.
Sono certo che per la maggior parte di voi chiedersi se 1,00 è uguale a 1 è quasi un'eresia. Già alle elementari ci è stato spiegato che gli zeri a destra dopo la virgola sono asolutamente inutili se non sono seguiti da un'altra cifra, e quindi si possono togliere senza problemi. Tranquilli: vi assicuro che un matematico vi dà perfettamente ragione, e non credo proprio esistano teorie che prevedano che 1,00 abbia un valore diverso da 1. In fin dei conti, qui non ci sono paradossi con l'infinito, e quindi le operazioni funzionano regolarmente come siamo abituati, senza nulla di preoccupante. Ma il mondo non è fatto solo da matematici!

Iniziamo con i fisici, gli acerrimi nemici dei matematici. Per loro dire 1 oppure 1,00 sono due cose ben diverse: il tutto ha origine dal fatto che loro non pensano ai numeri come entità pure, ma come il risultato di una misura. Quando un matematico parla di pi greco, per lui quello è un numero ben preciso: potrà magari approssimarlo se mai gli toccherà di dover ricavare un numero da un'espressione algebrica, ma il numero resta appunto un numero. Quando un fisico dice che la luce nel vuoto viaggia a 300000 Km/sec, quel dato non è un numero ma una misura, che è inevitabilmente un'approssimazione: il fisico ovviamente lo sa, e non si preoccupa più di tanto... a meno che sia uno che cerchi di rendere la misura ancora più precisa. Al momento, ad esempio, si afferma che la luce nel vuoto percorre 299792,458 Km/sec; ma nella migliore delle ipotesi possiamo dire che sono più di 299792,457 e meno di 299792,459 Km/sec, e nessuno pensa che in un secondo la luce percorra un numero esatto di metri.
Il modo più completo per indicare quanto ci si possa fidare di una misura è infatti quello di aggiungere al valore della misura l'errore (statistico) che ci si aspetta aver fatto: si può ad esempio affermare che una costante di natura valga 2,573 più o meno 0,0022. Ma c'è un secondo modo, che consiste nell'indicare solo il numero di cifre di cui si è certi. Nel caso fittizio qui sopra, si scrive 2,57 e si suppone che il lettore sappia non solo che non è un valore perfetto ma approssimate, come 3,14 per pi greco; ma anche che si è certi di quelle tre cifre ma non delle successive. In questo caso, scrivere 1,00 è molto diverso che scrivere 1. Infatti nel primo caso possiamo immaginare il valore compreso tra 0,995 e 1,005, mentre nel secondo lo dobbiamo immaginare tra 0,5 e 1,5. È un po' come dire "proprio lì" invece che "da quelle parti": si indica sempre lo stesso punto, ma si intendono cose ben diverse.
Per chi non è ancora convinto della cosa - e sono sicuro che parecchi dei miei lettori sono tra questi - faccio ancora un esempio. Se dico che il giocatore di basket X è alto due metri, voi siete convinti che è alto esattamente come il giocatore Y, indicato nell'annuario come alto 2,00 metri? Probabilmente no, penserete solo che è più o meno della stessa altezza; ma se avessi detto che è "due metri e zero zero" allora sì che X e Y sono alti uguali.

Ma c'è ancora un'altra scienza in cui l'eguaglianza può non valere, ed è l'informatica. In effetti, 1,00 è con ogni probabilità uguale a 1, ma ad esempio 0,100 non è esattamente 1/10; ma nemmeno 0,1 lo è. Il motivo qui è diverso, e dipende dalla rappresentazione dei numeri all'interno di un calcolatore. Lo spazio per conservare il valore di un numero è limitato: quattro, otto o al limite 16 byte, se non si usano codifiche speciali. Per i numeri interi non troppo grandi, tali codifiche vanno più che bene; ma per i numeri "reali" bisogna usare un'approssimazione. La fregatura è che i calcolatori operano in base 2, e quindi i numeri "tondi" per noi non lo sono affatto per un PC. Per esempio, 0,1 in base 2 si scrive 0,0(0011), dove la parte tra parentesi si ripete all'infinito; quindi il numero memorizzato sarà leggermente diverso.
Noi non ce ne accorgiamo, perché quello che viene mostrato è un numero arrotondato proprio per evitare di trovarci con una sfilza di cifre nella maggior parte dei casi inutili, ma è così... a meno che non si applichi la notazione a virgola fissa, che però usa degli interi e li divide per un'opportuna potenza di dieci quando li mostra. Un software che deve fare i conti in euro probabilmente usa una virgola fissa in seconda posizione, il che significa che i conti li fa in centesimi. Tanto i numeri grandi non lo spaventano mica!

La morale di tutto questo? La teoria è una bella cosa, ma la pratica non sempre è d'accordo con essa. Quando si parla di un numero, bisogna sempre capire a cosa si riferisce esattamente, prima di snocciolare le sue proprietà!

Aggiornamento: (17:25) come fattomi notare nei commenti, la velocità della luce nel vuoto è esattamente 299792458 metri al secondo, per l'ottima ragione che il metro è definito proprio per mezzo della velocità della luce nel vuoto. Prendete allora come esempio il peso di un protone in termini di masse atomiche. In genere viene considerato pari a 1; il valore più accurato a oggi è 1,007 276 466 88, ma non è che quello sia il valore esatto!

Al giorno d'oggi i logaritmi sono uno di quegli enti matematici che sembrano nati apposta per spaventare gli studenti, che si chiedono a che diavolo servano quei numeri astrusi. Dire che doverbbero essere ancora felici che una qualunque calcolatrice tascabile da dieci euro ti permette di trovare il logaritmo di un numero schiacciando un tasto, senza dover compulsare le tavole logaritmiche (io ne avevo una: non era così difficile usarla, ma assicuro che era una palla). In effetti i logaritmi, come i regoli calcolatori, erano importanti quando non si avevano a disposizione calcolatrici e computer, ed era necessario fare dei conti complicati: se ci si accontentava di un risultato approssimato lo si poteva ottenere piuttosto facilmente, al costo di leggere un po' di numeri sulle tavole.

Prima o poi dovrò scrivere qualcosa sui logaritmi: per il momento, se proprio non ne sapete nulla, tenete conto che le formule di base sono queste:
log(a*b) = log(a)+log(b)
log(a^b) = b*log(a)
In pratica il logaritmo "abbassa di complessità" le operazioni, trasformando il prodotto in una somma e l'elevazione a potenza in un prodotto. Per calcolare ad esempio 3259*3425, posso insomma prendere i logaritmi dei due numeri, sommarli, e cercare l'antilogaritmo della somma per ottenere (un'approssimazione del) risultato.

Storicamente i logaritmi servivano per rendere un po' più semplici i contazzi enormi che soprattutto gli astronomi dovevano fare per calcolare le orbite degli astri. Però potrebbero essere usati anche per fare conti a mente... se non fosse per il fatto che imparare a mente i logaritmi dei principali numeri può essere piuttosto lungo, e se uno deve avere dietro le tavole dei logaritmi non gli passa più. C'è però un trucchetto che ci facilita la vita, usando... la musica! Sappiamo tutti infatti che 2¹⁰ (1024) è più o meno uguale a 10³ (1000), il che significa che 2^1/12 è più o meno uguale a 10^1/40. Ma 2^1/12 è esattamente il rapporto di frequenza tra due semitoni nel temperamento moderno! Questo significa che per trovare il logaritmo in base dieci di un numero x, basta vedere x come un rapporto, oppure il prodotto di vari rapporti; calcolare a quanti semitoni corrispondono tali rapporti; se ce n'è più di uno, sommarli; e dividere infine il risultato per 40. Viceversa, per l'antilogaritmo in base 10 di y (10^y) si moltiplica y per 40, si guarda a quanti semitoni corrisponde, e da lì si ottiene il rapporto voluto. Per quanto possibile, conviene usare i rapporti che "suonano meglio" nel vero senso della parola: ottava (rapporto 2, pari a 12 semitoni), quinta (3/2, pari a 7 semitoni) e quarta (4/3, 5 semitoni).

Un esempio vale sicuramente più di mille parole: iniziamo a vedere come calcolare il logaritmo di 3. Scriviamo 3 come 2*(3/2), quindi 12+7=19 semitoni; dividendo per 40 (prima per 10 e poi due volte per 2) otteniamo 0,475 contro il valore corretto 0,47712 circa. Se volessimo calcolare il numero di risultati possibile al totocalcio, cioè 3¹³, avremo 13*19 semitoni, cioè 247 semitoni totali. (Qui c'è un altro trucchettino matematico: 13*19 = (16*16)-(3*3), e chi ama fare conti a mente sa a memoria che 16 al quadrato è 256). Di questi semitoni, i primi 240 = 40*6 danno un milione, che è da moltiplicare per il rapporto corrispondente a 7 semitoni, cioè una quinta, cioè 3/2. Il valore approssimato è pertanto un milione e mezzo, contro il valore esatto di 1594323. Un 6% circa di errore, risultato non disprezzabile.

L'unico intero da 1 a 10 difficile da approssimare con gli intervalli musicali è 7, per cui si può prendere circa 34 semitoni, come si può vedere dalla tabella riportata nel sito da cui ho scopiazzat... ehm, mi sono ispirato: una lezione (PDF) di Sanjoy Mahajan per il suo corso al MIT denominato Street-fighting mathematics. La cosa non dovrebbe stupire chi ha studiato musica: in effetti i primi armonici del Do1, cioè i multipli interi della frequenza di base, sono Do2, Sol2, Do3, Mi3, Sol3, una nota stonata (il settimo armonico), Do4, Re4, Mi4. Torna tutto, insomma!

Occhei, probabilmente l'uso pratico di queste tabelline di conversione è un po' improbabile, però sono carine, no?

(vi ricordate che tra nemmeno dieci giorni c'è il Carnevale della Matematica? siete già andati da Chartitalia a indicargli i vostri contributi?)

Se non ve ne siete dimenticati, avevo promesso di dimostrare che 0,999999... non è uguale a 1. Il compito si direbbe improbo: abbiamo visto che i reali sono "tutta la retta dei numeri", nel senso che con i tagli di Dedekind siamo riusciti ad associare un numero a ogni punto della retta. Si direbbe insomma che, visto che la distanza da 1 dei numeri della successione 0,9, 0,99, 0,999 ... si riduce sempre di più ed è più piccola di un qualunque numero positivo, non c'è più spazio a disposizione per trovare un altro numero limite - un altro punto sulla retta - diverso da 1. E invece no! O almeno, "non necessariamente". Quando in matematica si dice che due più due fa sempre quattro, ci si dimentica sempre di aggiungere "con le usuali definizioni di due, quattro e più"; se consideriamo i resti della divisione per tre (il gruppo Z₃, per i pignoli) 2+2 in effetti fa 1 :-) Questo capita soprattutto quando le definizioni sono talmente abituali da essere prese per implicite: ed è per questo che nella puntata precedente ho scritto esplicitamente alcune cose di cui in genere non si sente parlare, tipo la proprietà di Archimede (che avevo chiamato Principio, ma forse è meglio passare al termine corretto).

Infinitesimi
Facciamo un passo (storico) indietro e prendiamo qualcosa che magari è rimasto in testa a chi ha fatto lo scientifico: gli infinitesimi. Quando Leibniz e Newton idearono indipendentemente il calcolo infinitesimale dalle due parti della Manica, tirarono entrambi fuori queste simpatiche quantità che erano diverse da zero fintantoché ci fosse necessità di dividere per esse, ma una volta fatte fuori dai denominatori diventavano immediatamente nulle; come del resto il loro quadrato era zero senza sé e senza ma. Quantità davvero curiose, se ci si pensa un attimo; tanto che il vescovo e filosofo George Berkeley - sì, quello che dà il nome all'università californiana - si prese il gusto di irridere chi operava con le flussioni, dicendo «E cosa sono queste flussioni? le velocità di incrementi evanescenti? Non sono né quantità finite, né quantità infinitamente piccole, ma nemmeno un nulla. Non potremmo chiamarle fantasmi di quantità defunte?» I matematici alzavano le spalle e dicevano che saranno anche state fantasmi di quantità defunte, ma facevano tornare i conti, e questo bastava loro. Ma sotto sotto sapevano che Berkeley aveva ragione, ed erano un po' a disagio con gli infinitesimi. Così, quando a fine Ottocento Karl Weierstrass tirò fuori tutta quell'astrusa definizione di limite con gli epsilon e i delta, furono in molti a tirare un sospiro di sollievo e buttare via gli infinitesimi, pensando "ora non ci sono problemi". Al limite, il problema restava a chi doveva ricordarsi a memoria la definizione e non scambiare gli epsilon e i delta... ma quelle sono quisquilie.
Tutto andò avanti senza troppi scossoni fino al 1961, quando un matematico di nome Abraham Robinson decise di vedere se poi in fin dei conti gli infinitesimi non potessero avere cittadinanza a pieno titolo tra i numeri. In fin dei conti se abbiamo accettato robaccia tipo i numei immaginari e i quaternioni, non si potrebbe forse trovare una via d'uscita? E in effeti una via d'uscita c'era, ed era data nientemeno che da un teorema di Kurt Gödel. Attenzione: non è un caso che abbia scritto "un" teorema. Non si tratta qua del classico teorema di indecidibilità, quello di cui tutti ne parlano e nessuno sa mai cosa dica esattamente, ma del teorema di completezza, che dice "un insieme di proposizioni è coerente se e solo se esso ha un modello, cioè se e solo se esiste un universo in cui esse sono tutte vere". Ammetto che il teorema, scritto in questo modo, è ben poco comprensibile, anche perché non si sa bene che cosa sia un universo né un modello; diciamo che un universo è un insieme di enti e di operazioni, e un modello è un modo di vedere l'universo in pratica. No, non è così complicato. Ad esempio, un universo sono i numeri reali, con le operazioni di somma e prodotto e la relazione "<"; e un modello per i numeri reali è la nostra simpatica retta dei numeri che abbiamo visto l'altra volta.

Numeri iperreali
Esiste un corollario del teorema di completezza, chiamato teorema di compattezza, ci dice che se abbiamo un universo "standard" e un insieme di proposizioni tale che qualunque loro sottoinsieme finito sia vero, allora possiamo costruire un altro universo ("non standard") dove tutte le proposizioni sono vere. Vi siete ancora persi? Eccovi un caso pratico. Prendiamo tutte le proposizioni del tipo
[1] ε è un numero maggiore di 0 e minore di 1/1
[2] ε è un numero maggiore di 0 e minore di 1/2
[3] ε è un numero maggiore di 0 e minore di 1/3
...
[n] ε è un numero maggiore di 0 e minore di 1/n
...
Se prendiamo un numero qualunque di queste proposizioni, possiamo trovare un ε che le renda vere tutte assieme; se prendiamo ad esempio le prime 20, la 30 e la 40, basta scegliere come ε il valore 1/42. Allora per il teorema di compattezza deve esistere un modello dove tutte queste proposizioni sono vere; in questo modello esisterà un ε maggiore di 0 ma minore di 1/n per ogni n intero. Questo numero ε è chiamato infinitesimo, mentre l'insieme dei numeri che troviamo è quello dei numeri iperreali (da non confondersi coi numeri surreali... dovreste saperlo che la fantasia dei matematici è sfrenata, quando tocca loro dare il nome a qualcosa!) Il bello di questo modello non standard dei reali è che funziona praticamente come i reali "reali". Il numero iperreale 1 è esattamente uguale, per quanto ci riguarda, al numero reale 1; se s e p sono la somma e il prodotto di due numeri reali a e b, la somma e il prodotto degli iperreali corrispondenti ad a e b saranno i corrispondenti di s e p; e se a<b, questo vale anche per i corrispondenti. Però c'è (ovviamente) qualcosa di diverso: ad esempio, i numeri 1 e 1-ε si dicono infinitamente vicini, proprio perché la loro differenza è un infinitesimo. È come se prendessimo la nostra retta dei numeri, una lente di ingrandimento, e scoprissimo che a ogni punto della retta (un numero reale) corrisponde un'infinità di numeri, tutti infinitamente vicini tra loro. E quindi significa che la successione dell'altra volta, quella scritta (1 - 1, 1 - 1/10, 1 - 1/100, 1 - 1/1000, ... ), non arriva a 1 come credevamo, ma si ferma a 1-ε. Un numero infinitamente vicino a 1, ma non 1.
C'è anche un altro approccio più o meno simile per arrivare ai numeri iperreali; questo approccio parte dai numeri ipernaturali, che sono numeri "quasi" naturali, nel senso che dato un numero ipernaturale μ c'è sempre un numero precedente μ-1 e un numero seguiente μ+1. L'unica differenza è che gli ipernaturali che non sono numeri positivi standard sono tutti infiniti, e quindi non proprio "naturali". I nostri infinitesimi sono gli inversi dei numeri naturali.

Dov'è il trucco
Dov'è il trucco? Beh, se mi avete seguito dovreste averlo capito: nel modello non-standard dei numeri reali perdiamo la proprietà di Archimede. Per quanto noi ci affanniamo a prendere dei multipli (finiti) di ε, non potremmo mai raggiungere il numero 1, o se per quello un qualunque numero reale positivo: rimarremo sempre ad avere numeri infinitamente vicini a zero, un po' come se corressimo affannosamente ma rimanessimo sempre inchiodati al nostro posto. È una bella perdita, indubbiamente. Ma non venitemi a dire che questi numeri iperreali sono assolutamente fittizi e non ce li possiamo trovare se non in esempi assolutamente astratti, perché vi zittisco subito con due casi semplicissimi.
Il primo è l'angolo formato da una circonferenza e dalla sua tangente. Quanti gradi vale? non può essere di zero gradi, perché un angolo zero è fatto da due semirette sovrapposte mentre la tangente e la circonferenza si allontanano; ma non può nemmeno essere un numero reale maggiore di zero, perché in quel caso la retta sarebbe secante e non tangente alla circonferenza (dall'altro lato, nel caso ve lo chiedeste). Quindi è piuttosto naturale affermare che l'angolo è un infinitesimo. In effetti i più matematici tra voi si saranno ricordati che la tangente a una curva è il modo geometrico di definire la derivata in un punto; l'analisi non standard è appunto nata perché Robinson voleva vedere se si potevano formalizzare le intuizioni di Leibniz sugli infinitesimi che si comportano "come i numeri veri".
Il secondo caso in cui gli infinitesimi compaiono naturalmente riguarda gli ordini di grandezza delle funzioni. Soprattutto gli informatici sanno bene che se un algoritmo richiede 3n²+5n+7 operazioni nel caso si abbiano n valori da cui partire, al crescere di n si possono lasciare perdere i termini meno importanti e affermare che il suo costo è di O(n²) operazioni. Un algoritmo di costo O(n²) sarà nel caso generale più "economico" di uno di costo O(n³), e uno di costo O(n^k) sarà sicuramente meglio di uno che esplode esponenzialmente, cioè di costo O(eⁿ), per quanto grande sia k. Fin qua tutto bene. Prendiamo ora un problema molto comune, quello di mettere in ordine di grandezza crescente una serie di n valori: l'algoritmo più veloce possibile ha un costo che è O(n log(n)) operazioni. Se volessimo dire qual è l'esponente di n corrispondente, ci troveremmo nei pasticci. È sicuramente più di 1, perché log(n) cresce all'infinito. Ma è sicuramente meno di 1+ε per ogni ε. Che numero è, allora? È chiaro: uno più un infinitesimo!

Ulteriori informazioni
Complimenti a voi se siete riusciti ad arrivare qui in fondo senza scappare: anche se ho cercato per quanto possibile di evitare qualsiasi dimostrazione, mi rendo conto che l'argomento è un po' ostico, senza poterci lavorare su "in diretta". Chi si fosse però incuriosito e volesse sapere qualcosa di più sui numeri iperreali e l'analisi non standard può leggersi un paio di documenti scritti in italiano: I numeri infinitesimi e l'analisi non standard, del mio vecchio compagno di università Mauro Di Nasso, e Introduzione all'Analisi Non-Standard, di Riccardo Dossena.

(questo mi sa che sia venuto troppo complicato. Ragione di più per chiedere commenti, in modo che possa capire come semplificarlo!)
Tra le domande che mi vengono fatte "visto che tu sei matematico", ce n'è una che mi arriva abbastanza spesso; non sono mai riuscito a capire perché mai la gente la trovi così interessante. La domanda, come avrete intuito dal titolo, è "Ma è proprio vero che 0,999999... con tutti 9 fino all'infinito è uguale a 1"? Non so in effetti quale sia la molla che scatta a chi me lo chiede: forse c'è il concetto dell'infinito potenziale che non si può mai raggiungere, forse echi nascosti del paradosso di Achille e della Tartaruga, forse i giochettini con la calcolatrice "scrivi 1/3*3 e vedi che cosa succede...", o chissà cos'altro. Poi intendiamoci: la domanda è perfettamente lecita, visto che la risposta (sì, per quelli che non hanno voglia di leggere fino in fondo) è stata formalizzata in maniera completa solo da 150 anni; addirittura, se si vuole essere alternativi a tutti i costi, si potrebbe anche dire che la risposta è "no": ma quello sarà l'argomento di un'altra mia notiziola.
Se ci si fida delle formulette pratiche, basta usare quella che si studiava alle medie ai miei tempi, e che vi presento qua nella sua versione più semplice, quella per convertire in frazione un numero della forma 0,abc...lmabc...lm..., cioè compreso tra 0 e 1, e con il periodo formato dalle cifre abc...lm. Se la lunghezza di questo periodo è di k cifre, basta avere una frazione che a numeratore abbia il periodo e a denominatore un numero formato ripetendo k volte la cifra 9. Come esempio pratico, 0,142857142857142... è uguale a 142857/999999, cioè a 1/7. E 0,999999...? Il periodo è di una sola cifra, la regoletta mi dice di fare 9/9, cioè 1. Ma magari uno della formuletta non si fida, e vuole andare più a fondo nella questione.

Un po' di storia
Comincio allora con una provocazione. Innanzitutto, ha senso parlare di 0,999999...? Qualcuno è capace a misurare 0,999999... metri, o sintonizzare una radio a 0,999999... megahertz? Ovviamente no. Ogni misurazione ha una sua precisione e un suo margine di errore. La domanda iniziale, in un certo senso, è perciò assolutamente inutile. Addirittura i fisici oggigiorno ci dicono che non è possibile avere una precisione infinita, per il principio di indeterminazione di Heisenberg: insomma, la domanda è del tutto teorica. Ma questo non sarebbe un grave problema, visto che in fin dei conti qui stiamo parlando di matematica e non del mondo reale. Più interessante è un'altra obiezione, quella che fa notare che scrivere un numero con la virgola è un concetto piuttosto moderno.
Gli arabi introdussero la notazione nel XV secolo, in Europa essa apparve (probabilmente in maniera indipendente) per opera di Simon Stevin nel 1585, ma non si diffuse fino a dopo la rivoluzione francese, quando il sistema metrico decimale le diede la spinta finale. Pensateci su: se io dico 0,1 kilometri si capisce subito di che distanza sto parlando (sono cento metri), ma dire 0,1 miglia (176 iarde, o 528 piedi) significa ben poco, per chi i conti li fa in piedi e iarde! Non è un caso che la formuletta mostrata sopra converta un numero periodico in una frazione; per le attività pratiche, le frazioni sono molto più semplici da visualizzare, e non è un caso che ore e minuti siano divise in sessanta parti e i giorni in 24 ore. Il fatto che un terzo di ora siano 0,3333333.... ore non dà fastidio a nessuno, visto che tutti pensano immediatamente a venti minuti e di puntini all'infinito non ce ne sono per nulla. L'ultima cosa su cui sono più o meno d'accordo tutti è che i numeri si possono mettere belli ordinati su una retta, che viene appunto chiamata retta dei numeri. Se pensiamo a un metro di quelli da muratore o da sarto, oppure a un termometro analogico così che ci siano anche i numeri negativi, l'idea è chiarissima; magari facciamo un po' fatica a collocare esattamente pi greco, ma la cosa non ci turba più di tanto perché immaginiamo che sia un poco a destra del 3, e se prendiamo una lente d'ingrandimento lo possiamo collocare in maniera ancora più precisa.

Diamoci un taglio!
Adesso sappiamo che i numeri con la virgola hanno sì e no duecento anni di uso pratico. Ma i numeri con infinite cifre dopo la virgola sono ancora più giovani, in effetti, e sono un prodotto di un complicato sforzo per capire cosa sono esattamente i numeri reali; numeri che venivano allegramente usati da secoli in analisi matematica senza che nessuno fosse poi realmente sicuro di cosa stava facendo. Questa sezione è un po' più complicata: potete tranquillamente saltarla e passare alla successiva, se vi sentite troppo male.
Dopo tutti quei secoli di tentativi, alla fine fu Richard Dedekind a tirare fuori una soluzione accettata da praticamente tutti i matematici, che permette di definire un numero reale per mezzo dei numeri razionali; per la precisione, da due insiemi di razionali. Il modo che si usa di solito per spiegare come si fanno queste successioni è il definire la radice quadrata di due. Si prendono tutti i numeri razionali positivi e li si mettono in due insiemi: quelli il cui quadrato è maggiore o uguale a due, e quelli il cui quadrato è minore di due. Sì, lo so che non c'è un numero razionale il cui quadrato sia due, ma questo non è un problema, come vedremo.
Chiamiamo i due insiemi T+ e T-, e aggiungiamo tutti i razionali negativi e lo zero in T-. A questo punto abbiamo due insiemi - due semirette, se preferiamo guardare la retta dei numeri - tali che:
- ogni numero razionale appartiene ad esattamente uno dei due insiemi
- tutti i numeri dell'insieme T- sono minori di ciascun numero dell'insieme T+
Una suddivisione dei numeri razionali che rispecchi queste due caratteristiche si chiama taglio di Dedekind; la ragione del nome è chiara, se si pensa alla retta dei numeri e a un coltello molto affilato che la tagli in due parti. Il genio di Dedekind sta nell'avere affermato che i due insiemi sono un numero; se preferite essere un po' più formali bisognerebbe dire che "rappresentano" un numero, ma un vero matematico non si preoccupa di tali distinguo formali. Un matematico si preoccupa solo che le definizioni siano corrette e coerenti: che cioè esistano delle operazioni "somma" e "prodotto" tali che "sommare" e "moltiplicare" due suddivisioni diano una suddivisione che corrisponda alla somma e al prodotto dei due numeri corrispondenti; e che se due numeri sono uguali anche i due insiemi corrispondenti lo siano. Vi risparmio tutta la parte tecnica di verifica di queste cose; l'unica cosa che è davvero interessante è che a volte capita che l'insieme dei numeri più piccoli abbia un massimo, a volte capita che l'insieme dei numeri più grandi abbia un minimo, e altre volte nessuno dei due insiemi ha un limite, come nel caso di T+ e T- che abbiamo visto sopra.
Non può darsi il caso che entrambi gli insiemi abbiano rispettivamente un massimo e un minimo. Infatti questi due valori devono essere distinti, altrimenti il numero apparterrebbe a entrambi gli insiemi; ma a questo punto possiamo prendere la media tra i due valori, che sarà un numero che non può appartenere a nessuno degli insiemi, e ciò non è possibile.
Finalmente ci siamo. I numeri razionali sono tutti e soli quelli per cui nella rappresentazione con i due insiemi uno di essi ha un limite; e quel limite è il nostro buon vecchio numero razionale. Tutto quello che rimane d'altro sono i numeri irrazionali; sappiamo dai tempi di Pitagora che ci sono, e siamo finalmente riusciti a disegnarli sulla retta dei numeri. D'accordo, sto barando un po' perché dovrei anche dimostrare che in questo modo abbiamo finito tutti i numeri che possiamo trovare sulla nostra retta; posso garantirvi però che il modello di Dedekind ci assicura anche quello, sfruttando il principio di Archimede.
No, non è quello dell'"eureka" mentre faceva il bagno, ma una proprietà che dice che dati due numeri positivi a e b, è sempre possibile trovare un multiplo di a che sia maggiore di b. Prendiamo ora i due insiemi U-, definito come "tutti i numeri minori di 1" e U+, "tutti i numeri maggiori a 1". Nell'insieme U- troviamo 0,9, 0,99, 0,999, .... e anche il nostro 0,999999... deve stare lì, visto che sicuramente non può essere maggiore di 1. U+ e U- non formano un taglio di Dedekind, perché lasciano fuori 1, ma da qualunque parte noi lo mettiamo otteniamo il nostro bel taglio, che per quanto detto sopra equivale al numero 1. Insomma, ce l'abbiamo fatta! (almeno fino al mio prossimo articolo)

Ricapitolando
Perché insomma possiamo dire che 0,999999...=1? Beh, abbiamo sfruttato fondamentalmente due cose. Il principio di Archimede, che possiamo anche esprimere dicendo "se prendiamo abbastanza granelli di sabbia possiamo fare un mucchio grande a piacere", e che ci dice che se due numeri sono diversi, la loro differenza può essere ingrandita fino a superare una quantità a piacere; e il "modello standard" della retta dei numeri, che unito al taglio di Dedekind ci dice che se siamo sicuri di non aver lasciato nulla da parte siamo per forza arrivati allo stesso numero. Aggiungo, per chi si fosse perso per strada, che di per sé il fatto che esistano dei numeri irrazionali non c'entra nulla con la dimostrazione, anche se ce lo siamo trovati come bonus mentre facevamo i tagli di Dedekind: una conferma insomma della formuletta all'inizio che ci diceva che 0,999999... era in realtà una frazione. Per il momento è tutto, ma aspettatevi qualcosa di completamente diverso!

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Siamo di nuovo in periodo di politici arrestati, e così le parole matematiche tornano alla ribalta con quanto detto dai nostri simpatici politici. Di "teorema", usato in senso assolutamente opposto a quanto fanno i matematici, ho già scritto l'anno scorso, anzi è stata la parola che ha iniziato questo dizionario: oggi tocca a "tangente", che ha una storia ancora più divertente.

La parola tangente deriva dal verbo latino tangere (con l'accento sulla a, per la cronaca), che ha il significato di "toccare" ed è una creazione tutta italica: non sono state infatti trovate radici indoeuropee corrispondenti. Chi ha un'infarinatura di cultura cattolica e/o artistica magari si ricorda il "Noli me tangere" (non toccarmi) pronunciato da Gesù appena risorto alla Maddalena. La parola passa all'italiano, tanto per cambiare, con Dante, ma di per sé non ha avuto un grande successo: l'unica espressione italiana in cui la si può trovare è "non mi tange", nel senso di "non mi tocca, non me ne può importare di meno". Per curiosità, il passato remoto farebbe "tansi, tangesti, tanse", anche se nessuno lo usa. Più usato il derivato tangibile, nel senso di "che si può toccare con mano", anche in senso figurato; di un vantaggio tangibile te ne accorgi, insomma.

Galileo però recuperò il verbo, anzi il suo participio (tangente, appunto) per indicare una retta con un punto in comune a una curva, e da lì il significato matematico iniziò a prosperare... non solo tra i matematici, visto che l'espressione "filarsela per la tangente" deriva da qua. Per amor di precisione, la definizione matematica attuale di tangente è un po' diversa, visto che due curve sono tra loro tangenti se si toccano in un punto "che vale almeno per due", ma si sa che i matematici sono dei precisini, a differenza della lingua comune dove la tangenziale tocca tutto il contorno di una città. Da questo punto di vista, i tedeschi che parlano di Ring (anello) sono più corretti!
Tra l'altro, il secondo significato matematico di tangente, vale a dire la funzione trigonometrica che si ottiene dividendo il seno per il coseno di un angolo, è una banale estensione di questo: se si prende un cerchio di raggio uno, si disegna un angolo x e si prolunga uno dei due raggi dell'angolo fino a incontrare la tangente (appunto...) al cerchio che passa dall'altro raggio si ottiene un segmento la cui misura è appunto la tangente dell'angolo.

Che c'entra tutto questo con i soldi passati sottobanco? C'entra, c'entra. Ricordate che avevo scritto all'inizio che il verbo "tangere" significa "toccare"? Nella seconda metà del XVIII secolo, la parola tangente prese il significato di "quota che tocca a ciascuno quando si dividono le spese o i guadagni". In un resoconto della rivoluzione americana, si trova infatti la frase “La sostanza delle parole è che gli abitanti di quella Provincia pagassero «la loro tangente di tali tasse come erano allora levate, o che si dovessero levare in appresso dal Parlamento in Inghilterra»”. Il termine perse di importanza nel corso dell'Ottocento, dato che i puristi lo deprecarono, per poi essere ripreso nel 1977, con lo scandalo Lockheed. Il significato era ancora quello di "quota", anche se a questo punto la quota era quella che toccava al potentino di turno solo perché lui esisteva. La parola ha però preso rapidamente quota :-), ci si è dimenticati del significato originale, e ormai significa solo "somma versata illegalmente per ottenere dei favori", senza più pensare al "toccare"... a meno naturalmente che uno ritenga che gli tocchi qualcosa per il solo fatto di essere Uno Che Conta! (come? dite che in effetti è così? ah, scusate...)

Ah: il tango, nonostante il nome e il fatto che i due ballerini senza dubbio si tocchino, non ha alcuna relazione col verbo "tangere". La parola sembrerebbe essere onomatopeica dal suono dei tamburi. Che adesso nel tango i tamburi non si usino più è irrilevante.

Se non siete per le strade a cantare la Marsigliese, potete andare a fare un salto da Matematicamedie per leggere la terza edizione del Carnevale della Matematica, ospitato appunto da Giovanna. Garantisco non ci sono solo formule :-)
E visto che la matematica non va certo in ferie, sono lieto di annunciarvi che anche il 14 agosto avremo un Carnevale! Chartitalia si è infatti offerto di ospitare l'edizione preferragostana. Magari ricordatevi di inviargli i vostri contributi (trovate il suo indirizzo email in alto a destra nel suo blog) con qualche giorno in più di anticipo, così potrà preparare il tutto e andare a cercare un po' di sole anche lui.

Non so se è tempo di compiti per le vacanze o se Yahoo! Answers picchia come sempre duro, ma una ventina di minuti fa qualcuno è arrivato sul mio blog facendo la ricerca sulla frase "si lanciano due dadi trovare la probabilità che la somma dei due punteggi sia divisibile per tre".
Questo è il classico problema che si può affrontare alla maniera dell'ingegnere (si calcolano le probabilità di ciascun risultato multiplo di tre possibile lanciando due dadi, e le si sommano), oppure alla maniera matematica, dove si fa una fatica boia per trovare un sistema per non far fatica a fare i conti (anche perché non è affatto vero che i matematici li sappiano fare, i conti!)
Come lo risolverebbe un matematico? Beh, inizierebbe a lanciare il primo dado. C'è una probabilità 1/3 che si ottenga un multiplo di tre (caso A), una probabilità 1/3 che si ottenga un valore che diviso per tre dia resto 1 (cioè si ottenga 1 o 4: caso B), una probabilità 1/3 che si ottenga un valore che diviso per tre dia resto 2 (caso C). Lanciando un secondo dado, per avere la somma multipla di tre possiamo partire dal caso A e avere di nuovo un multiplo di tre (probabilità 1/9), oppure dal caso B e ottenere 2 o 5 (probabilità 1/9) oppure dal caso C e ottenere 1 o 4 (probabilità 1/9). Totale delle probabilità: 1/3.
Immagino che a questo punto gli "ingegneri dentro" mi diranno che il mio approccio è più lungo del loro, e non hanno tutti i torti. Supponiamo però che adesso ci venga chiesto "e se lanciamo cento dadi, qual è la probabilità di ottenere un risultato multiplo di tre?" In questo caso, mettersi a fare tutti i conti è improponibile: invece con l'approccio qui sopra si vede che anche dopo il secondo lancio le probabilità di avere resto 0,1,2 sono sempre 1/3, 1/3 e 1/3 ed è immediato che a ogni lancio successivo del dado queste non possono variare: siano due, dieci, cento lanci la probabilità finale di avere un risultato multiplo di 3 è 1/3. QED.
La morale di questa favola non è "il metodo matematico funziona meglio di quello ingegneristico", quanto piuttosto "a volte, generalizzare il problema rende più facile trovare la soluzione". Se vi avessi subito proposto la versione "cento lanci", probabilmente vi sareste messi a cercare una soluzione sulla falsariga della mia; con i due lanci, non vi sarebbe nemmeno venuto in mente di fare così. Il metodo si può anche applicare alla vita reale (ogni tanto, si intende!)

Ricordo agli interessati che tra sette giorni avremo la terza edizione del Carnevale della Matematica, ospitato da matematicamedie. Mandate a Giovanna i vostri contributi!

Uno, due, tre, quattro... mille... un milione... un miliardo... un fantastiliardo... Beh, che numero sia esattamente un fantastiliardo non è così certo, o perlomeno non saprei citare il numero esatto di Topolino in cui è stato definito formalmente. Sono capaci ad averlo fatto, sì. Però direi che siamo tutti d'accordo che ai numeri si può dare un nome, e che noi siamo abbastanza fortunati da poter dare un nome - in italiano, in inglese, in klingon o nella vostra lingua preferita - a ogni numero. No, ricominciamo da capo. Sicuramente possiamo dare un nome a ogni numero intero (o frazionario, o irrazionale algebrico). Dopo Cantor sappiamo infatti che i numeri reali sono "più infiniti" delle parole che abbiamo a disposizione; quindi se volessimo dare un nome a tutti i numeri reali, e non solo a pi greco o alla radice di due, siamo fregati in partenza: anzi, la percentuale di numeri a cui possiamo dare un nome è virtualmente nulla rispetto al totale. Ma questa è un'altra storia.

Limitiamo pertanto il nostro scopo e torniamo ai numeri interi, dove insomma si direbbe che siamo a posto. Qualunque numero finito uno scriva, lo possiamo leggere, sgolandoci al più con una sfilza di "miliardi di miliardi di miliardi", o al limite risparmiando un po' di voce sfruttando la norma CEE/CEEA/CE n.55 del 21/11/1994 che definisce che andando di mille in mille si hanno migliaia, milioni, miliardi, bilioni, biliardi, trilioni; poi si sono fermati, lasciando a Wikipedia l'onore di arrivare ai quadriliardi. Lo strano è che la norma CEE specifica le unità di misura tra le pieghe di una legge sul trasporto di merci pericolose: ma in effetti, anche solo sui numeri interi di cose strane ne abbiamo lo stesso!

Piccola digressione. Un'altra cosa che abbiamo imparato fin da bambini è che dato un numero possiamo sempre trovarne un altro dicendo "più uno!", come si ricorderà chi giocava a dire il numero più grande. L'osservazione è meno stupida di quanto si pensi, come vedremo. Detto in altro modo, un numero lo si può chiamare in tanti modi: ad esempio, "cento" è anche "novantanove più uno", oppure "dieci per dieci", o ancora "il numero di quadratini del quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza rispettivamente sei e otto". Quanti modi abbiamo a disposizione per definire un numero? Non lo so. Probabilmente infiniti, ma in realtà la cosa non è che ci importi più di tanto. Quello che importa è per ogni numero abbiamo (almeno) una rappresentazione "economica", che cioè usa il numero minimo possibile di sillabe. A vedere gli esempi qui sopra non si capisce l'utilità di introdurre questi altri modi di chiamare un numero, ma ad esempio novecentonovantanovemila novecentonovantanove (venti sillabe) può essere espresso come "un milione meno uno" (otto sillabe: un bel risparmio!) Possiamo così decidere di chiamare ciascun numero con l'espressione che richede il minor numero possibile di sillabe: un'ottima idea, se abbiamo bisogno di risparmiare spazio.

A questo punto entra in gioco il signor G. G. Berry, che non era esattamente l'ultimo arrivato dato che era bibliotecario alla Bodleiana, una delle più importanti se non la più importante biblioteca di Oxford. Il signor Berry, poco più di cent'anni fa (era il 1904), ebbe l'idea di pensare a un numero che in fin dei conti un suo minimo interesse ce l'aveva: "il più piccolo numero che non si può esprimere con meno di trenta sillabe". Si sa che i bibliotecari, quando si tratta di definire qualcosa, sono sicuramente bravi, no? Per amor di precisione, il testo originale inglese parla di "the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables" (che in inglese dovrebbe essere 111.777, dice wikipedia); e sempre wikipedia afferma che in realtà Berry parlava semplicemente del più piccolo numero ordinale non definibile. (I numeri ordinali sono quelli che usiamo per contare "uno, due, tre...". Finché usiamo numeri finiti non c'è una differenza pratica con i numeri cardinali che dicono in un botto quanto è grande un insieme; con i numeri transfiniti sì, ma non è questo il momento di parlarne)

Questo numero, chiamiamolo b in onore di Berry, deve per forza esistere: in fin dei conti i numeri sono infiniti, e le frasi composte al più di trenta sillabe sono finite. Occhei, sarà probabilmente un numero molto grande, ma in linea di principio lo si può calcolare. Persino un costruttivista come Brouwer, che giusto in quegli anni stava lamentandosi di come l'infinito venisse usato in maniera un po' troppo disinvolta, non avrebbe avuto nulla da dire sulla correttezza della definizione. Ma era proprio così? Mica tanto. In effetti, se siete stati attenti, la frase "il più piccolo numero che non si può esprimere con meno di trenta sillabe" di sillabe ne ha 25. Ma allora non ci può essere nessun numero con tale proprietà! Se ci fosse un siffatto numero b, infatti, automaticamente gli potremmo affibbiare la descrizione di cui sopra e quindi non è vero che non si può esprimere con meno di trenta sillabe. Ciò è indubbiamente berrybile.

Qui c'era qualcosa che non andava: e subito Berry chiese lumi all'indubbio esperto del campo: quel Bertrand Russell che pochi anni prima aveva dato un duro colpo al lavoro di una vita di Frege con il famoso paradosso del barbiere del villaggio che fa la barba solo e unicamente a chi non se la fa da sé. (per la cronaca, il barbiere si chiavama Andrea ed era una splendida fanciulla...). Russell ci pensò un po' su e alla fine sentenziò che il problema non si poneva: la definizione di b non era infatti valida perché era una metadefinizione, visto che non definiva un numero ma le proprietà del numero. Per fare un esempio più terra terra, se diciamo "tre ha tre lettere" non stiamo parlando del numero tre (anzi 3), ma della parola che lo definisce: il "lessicale", mi suggeriscono i miei amici filosofi. Il paradosso gli sembrò comunque interessante, tanto che lo inserì come primo nella lista di sette che presentò nei Principia Mathematica: e chissà, magari la teoria dei tipi, l'idea cioè che ci fosse una gerarchia di insiemi dove a ciascun livello gli elementi costitutivi potevano essere al più insiemi dei livelli inferiori, nacque anche pensando a questa differenza tra numero e definizione del numero. Non che tutta quella fatica gli sia servita a qualcosa, visto che venticinque anni dopo Kurt Gödel gli scombinò tutta la sua teoria. E paradossalmente, una cinquantina d'anni dopo, Greg Chaitin riprese in mano il paradosso di Berry, lo formalizzò usando un linguaggio di programmazione, e riuscì in questo modo a dare una nuova (e più semplice) dimostrazione del Teorema di Incompletezza di Gödel. Una vendetta postuma, insomma...

Che dire? State sempre attenti, quando vi mettete a contare, perché non si sa mai dove si nascondano le insidie! (Se vi piacciono questi temi, consiglio la lettura anche dei Rudi Matematici)

Leggo da Isabel che tra gli svariati cerchi sui campi di grano che sono uno dei tormentoni preferiti dai britannici ne è stato trovato uno piuttosto particolare, che codificherebbe pi greco. L'immagine, con l'articolo relativo, è stata pubblicata da Metro - versione UK; in pratica, se vedete la specie di spirale fatta a tratti, i vari tratti sottendono un angolo di 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 radianti, vale a dire le prime dieci cifre dello sviluppo decimale di π; questo prova - a detta di alcuni - che è un chiaro segno di messaggio extraterrestre.
A parte la battuta obbligatoria di Isabel ("il modo migliore per codificare π in un cerchio è disegnare il cerchio"), il suo post spiega con logica convincente che un disegno simile è un chiaro segno di messaggio non extraterrestre, per un banale fatto: non si vede perché la rappresentazione di π debba essere in base 10, un accidente storico planetario.
In effetti, se ci pensate su, ci sono numeri e misure "più naturali" (non nel senso di interi positivi) e altri meno. π, come anche ℮, sono ottimi candidati per mandare un "numero non casuale" e quindi dare un segno di intelligenza. La cosa è un po' buffa, perché questi numeri appaiono spesso nei posti più impensati e quindi potrebbero capitare quasi per caso, ma tant'è. Anche la scelta di usare il radiante come unità di misura degli angoli è naturale: il radiante in fin dei conti è un angolo che sottende un arco della stessa distanza del raggio, e quindi è una misura indipendente dalle unità scelte. Il fatto che una circonferenza misuri un numero irrazionale di radianti (2π, se non ve lo ricordate) è un banale accidente, e nessuno si preoccupa più di tanto della cosa. Sarebbe in realtà peggio se la misura fosse qualcosa tipo 6.05 unità, perché uno si potrebbe chiedere se c'è stato un errore di misura.
Ma per la base numerica? Probabilmente la scelta migliore è la base 2. Infatti è una base numerica (la base 1, a parte richiedere una quantità spropositata di simboli, non è che possa rappresentare i numeri non interi se non con uno sforzo notevole), ed è la più piccola base numerica possibile. Insomma, il fatto che i calcolatori abbiano solo due "dita" è un altro accidente storico, ma due è un bel numero.
Certo, qualcuno potrebbe dire che gli extraterrestri ci hanno studiato e sanno che usiamo la base 10, ma a questo punto potrebbero tranquillamente mandarci una lettera e spiegarci le cose di persona, no? I giochini lasciamoli ai quiz.
E voi, che cosa proporreste come unità "naturali"?

Oggi è il quattordici del mese: benvenuti dumque al secondo numero del Carnevale della Matematica - versione italiana! (il primo numero, per chi se lo fosse perso, è stato ospitato da Proooof)
Il numero due forse non ha il fascino del numero uno, ma sicuramente ha caratteristiche interessanti, come del resto tutti i numeri sono interessanti. Tanto per iniziare, due è il primo numero pari, e il numero primo pari (ogni lingua ha i suoi giochi di parole: in inglese, "two is odd since it is the only prime which is not odd"). La base due è quella usata dai calcolatori, e - come forse sapete - il mondo si divide in 10 categorie: quelli che conoscono la base due e quelli che non la conoscono. I controlli di parità sfruttano per definizione il numero due, e per gli antichi greci il due, oltre a raffigurare il principio femminile, era anche il primo numero (uno non era considerato un numero, quanto un generatore di numeri). Insomma, due è un numero interessante... come ogni numero, del resto.

Ma bando alle ciance, e vediamo i contributi di questo mese. Proooof racconta del doppio pendolo (senza nessuna formula, mi dice, e io ringrazio della cosa: i miei lontani ricordi universitari mi preoccupano). Il pendolo lo conosciamo tutti, e il suo moto è abbastanza facile da capire. Col doppio pendolo si va nel caos, come si può vedere dal video. Per chi vuole proprio qualche formula, proooof ci racconta anche dei fogli A4, le cui misure non sono affatto state scelte a caso come qualcuno sicuramente crede, ma l'ISO si è messa di mezzo... pur senza sapere che si sarebbe arrivati ai circuiti integrati e ai frattali.
La prof Giovanna di matematicamedie ci mostra graficamente i numeri poligonali, che in effetti su una tavola pitagorica fanno un bell'effetto visivo. D'altra parte, i numeri poligonali sono stati proposti dagli antichi greci, quindi la tavola pitagorica è una loro parente, no?
Maurizio mi ha impedito di mettere un link a una barzelletta matematica (la trovate in data 8 giugno, se avete voglia di cercare). Essendo io perfido, segnalo altri due suoi post: un ricordo di due matematici e delle serie e la più bella formula matematica. Se invece preferite avere uno sguardo a più dimensioni sulla geometria, Odiamore racconta della bottiglia di Klein.
Gli amanti della storia della matematica hanno pane per i loro denti con Marcello Seri, che ha scritto un breve saggio sulla Storia dei Numeri, perché di tipi di numeri ce ne sono tanti, forse anche troppi secondo qualcuno. E a proposito di numeri, i Rudi Matematici (senza acca perché parliamo del blog su Le Scienze) hanno preparato un pippone su come si chiamano i numeri: non tanto quelli piccoli, ma quelli davvero grandi, ammesso che esistano. Si sa, c'è sempre qualche guastafeste che dice che se un numero è maggiore della quantità di particelle presenti nell'universo allora tale numero non esiste... però questo è il Carnevale della Matematica, non della Filosofia, e quindi tali pensieri sono banditi.
Per la serie "roba non nostra, ma comunque interessante". i Rudi Matematici ci segnalano anche che è uscito il numero 6 di Matematicamente, che all'interno ha tra l'altro un saggio inedito di Ennio De Giorgi; cragganmore segnala invece un'interessante applicazione della matematica computazionale alla musica, con Wolfram Tones che parte dalle regole per la creazione di automi cellulari per tirare fuori motivetti musicali. Tranquilli, ce ne vorrà ancora molto prima di arrivare a Bach.
Chi volesse leggere qualcosa di matematica scritto su carta può avere qualche idea da due mie recensioni di libri matematici: Matematica, miracoli e paradossi, che racconta in uno stile leggero quante brutte cose sono capitate in quest'ultimo secolo e mezzo alle fondamenta della matematica; Unknown Quantity, dove gli anglofoni possono scoprire la storia dell'algebra, la parte della matematica che rende astratte le cose concrete... beh, detto così fa più paura di quello che capita in realtà! Ho anche sfruttato l'occasione per aggiornare le mie citazioni matematiche: più di 1200 frasi o paragrafi che citano una qualche forma di matematica e che vi faranno fare una bellissima figura con gli amici.

Per questo mese è tutto. Il 14 luglio, oltre a festeggiare la presa della Bastiglia, ricordate di passare da matematicamedie per il nuovo Carnevale della Matematica! E già che ci siamo una domanda: si fa un'edizione anche per il 14 agosto ("matematica da spiaggia"?) oppure no? commentate commentate!

L'ultima versione del mio file con le citazioni matematiche era di febbraio 2007. Sedici mesi fa. Sono certo che alcuni dei miei lettori si saranno detti "ecco, si è stufato". È vero che sono un pigrone, ma quello è un giudizio assolutamente falso e tendenzioso. Semplicemente, ho completamente sbagliato modo di operare: ogni tanto aggiungevo qualche nuova citazione al mio file, ma mi dicevo "beh, ancora queste ultime e poi mi metterò a pubblicare la nuova versione". A oggi ne ho scritte più di 200, insomma un quinto rispetto al corpus già pubblicato, e ho deciso che forse era il caso di darmi una mossa. Eccovi così la versione 1.5.0 tutta per voi, e come sempre il file con le sole aggiunte. Sempre come sempre, uno può tranquillamente scaricarsi sia i sorgenti xml che tutti i file html, da queste parti si ama la diffusione dell'informazione, perdipiù matematica. Basta finire sulla sezione matematica del mio sito, dove ho anche aggiunto un paio di vignette matematiche... ma queste sono davvero per pazz^Wintenditori.
Aggiornamento: (21:42) come sempre qualche baco spunta fuori, e quindi la versione che vedete ora è la 1.5.1. Chi aveva già scaricato la 1.5.0 non perde nulla, anzi ha un doppione in più (una citazione di Titchmarsh).

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
La parola "trascendente" fa indubbiamente venire a mente la teologia, più che la matematica: la trascendenza, qualunque cosa significhe, è certo uno degli attributi di una divinità degna di questo nome. Al massimo si può pensare a qualcuno che trascende, nel senso che passa il limite; in effetti l'etimologia del termine è proprio quella, visto che deriva dal latino transcendere, letteramente "salire" (da scandere) "oltre" (trans-). Già Brunetto Latini usa il termine con quel significato, prima del 1300... e sessant'anni dopo la parola viene usata anche nel senso di "non contenersi": senso che ancora oggi può avere, magari nella forma "è trasceso".
Ai matematici la parola deve essere piaciuta davvero tanto, considerando che la usano in due ambiti diversi, anche se non troppo. Abbiamo infatti innanzitutto i numeri trascendenti: sono quelli "davvero" irrazionali, non come la radice quadrata di 2 che basta moltiplicarla per sé stessa e otteniamo un numero intero. La definizione precisa di numero trascendente è "in negativo": i numeri trascendenti sono quelli che non sono algebrici. Questi ultimi sono ottenibili come soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi, quelle che si studiano nelle superiori. La nostra radice quadrata di due, ad esempio, è una delle soluzioni di x²=2. Con pi greco oppure e, invece, non c'è nulla da fare: sfuggono a tutti i nostri tentativi di trovare un'equazione specifica che li inchiodi al muro. Che poi, come capita spesso con questi insiemi infiniti, il divertente è che i numeri trascendenti sono infinitamente di più di quelli algebrici: ma d'altra parte anche Dio, in quanto trascendente, è infinitamente di più di un essere finito, no?
Il secondo modo matematico per usare la parola riguarda le funzioni trascendenti, che sono quelle che non usano solo le solite quattro operazioni, l'elevamento a potenza oppure l'estrazione di radice n-sima. Nulla di trascendente :-), a dire il vero; già funzioni che trovate sulla vostra calcolatrice come seno, coseno e logaritmo sono trascendenti. Il motivo per cui sono state chiamate così, almeno ad occhio, è che in genere se si applicano quelle funzioni a un numero intero si ottiene un numero trascendente, il che non è effettivamente una bella cosa quando già le frazioni sembrano essere un po' esoteriche... ma suvvia, un po' di trascendenza fa sempre bene!

Essendoché oggi è il 4, tra dieci giorni sarà il 14 (giugno), e quindi ci sarà la seconda edizione del Carnevale della Matematica, dopo il grande successo iniziale.
Chi in questo mese avesse scritto nel proprio blog post ad argomento matematico (di tutti i tipi, non siamo razzisti) e volesse una segnalazione, mi può mandare privatamente i link agli articoli. Chi non avesse ancora scritto e volesse farlo, ha tempo diciamo fino a giovedì 12, che poi devo assemblare tutto. Chi non avesse un blog ma volesse scrivere qualcosa, può chiedermi l'accesso al blog di appoggio. Direi che è tutto.

In perfetto orario, Proooof ha postato la prima edizione del Carnevale della Matematica. Per chi non avesse ancora capito di cosa si tratta, è un appuntamento mensile dove un volontario raccoglie i post di argomento matematico del mese che gli sono stati segnalati, presentandoli brevemente. L'idea è che in questo modo si possono conoscere nuovi blog e soprattutto nuova matematica (nel senso di "cose che non si sapevano, oppure modi nuovi di vedere le cose che si sapevano").
Se andate a vedere i vari contributi, vi accorgerete che c'è proprio di tutto: ma non voglio rovinarvi la sorpresa. Vi annuncio invece che la seconda edizione ci sarà esattamente tra un mese, e sarà ospitata dal sottoscritto: ma ve lo ricorderò ancora in seguito, non preoccupatevi. Si cercano volontari per le prossime edizioni (tranne agosto: noi siamo italiani e il 14 agosto saremo tutti belli tranquilli a fare altro :-P )

Quando andavo alle medie, tra le ore di lezione c'erano quelle di "applicazioni tecniche". Non so se e cosa ci sia ora; alcuni anni dopo la materia era stata rinominata "educazione tecnica" e se non sbaglio maschi e femmine la facevano insieme. Ai miei tempi, invece, c'era ancora una divisione sessista, forse perché si pensava che una donna dovesse fare i "lavori da donna", ed è già tanto che non fosse ancora chiamata "educazione domestica" come una volta. In queste ore di lezione, tra le varie cose che ci facevano fare mi è rimasto impresso nel mio cervello - anche se fortunatamente non nelle mie dita - il mettersi a piantare chiodi su una tavoletta di compensato in un reticolo rettangolare, tendendo poi opportunamente alcuni elastici intorno ad essi per costruire delle figure. Sono cose forse divertenti: credo però che se il professore mi avesse raccontato del teorema di Pick io sarei stato molto più interessato e mi sarei subito lanciato a cercare di dimostrarlo, perché è davvero qualcosa a prima vista incredibile. Non ci sarei magari riuscito, ma volete mettere la soddisfazione di provarci?

Immaginiamo di avere un piano cartesiano e di evidenziare al suo interno il reticolo di punti a coordinate intere: o più banalmente prendiamo un foglio a quadretti. Il teorema di Pick afferma allora che l'area di un qualunque poligono semplice i cui vertici sono punti del reticolo è data dalla formula

[1]      I + (P/2) - 1

dove I è il numero di punti del reticolo interni al poligono (quelli indicati in blu nella Figura 1 qui a fianco) e P il numero di punti sul suo perimetro: i vertici, indicati in rosso, ma anche i punti indicati in verde che si trovano all'interno dei lati. In questo caso, abbiamo 32 punti blu e 18 tra rossi e verdi, quindi l'area del poligono è di 40 quadretti. Come si vede, il poligono non deve necessariamente essere convesso perché valga il teorema di Pick; più precisamente, la definizione di "poligono semplice" significa infatti che esso non deve avere buchi al suo interno, lati ripetuti o incrociati come negli esempi della Figura 2 per cui il teorema per l'appunto non vale. Anche con queste restrizioni il teorema ha a prima vista qualcosa di magico, pensando a tutti i possibili lati storti; d'altra parte Georg Alexander Pick, il matematico austriaco che dimostrò il teorema nel 1899, oggi non sarà molto famoso però è stato lui a presentare Gregorio Ricci Curbastro a un certo giovincello (Albert Einstein) che aveva bisogno di un esperto matematico per i conti della teoria della relatività. Insomma, Pick non era proprio l'ultimo arrivato.

Ma bando alle ciance, e vediamo una possibile dimostrazione del teorema: non garantisco sia la più semplice, soprattutto perché me la sono trovata io e le mie contorsioni mentali sono peculiari, ma dovrebbe essere sufficientemente chiara da poterla seguire senza sbattere la testa contro il muro. Iniziamo con una classe di poligoni molto semplice: i rettangoli i cui lati sono paralleli al reticolo, come quello della Figura 3. In questo caso i conti sono alla portata di tutti: basta stare attenti a non sbagliare a contare i puntini, ricordando che se i punti sono a distanza 1, un segmento di lunghezza 10 ne conterra undici! Se i lati del rettangolo sono a e b, la sua area è ab. Il perimetro conterrà 2(a+b) punti e l'interno ne contiene (a-1)(b-1), vale a dire ab-(a+b)+1; quindi la formula in questo caso è corretta.

Passiamo adesso al punto fondamentale della dimostrazione: mi occorre un teorema ausiliario che afferma che se abbiamo due poligoni per cui vale la formula [1] e che hanno in comune parte di un lato (almeno due punti), allora anche per il poligono risultante vale la [1]. Attenzione: non sto affatto dicendo che la formula sia vera! Per fare un esempio pratico, pensiamo di avere delle confezioni di caramelle con indicato il loro peso, e che ci venga detto che la formula per il costo delle caramelle è data dal prodotto di un euro per il numero di etti del loro peso; è chiaro che prendendo due confezioni basta sommare il loro peso in etti e moltiplicarlo per un euro. Ma la stessa cosa varrebbe se il costo fosse di due euro l'etto, o cinquanta centesimi: quindi non possiamo sapere il costo. Peggio ancora, magari ci sono caramelle confezionate in una bella scatola di latta, il cui prezzo è un euro l'etto più un euro per la scatola; se prendiamo una confezione normale e una inscatolata, fare la somma non serve a un tubo. Quest'ultimo esempio, riportato ai nostri poligoni, ci ricorda che per il momento sappiamo solo misurare rettangoli, e già un triangolo ci darebbe problemi. Ma facciamo un passo per volta.

Nella Figura 4, siano A e B i due poligoni e C quello ottenuto unendoli; il segmento comune sia s. Per A, abbiamo I_a punti interni e P_a punti sul perimetro; similmente per B ci saranno I_b punti interni e P_b punti sul perimetro. I punti interni di C saranno quelli interni di A, quelli interni di B e quelli interni di s (nella figura ce n'è uno, indicato con un cerchietto blu); quelli perimetrali saranno la somma dei perimetrali di A e di B, togliendo due volte i punti interni di s (nei poligoni separati contavano doppio, in quello unito non ci sono) e una volta i due punti estremi di s (indicati in figura con un cerchietto verde: nei poligoni separati contavano doppio, in quello unito sono singoli). Ma guardando la formula [1], il peso dei punti interni di s tolti dal perimetro è esattamente uguale al peso dei punti aggiunti all'interno di C. Abbiamo quindi tolto solo i due punti estremi di C, che contano per una unità: proprio quella che dovremmo togliere in più, visto che nella somma di A e B ci sono due addendi che valgono -1 mentre in C ce n'è uno solo.

Prima di continuare, faccio notare che il teorema ausiliario funziona anche alla rovescia, "in sottrazione". Se noi siamo certi che per il poligono B valga la nostra formula, allora possiamo affermare con sicurezza che "se la formula vale per A, allora varrà anche per C; viceversa, se vale per C allora varrà anche per A". Questo sarà il grimaldello per terminare la dimostrazione.

Passiamo ora a dimostrare che il teorema di Pick vale per i triangoli rettangoli con i cateti paralleli al reticolo. Il trucco, come si vede nella Figura 5, è di metterne insieme due per ottenere un rettangolo. I due triangoli sono assolutamente identici, quindi con le notazioni precedenti possiamo dire che I_a=I_b e P_a=P_b; è questo fatto che ci permette di ricavare la formula, suddividendo come nel caso precedente i punti interni al rettangolo ma che stanno sulla diagonale, e quindi devono essere tolti dal totale degli interni e associati ai perimetri dei due triangoli. Fortunatamente i punti perimetrali valgono solo un mezzo, e quindi la suddivisione è perfetta... se non fosse per i due estremi della diagonale del rettangolo, che danno giusto un'unità in più. Nel nostro esempio pratico, abbiamo un triangolo rettangolo di cateti 4 e 12; il rettangolo ha 33 punti interni (di cui 3 sulla diagonale) e 32 punti perimetrali; i due triangoli hanno ciascuno (32/2)+1=17 punti sui cateti, 3 all'interno della diagonale e (33-3)/2=15 punti interni. Come potete vedere, i conti tornano perfettamente.

Siamo ormai verso la fine. Con il nostro teorema ausiliario applicato al più tre volte ai triangoli rettangoli esterni nella Figura 6, possiamo affermare che il teorema di Pick è valido per un qualsiasi triangolo, come quello all'interno della figura stessa. A questo punto possiamo finalmente tornare alla nostra figura iniziale. Potrei tranquillamente dire "visto che ogni poligono semplice è triangolabile, basta suddividerlo in un insieme di triangoli, e siamo a posto". Peccato che io non sia mica così certo che sia banale dimostrare che ogni poligono semplice è triangolabile: visto che tanto abbiamo già fatto un lavorone, tanto vale andare fino in fondo. Il trucco è rendere convesso il poligono: si cercano due lati consecutivi che formano un angolo più grande che piatto e per cui il segmento che unisce gli altri due vertici è tutto all'esterno del poligono, e si sostituisce il nuovo segmento ai due originali. In pratica si è sommato un triangolo (per cui il teorema vale), e si è ottenuta una figura con un numero di vertici inferiore di uno. Prima o poi continuare sarà impossibile, e si giungerà a un poligono convesso: a questo punto si può fare lo stesso giochetto della Figura 6 e rettangolare il poligono, riuscendo finalmente ad applicare il teorema in un caso noto: a questo punto, basta tornare indietro passo passo e sappiamo che la cosa vale anche per il poligono iniziale.

Il tutto visto scritto così sembra una faticaccia immane, lo ammetto. Ma credo che la cosa più difficile sia mettere in forma scritta i vari passaggi, nessuno dei quali è particolarmente complicato. Inoltre il ragionamento segue esattamente quello che ho fatto io per riuscire a dimostrare il teorema, e quindi può dare un'idea di come ci si possa muovere quando si vuole fare una dimostrazione matematica. Mica come le dimostrazioni dei libri, che sono fatte a posteriori!

Ho spesso parlato nelle mie notiziole di Rudi Mathematici, la Prestigiosa Rivista Matematica fondata nello scorso millennio e che ad aprile aveva una distribuzione di 1730 copie: mica albicocche artiche!
Orbene: da questo mese di maggio, la rivista Le Scienze aggiunge una nuova rubrica, "Rudi Matematici" (senza h), curata dal trio Alice Riddle, Rudy d'Alembert e Piotr Rezierovich Silverbrahms. L'unica somiglianza tra il trio e le persone disegnate nello spazio della rubrica sta nei boccali di birra, ma non sottilizziamo.
Il mio primo pensiero quando ho saputo la notizia è riassumibile così: INVIDIA. Grassetto no, ma almeno maiuscolo sì. Il mio secondo pensiero è stato "Che bello!" Perché mettersi a fare il bambino, quando stiamo parlando del ritorno dei giochi matematici, e per di più scritti e pensati in italiano, nella più famosa rivista di divulgazione scientifica che possiamo trovare in edicola? Evvai!!!!

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
La parola attrattore non dovrebbe fare parte della lista delle parole matematiche, a rigor di termini: ho controllato sul De Mauro e sul Garzanti, e il lemma non è registrato. Persino il Merriam-Webster on line indica attractor come sottolemma del verbo to attract. In un certo senso, però, il termine ha una sua storia rimbalzante tra il "mondo comune" e la matematica, quindi ci spendo due parole.

Il verbo attrarre, dal latino ad + trahere, entra in italiano a metà del XIV secolo con il significato letterale di "tirare a sé con forza" e con quello traslato di "lusingare, allettare". Mentre quest'ultimo porta al significato di attrazione come "fascino" o "spettacolo di grande interesse" solo alla fine del XIX secolo, l'uso del sostantivo nel significato di "forza con cui un corpo ne attrae a sé un altro" è quasi coevo a quello del verbo, e porta a tempo debito anche a indicare l'attrazione provata dalla limatura di ferro nelle vicinanza di una calamita. La situazione era abbastanza stabile fino a che non sono arrivati quei guastafeste di matematici, che hanno deciso di dare il nome a quello che si ottiene facendo evolvere nel tempo certi tipi di sistemi dinamici. Per fare un esempio terra terra, se mettiamo in moto un pendolo prima o poi questo si fermerà sulla verticale del punto dove è sospeso: si può dire che il sistema composto dal pendolo ha come attrattore il punto dove il pendolo stesso sta in equilibrio. Il buffo è che si è deciso di inventare il nome quando nella teoria del caos si sono trovati degli attrattori senza una forma ben definita: gli attrattori strani di cui forse avrete sentito parlare.

Il buffo è che una volta che il neologismo è stato sdoganato - e la teoria del caos, con quel bel nome che si ritrova, è un ottimo sdoganatore - la parola è subito sfuggita alle sgrinfie dei matematici per approdare nei siti web: fate una ricerca con stringhe "attrattore culturale" oppure "attrattore sociale" e capirete cosa intendo. L'attrattore è una qualunque cosa che attrae, insomma: quella che magari qualche decennio fa veniva chiamata attrattiva. Un altro grande successo della matematica!

Premessa: tutta la storia che racconto qui sotto è rigorosamente vera: non ho inventato nulla.
Noi andiamo relativamente spesso in una pizzeria in viale Marche. I pizzaioli ci conoscono, e quello che sta in cassa ormai mi chiede direttamente "Oggi quanto avete speso?" (ci sono molti tipi di pizza di prezzi diversi, quindi ogni volta il totale è un po' diverso). Ieri sera vado a Linate a prendere Anna, arriviamo in pizzeria e il pizzaiolo mi fa "Tu che sei matematico, è possibile che una calcolatrice sbagli a fare le percentuali?" Rispondo che mi pare strano, e gli chiedo di farmela vedere. Era una normale calcolatrice Casio, di quelle da negozio con i tasti enormi. Lui calcola il 20% in più di 200; digita 200+20%, ed esce fuori... 250. Rimango un po' interdetto, mi faccio dare la calcolatrice, ridigito i numeri per conto mio: di nuovo 250. Provo allora un altro conto facile: 100+10%. Risultato: 111.11111. Gli dico che non ho proprio idea, che probabilmente hanno effettivamente sbagliato il circuito per la percentuale, e intanto ordiniamo le pizze. Mentre aspettiamo, faccio un po' di conti: quando torna il pizzaiolo gli dico "Puoi controllare se 100+30% dà questo risultato?" Lui va, prova e torna dicendo "Sì, è proprio quello. Ma è una magia!" Per la cronaca, poi abbiamo mangiato e pagato - senza sconti. Domanda: che numero ho scritto sul foglietto?
Non so se il problemino sia risolubile da uno studente sveglio delle medie, ma sicuramente al biennio delle superiori sì. Non richiede matematica avanzata, ma solo un po' di intuizione e qualche calcolo davvero elementare: insomma è alla portata di tutti. Volete provarci anche voi?
Restano poi alcuni punti interessanti e non direttamente matematici: ad esempio, come mai la Casio abbia messo sul mercato una calcolatrice evidentemente malfunzionante nella logica, e soprattutto perché la matematica viene vista come una magia peggio di quelle di Harry Potter. Un conto è la massima di Clarke secondo cui ogni tecnologia sufficientemente avanzata è indistinguibile dalla magia, però qua di tecnologia (nei conti, non nella calcolatrice) non ce n'è per nulla. Misteri.

In questi giorni di silenzio matematico, ho meditato e ho sentenziato:
- la data del 14 del mese (come prime due cifre dopo la virgola dello sviluppo decimale di \pi) mi pare un'ottima idea, anche perché è intorno a metà mese.
- per chi non ha voglia di avere un blog tutto per lui, ho creato questo. Fatevi un account su iobloggo, ditemi il nome utente (non il nickname), e io vi do accesso in scrittura. Nota: non è che dovete parlare solo di matematica, se vi viene da scrivere qualcos'altro fate pure. Quel blog è semplicemente un contenitore che si spera abbia poi materiale matematico.
- chi vuole fare il collettore per il primo Carnevale? Deve semplicemente ricordare qualche giorno prima della data prevista di scrivere un post ricordando a tutti di inviare i link ai propri contributi, e scrivere un post il 14 che racconti il tutto.

Niente roba mia questa volta, ma un ottimerrimo articolo segnalatomi da Marco d'Itri.
Non so se avete visto la pubblicità di BidPlaza.it, qualcosa tipo "la prima asta dove vince chi fa l'offerta più bassa". Magari vi siete anche chiesti come può funzionare tutto il sistema (dal punto di vista di quelli di BidPlaza, intendo). Bene, silentman spiega tutto, ma proprio tutto. Per chi ha fretta, ecco qua l'executive summary.
Innanzitutto, non vince chi fa l'offerta più bassa ma chi tra le offerte uniche ha fatto quella più bassa, un po' come quando si giocava a fiori frutti mari monti e si cancellavano le risposte uguali. In secondo luogo, tu i soldi della tua offerta i due euro per il privilegio di avere fatto un'offerta comunque li devi cacciare, anche se non hai vinto. Infine, gli esseri umani non sono capaci di scegliere dei numeri a caso.
Risultati pratici: BidPlaza ci guadagna qualcosa tipo il 1000%, sommando tante cifre piccole; se uno fa un'offerta è quasi certo che non vincerà; qualcuno al momento ha buone probabilità di vincita facendo tante offerte e scegliendo statisticamente quelle meno probabili.
Possibili sviluppi: più persone inizieranno a seguire la stessa logica, che quindi diventerà impraticabile. Lasciate pure perdere, insomma :-)

Le maggiori associazioni matematiche statunitensi (AMS, ASA, MAA, SIAM) ricordano che anche quest'anno aprile è il Mathematics Awareness Month. Non che sia la migliore delle scelte, dati tutti gli ormoni che salgono a mille, ma tant'è. Interessante il tema scelto quest'anno: "la matematica del voto". Chissà se conoscono il Porcellum.
Come i miei lettori più attenti si sono di certo accorti, io mi ero portato avanti col lavoro in maniera serendipitica, proprio sul tema prescelto: garantisco che non l'avevo fatto apposta. È anche vero che a quanto pare tutti questi conti sembrano spaventare la gente, ma su quello mi sa che io ci possa fare poco: lamentatevi con Calderoli. D'altra parte sono in un momento propositivo, e quindi lancio due idee.
- per i lettori che con la matematica non vanno molto d'accordo ma sono così compulsivi da essere riusciti a leggere fino a qua: c'è qualche tema dove secondo voi potrebbe entrare la matematica e che vorreste raccontato dalla mia spumeggiante prosa? Il tema non deve essere necessariamente sulla matematica del voto, in fin dei conti ci sono tante altre cose.
- per le amiche, gli amici, i compagni e le compagne [1] che un blog ce l'hanno e che si dilettano di matematica: ma secondo voi ci riusciamo a fare un Carnevale della Matematica [2] in italiano? Raccogliere insomma non dico ogni due settimane, ma una volta al mese i post di tema matematico (da quelli più ricreativi a quelli didattici: credo che i post a livello universitario siano scritti direttamente in inglese, e quindi sarebbero fuori tema qua). Che ne pensate?

[1] Tra la correttezza politica e il mischione del PD ormai è difficile indirizzarsi alle persone...
[2] Letteralmente "carnival" è più "sagra, festa popolare". Ma "sagra della matematica" è un po' troppo persino per me!

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)

Frazione è indubbiamente una parola latina, prestata solo in seguito alla matematica. Deriva infatti dal verbo "frangere", che significa "rompere": non per nulla un vetro infrangibile non si dovrebbe poter rompere. In italiano il termine è arrivato nel XIV secolo, presumibilmente per via ecclesiastica: tecnicamente, infatti, lo spezzare l'ostia nell'eucarestia è definita la frazione del pane, e addirittura la prima occorrenza latina di fractio è proprio in questo senso. Col tempo poi il significato è andato mutando, tanto che adesso si può parlare di una frazione dei partecipanti col significato di "una piccola parte"; il significato originario resta solo quando si "fraziona" un gruppo, o più spesso un partito politico, e in effetti si spezza l'unità precedente. Un altro esempio, un po' meno allegro, è dato dalla "frattura" di una gamba.
Il termine entra in matematica nel 1606, per opera del solito Galileo. Non ci vuole molto a capire come gli sia venuta in mente l'idea: ancora adesso, quando si vuole spiegare ai bambini delle elementari cosa sono le frazioni, viene fatta vedere loro una torta, o una tavoletta di cioccolato, che viene rotta in tante parti. Più facile di così...
Il tutto lasciando da parte la frazione di un comune, che naturalmente mantiene il significato di "piccola parte" e non quella di "rottura del comune a causa degli attriti tra le persone che vivono ai lati opposti della strada principale del comune stesso" come potrebbe sembrare a prima vista!

Su God Plays Dice ho trovato un simpatico - magari dopo essersi toccati - quiz "matematico". Se doveste stimare quante persone moriranno domani in tutto il pianeta, che numero sparereste?
Non vale cercare dati in giro né usare una calcolatrice. È gradito scrivere come è stata fatta la stima: la risposta può anche essere "a caso" :-)
La risposta la do più tardi nei commenti, anche se comunque è indicata nel post che ho linkato; posso però preannunciarvi che io ho sbagliato esagerando quasi di un fattore 3.

La settimana scorsa sono stato a Sanremo, e pur di evitare il Festival della Canzone Italiana mi sono infilato nel Casinò. Arrivato alla sala con le roulette, ho pensato che per passare la serata senza annoiarmi troppo avrei potuto provare l'ebbrezza di fare una serie di puntate. Come probabilmente sapete, la roulette è fondamentalmente un disco diviso in 37 settori uguali, numerati da 0 a 36. Puntando su un numero singolo, se questo esce mi danno indietro trentasei volte quanto ho giocato, altrimenti nulla. Il banco statisticamente guadagna 1/37 dei soldi puntati, più o meno il 2.7%, come si può facilmente vedere immaginando che ci siano 37 giocatori che puntino ciascuno la stessa cifra su un diverso numero. Io ho un budget di 105 euro, e decido di fare 105 puntate successive da un euro ciascuna, sempre su un numero singolo scelto lanciando il generatore di numeri casuali del mio palmare. La domanda che vi faccio è la seguente: qual è la probabilità che io esca dal casinò con più soldi di quando sono entrato?

Beh, il racconto è naturalmente fittizio: non sono stato a Sanremo, e non sarei comunque andato al Casinò. Ma la domanda è seria, e la risposta è assolutamente controintuitiva: è più probabile che io esca con più soldi di quelli con cui ho iniziato. Non credete a tutti quelli che vi dicono che se si gioca abbastanza a lungo si perde tutto: o meglio, è vero, ma 105 giocate non sono abbastanza. Per dimostrarvelo, mi spiace ma devo farvi vedere un po' di conti. Innanzitutto, è facile vedere che basta che io vinca tre volte per arrivare a possedere 108 euro, e quindi essere in vantaggio rispetto all'inizio. Facciamo ora i conti, anzi ve li faccio io perché sono sì una banale conseguenza del cosiddetto teorema binomiale, ma sono anche dei numeracci. La probabilità che io non vinca nemmeno una volta è (36/37)¹⁰⁵, pari al 5.63%. La probabilità che io vinca una sola volta è 105 * (1/37) * (36/37)¹⁰⁴, pari al 16.42%. La probabilità che io vinca due volte è (105*104/2) * (1/37)² * (36/37)¹⁰³, pari al 23.72%. La somma di tutte queste probabilità, arrotondata per eccesso, è il 45.8%; quello che resta, pari al 54.2%, è la probabilità che io vinca almeno tre volte. Persino sulla roulette americana, che aggiunge un secondo zero per assicurare guadagni ancora maggiori al banco, questa strategia farebbe tornare a casa con più soldi di quando si è partiti nel 52.4% dei casi.

Prima che vi fiondiate al più vicino casinò, però, vi consiglierei di continuare a leggere; non è infatti tutto oro quello che luccica. Naturalmente non vi ho fregato nel fare i conti, sarebbe stata una cattiveria gratuita. Garantisco che la probabilità che avrei avuto di uscire dal casinò con più soldi di quelli con cui ero entrato sarebbe stata del 54.2%. Il punto è che quella è la risposta giusta alla domanda sbagliata! Per dirla con altre parole, la domanda più naturale da farsi non è quella, ma "con quanti soldi uscirò in media dal casinò?" e la risposta a questa domanda è "con 102.16 euro circa", avendone cioè persi 2 euro e 84 (un trentasettesimo dei soldi puntati). Bel paradosso, vero? Beh, a dire il vero no, non è poi una cosa così paradossale; ora cerco di spiegarlo nella maniera più semplice che mi riesca.

Facciamo un esempio ben più drammatico, con la roulette sì ma quella russa. Abbiamo una pistola a sei colpi caricata con un proiettile, ruotiamo il caricatore, ce la puntiamo alla tempia e spariamo (nel senso di sparare, non di sparire...) Per evitare di sparare e poi spirare - a me piacciono i giochi di parole ma il sangue no - scelgo però una versione meno cruenta. La pistola non spara un vero proiettile, ma esce una bandierina con su scritto "BANG". Il gioco funziona così: se la pistola spara a vuoto, il banco vi darà 10 euro; se però siete colpiti da un BANG, voi dovete pagare al banco stesso 1000 euro. In questo caso, se vi chiedessero se siete d'accordo a fare una partita alla roulette russa, immagino che con ogni probabilità direste di no: il rischio di perdere 1000 euro è ben maggiore dei dieci euro che guadagnereste. Però, se ci pensate un attimo, in fin dei conti ve ne tornate a casa cinque volte su sei con più soldi, no? E allora, perché mai non dovreste provarci? La stessa cosa accade nel caso delle 105 giocate alla roulette, anche se in effetti è più difficile da vedere intuitivamente. È vero che si vince più spesso di quanto si perde, ma nella maggior parte dei casi si vince molto poco, e tornare a casa con un gruzzoletto è un'eventualità così rara che possiamo tranquillamente trascurarla. Dall'altra parte, invece, ci sono delle possibilità non trascurabili di perdere buona parte, se non addirittura tutti, i nostri soldi. Facendo la media, è un po' come se una persona riuscisse ad arrampicarsi per sei o sette volte di fila di un metro per volta, prima di scivolare in giù per dieci metri. Alla fine ci si scopre più in basso di prima, nonostante si salisse "quasi sempre".

Restando su questo tipo di paradossi, eccovi un metodo che vi dà più del 99% di probabilità di uscire dal casinò con un guadagno... sempre che vogliate correre il rischio di perdere 127 euro. La tecnica è semplice, e assomiglia alla martingala (se non sapete cosa sia, wikipedia è la vostra amica). Entrate con 127 euro. Scegliete una "puntata semplice" (sono quelle rosso/nero, pari/dispari, manque/passe cioè "piccoli/grandi"), e puntate un euro. Se vincete, prendete la vostra vincita e scappate via. Se perdete, giocate due euro sempre su una puntata semplice. Se stavolta vincete, il vostro totale netto è in attivo di un euro: di nuovo, prendete e andatevene. Continuate così, raddoppiando ogni volta la posta, finché non vincete oppure, dopo la settima giocata, vi siete persi tutti i soldi, e avete capito che l'azzardo non fa per voi :-) Ma qual è la probabilità di essere così sfigati? Beh, se non ci fosse lo zero avreste esattamente 1/2 di probabilità di perdere a ogni giocata, quindi la probabilità di perdere sempre sarebbe 1/128. Lo zero favorisce il banco, quindi la probabilità di finire in bolletta cresce: però rimane solo di poco più dello 0.94%, il che significa che in più del 99% dei casi potrete dire ai vostri amici "Visto? Sono stato al casinò e ho vinto!"

Lo so, non bisognerebbe mai fare una morale, quindi leggete queste ultime righe come semplici consigli. Innanzitutto, non sbertucciate immediatamente quelli che dicono "io vinco spesso al casinò": è possibile che abbiano effettivamente ragione. Ma soprattutto ricordatevi che non sempre la risposta giusta è quella alla domanda giusta...

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Oggi, più che di derivata, si sente parlare di derivati: quei contratti finanziari il cui valore dipende dall'evoluzione di un altro valore. Detto così non significa molto, ma se ce lo traducessero in "se l'azione X cresce dell'1% allora guadagnerai il 10%, ma se l'azione cala dell'1% allora perderai il 10%" magari inizieremo a capire che operare sui derivati non è effettivamente una cosa così bella. Ma che c'entra tutto questo con la derivata, intesa come funzione che viene calcolata mediante dei procedimenti che sembrano tanto esoterici (mai come gli integrali, ammetto però)? Beh, la storia è lunga.
In latino esisteva già il verbo "derivare", ma con un significato ben diverso. Il termine infatti deriva :-) da "rivus", ruscello, e aveva il significato di "condurre le acque fuori da". Questo significato è rimasto ancora oggi nella parola "derivazione", anche se più che alle acque di un canale si pensa oggi all'aggiunta di un cavo elettrico. Dante usò il verbo con il valore di "avere origine", ma già nel XVI secolo per Annibal Caro c'era il significato traslato di "trarre, dedurre". Ed è effettivamente questo il significato che è passato in matematica... solo che all'inizio si parlava di funzioni derivate "in genere", cioè funzioni che si ottenevano a partire da altre funzioni usando un operatore. Perché poi ci si sia limitati a chiamare così unicamente la funzione ottenuta con l'operatore di differenziazione... mi spiace, ma questa volta non sono riuscito a scoprire il perché. Oggi dev'essere una giornata non delle migliori. Mi sa che dovrà passare ancora un bel po' d'acqua sotto i ponti (magari deviata...)
Da un certo punto di vista, però, il significato più vicino a quello etimologico resta quello dei prodotti finanziari: basta pensare come posono scorrerci via i soldi se ci mettiamo a giocare pericolosamente in borsa.

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Le equazioni, nell'uso corrente, indicano qualche cosa di astruso, il simbolo stesso dell'incomprensibilità. Se uno "parla per equazioni", significa infatti che sta cercando di fare in modo che a nessuno sia concesso di comprendere gli alti concetti che sta esprimendo... Forse, ma proprio forse, qualche iniziato potrà avere una pallida idea, ma senza esagerare. Secondo me tutto questo è nato perché la q e la z, due lettere dal suono duro e piuttosto rare in italiano come ben sa chi gioca a Scarabeo™, si coalizzano per far sì che esca fuori questo significato; senza contare naturalmente la paura che la matematica incute sempre al 97% della popolazione.

Eppure la radice latina della parola "equazione" è la stessa di "equo", non naturalmente nel senso di cavallo (equus) ma di "giusto" (aequus). E in effetti le prime occorrenze in italiano di "equazione", che risalgono addirittura al XIV secolo, hanno proprio il significato di "uguaglianza, pareggiamento". Bisogna aspettare il 1712 perché Guido Grandi si prenda la parola e la porti nel mondo della matematica, con il significato appunto di uguaglianza. In effetti, se ci pensate bene, in un'equazione c'è un segno di uguale. Ancora nel diciannovesimo secolo, quando il termine entra anche nell'ambito della chimica, rimane in quel significato; è solo col passare degli anni che l'enfasi si sposta alla risoluzione, e quindi al trovare il valore dell'incognita o delle incognite ivi presenti... fino appunto ad arrivare all'incomprensibilità di cui scrivevo all'inizio!

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)

I cardinali, intesi come gli alti prelati della chiesa cattolica, sono così comuni in Italia che penso chiunque abbia sentito nominare il termine. Magari però a molti di loro non è mai venuto in mente di scoprire da dove giunga questa parola, e men che meno immaginano che anche i matematici hanno i loro cardinali!
L'origine della parola è latina: cardus significa "appoggio, cardine", proprio come quelli su cui una porta gira su se stessa. Poi, per un torinese come me, il cardo è la strada principale di un accampamento romano, assieme al decumano che gli è perpendicolare... ma qua andiamo un po' fuori dal seminato. Quello che conta è che "cardinale" sta a significare come senso traslato "qualcosa di fondamentale": i cattolici, oltre ai prìncipi della Chiesa, parlano anche di virtù cardinali - prudenza, fortezza, giustizia e temperanza, da non confondersi con fede, speranza e carità che sono virtù teologali - mentre i cartografi parlano di punti cardinali.
I matematici sono arrivati molto più tardi a sfruttare il nome: bisogna infatti aspettare la seconda metà del XIX secolo, quando sono iniziati tutti i dibattiti sui fondamenti della matematica e si è iniziato ad osservare piu attentamente i numeri naturali. Ci si è così accorti che da una parte i numeri potevano essere visti nel loro ordine appunto naturale (primo, secondo, terzo...), e hanno chiamato quei numeri ordinali; ma potevano anche essere visti ciascuno per conto proprio, guardando la loro grandezza. In questo caso, probabilmente, hanno ritenuto che questo fosse il concetto fondamentale, e così nel 1865 è entrato nel linguaggio matematico il termine "numero cardinale". Poi è arrivato Georg Cantor, che ha deciso che i cardinali potevano anche essere infiniti, e quindi i cardinali intesi come numeri si sono espansi più dei cardinali intesi come prelati. Addirittura, una volta che i logici si sono fatti prendere la mano, sono nati concetti astrusi come quello dei cardinali inaccessibili, che possono esistere ma non si possono definire come limite di altri cardinali; insomma, qualcosa di evanescente, anche perché dipende da una serie di assiomi che si vuole accettare come veri. Un bel salto, a partire dal significato iniziale: non trovate?

(ok, non ho scritto sulla tombola, anche se qualche idea ce l'ho. Però forse il concetto non è così diverso. E già che ci siete, fate un salto da proooof che spiega come funziona il gioco del 15!)

Oggi mi sento particolarmente buono e desideroso di farvi vincere un po' di soldini: vi propongo quindi un gioco d'azzardo tutto per voi. Le regole sono semplicissime: voi scegliete un numero da uno a sei e fate la vostra puntata; a questo punto io lancerò tre dadi (che garantisco essere perfettamente equilibrati). Se uno dei dadi uscirà con il numero da voi puntato, vincete la posta giocata (in pratica, se avete puntato un euro ve ne darò indietro due); se i dadi con il vostro numero sono due, vincerete due volte la posta; se avete più culo che anima e tutti e tre i dadi mostrano il vostro numero, vi pagherò ben cinque volte la posta. Tutto qua: non c'è trucco non c'è inganno.
Pensateci un attimo: preso un singolo dado, avete una possibilità su sei che esca con il vostro numero, quindi se puntate sempre un euro vi succederà che in media ogni sei euro giocati ve ne tornano indietro due. I dadi sono tre, e assolutamente indipendenti tra loro: quindi il gioco sarebbe equo se con tre numeri uguali al vostro usciti vinceste tre volte la posta, ma io sono buono e in quel caso vi pago anche di più. Insomma, la cosa si direbbe interessante, no?
Molto interessante, direi... tanto che casinò di tutto il mondo prevedono questo gioco, anche se in genere non danno il mio superbonus. Come si può leggere su Wikipedia (inglese), il gioco si può trovare in Gran Bretagna (col nome di Crown and anchor, "corona e ancora", perché i dadi usati hanno sulle facce i quattro semi delle carte da gioco e appunto una corona e un'ancora), negli Stati Uniti come Chuck-a-luck, nelle Fiandre come Anker en Zon, "ancora e sole", in Francia come Ancre, Pique et Soleil, e addirittura in Vietnam come "bau bau micio micio"... no, scusate, Bau cua ca cop che non so assolutamente cosa significhi ma sembra usi delle belle immagini orientali al posto dei nostri semi, soli, e simili. Magari a questo punto vi sarà venuto qualche dubbio! Bene, sono qua per fugarveli.

Analisi del gioco
Per vedere come mai il banco ha un discreto vantaggio in questo gioco, il metodo che probabilmente viene in mente è provare tutte le 216 (cioè 6*6*6) combinazioni possibili lanciando tre dadi, calcolare la vincita in ciascuno di questi casi, e vedere se è maggiore o minore del numero di combinazioni possibili. Tranquilli, non ho nessuna voglia di farlo, sono quelle cose che vi fanno poi dire che odiate la matematica: e avete perfettamente ragione. La matematica non è "fare i conti". Può essere in parte "sapere come fare i conti" (e poi infilarli dentro un programma al pc o anche solo un foglio excel), ma è soprattutto "vedere come si può arrivare alla soluzione del problema con la minore fatica possibile"... e ogni trucco, finché è "lecito" secondo le regole della matematica, è il benvenuto.
In questo caso, il metodo più semplice è pensare di puntare un euro su ciascuno dei sei numeri che possono uscire, e vedere cosa succede. In teoria dovremmo, almeno in media, ricevere sei euro o più per ogni possibilità. È proprio così? Vediamo.
- se i tre numeri che sono apparsi sono tutti diversi, vi tornano indietro tre degli euro giocati più tre di vincita: totale sei euro.
- se i tre numeri sono tutti uguali, vi torna indietro l'euro giocato su quel numero più cinque di vincita: totale sei euro.
- se ci sono due numeri uguali e un terzo diverso, vi tornano indietro due degli euro giocati, più uno di vincita per il singoletto, più due per la coppia: totale cinque euro.
Toh. Quando va bene siete in pareggio, ma ci sono delle volte in cui perdete; quindi in assoluto il gioco vi è sfavorevole. Fine della dimostrazione.
Purtroppo, per sapere quanto sia sfavorevole, bisogna fare i conti, e quindi devo andare contro quello scritto sopra su cos'è la matematica. Facciamo che vi fidate, e prendete per buono il risultato finale: una volta puntato su un numero prefissato, ci sono 75 casi in cui questo esca come singoletto, 15 in cui esce come coppia e uno in cui c'è la tripletta (negli altri casi non esce), il che con le regole che ho dato sopra significa un vantaggio per il banco praticamente del 7%, ben più ad esempio della roulette. State insomma ben lontani da chi vi propone questo gioco, lo dico per il vostro bene.

La spiegazione
Questo sembrerebbe proprio essere un paradosso: in fin dei conti il ragionamento iniziale secondo cui se il dato lanciato fosse stato uno solo si sarebbe in media rimasti con un terzo della posta non fa una grinza, e siamo tutti d'accordo che i tre dadi lanciati sono indipendenti tra loro... o no? abbiamo trovato una scoperta di importanza pari alla meccanica quantistica? Tranquilli, non è così. Nemmeno stavolta ci daranno il Nobel. Però, se guardate attentamente la dimostrazione "veloce" che ho scritto qui sopra per far vedere che il gioco non è equo, dovreste essere in grado di intuire dove sono "il trucco e l'inganno". Se invece non avete proprio voglia di scervellarvi, continuate a leggere qui di seguito!
Il punto chiave che permette di capire cosa succede è fare attenzione a come vengono calcolate le vincite. I soldi che ti ritornano indietro sono in parte quelli della vincita vera e propria, ma in parte quelli che sono stati puntati. Quindi è vero che i risultati dei lanci dei dadi, intesi come numeri che escono, sono indipendenti tra di loro; ma il nostro risultato, inteso come i soldi che ci ritornano indietro, non lo è. Se abbiamo puntato un euro su un numero, con il primo dado che esce con quel numero ci tornano indietro due euro, ma con il secondo se ne aggiunge uno solo in più, e non due come nel caso di vera indipendenza.
È più chiaro adesso il tutto? Se no, potete sempre scrivermi :-)

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Questa è una parola che mi sa tanto sia rimasta in testa a chiunque abbia finito le elementari. "Perimetro per apotema diviso due" tornerà sicuramente alla mente come formula esoterica da mormorare nei riti satanici... pardon, matematici; il significato si è perso nelle nebbie dei ricordi - per i curiosi, è la formula per calcolare l'area di un poligono regolare inscritto in una circonferenza - ma tanto si sa che la forza mistica racchiusa nelle parole non richiede di conoscerne il significato, ma solamente il suono.

Ad ogni modo, perimetro è una parola greca, come la maggior parte dei termini geometrici: il suffisso -metro sta per "misurare", mentre peri- ha il significato di "intorno", proprio come in "perizoma" e "periferia" (che poi sarebbe il termine greco per "circonferenza"... ma questa è un'altra storia). Il perimetro di una figura è quindi la lunghezza della parte più esterna di una figura; detto in altro modo, la somma delle lunghezze dei vari lati. Sembra ancora di vedere il protogeometra che disegna una figura per terra, pianta dei bastoncini in corrispondenza dei vertici, prende una cordicella e la mette tutta intorno. Misurazione molto pragmatica, non c'è che dire. In italiano non è comunque arrivata direttamente, ma per via del francese périmètre.

Purtroppo gli economisti si sono appropriati della parola, e nei bilanci dei grandi gruppi si legge spesso l'espressione "a parità di perimetro". In questo caso di poligoni non ne abbiamo, e men che meno di lati. Sempre di somme si parla, in effetti, ma sono le somme dei ricavi, o del numero di dipendenti, delle aziende che fanno parte del gruppo; quindi se ad esempio è stata ceduta una società del gruppo il suo "perimetro" si riduce. So già che cosa state per dirmi: l'analogia corretta non sarebbe con il perimetro, ma con l'area. Ma che pretendete dagli economisti?

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
La parola "ipotesi" è greca, e fin qui non ci piove. Magari però non avete mai pensato che esiste un suo perfetto corrispondente latino: "supposizione". L'etimologia è infatti dal greco hypo-, sotto, e -thesis, il porre. In italiano la parola è attestata a partire dal 1617, dal filosofo Giovanni Botero che lo usava con il significato di "congettura per spiegare fatti di cui non si ha una piena conoscenza".
Di per sé non è che ci sia una differenza enorme tra l'uso matematico e quello comune: però una differenza c'è. Infatti per un matematico l'ipotesi è sì una supposizione, ma che lui considera vera. Attenzione: l'ipotesi non è vera, ma viene presa per vera, come ad esempio nelle dimostrazioni per assurdo, dove il matematico spera appunto di trovare una contraddizione.
L'ipotesi che troviamo nel discorso comune è invece molto più vicina al significato "filosofico" che ho riportato sopra. L'ipotesi viene infatti buttata lì come spiegazione, e nessuno si preoccupa effettivamente se sia vera o falsa: basta che sembri spiegare i fatti. La differenza di approccio col matematico si vede eccome!

(le parole matematiche stanno di casa qui.)
La parola "incommensurabile" è uno di quei termini sicuramente copiati dalla matematica, ma che nel passaggio ha cambiato completamente il suo significato. Nell'uso comune, infatti, una grandezza è incommensurabile se è così enorme che non si riesce a stimarne il valore. Beh, che c'è di male? qualcuno si chiederà. C'è il prefisso in- e il termine "misura", no? Vero: però manca un pezzo, il -com-, che cambia tutto.
Per un matematico, infatti, non si parla di una grandezza ma di due grandezze tra loro incommensurabili. La dimensione non c'entra nulla; conta solo il fatto che le due grandezze sono tra di loro in rapporto irrazionale, e quindi non si può trovare un sottomultiplo con cui "misurarle" esattamente entrambe. L'esempio canonico di due grandezze incommensurabili è dato dal lato di un quadrato con la sua diagonale, e non si può certo dire che una delle due sia enorme! E in effetti la prima occorrenza italiana della parola è del solito Galileo, che la prese dal latino tardo di Boezio - il primo probabilmente cui venne in mente di coniare il termine, traducendolo dal greco.
Ci si può chiedere il motivo di un simile spostamento di significato: magari è semplicemente legato al fatto che la matematica sembra così complicata che non la si riesce a misurare! In effetti nel 1703 il Viviani ha usato il termine nel significato di "senza adeguato termine di paragone", e da lì c'è voluto poco a raggiungere il significato attuale. Sappiate però che stanno tutti sbagliando :-)

Per l'acculturazione del volgo, ecco due nuove parole matematiche. La (scarna) lista completa la trovate su Wikispaces.

La parola prodotto non è greca - non sia mai! - ma latina. Deriva infatti da "producere", che significa "fare avanzare", letteralmente "guidare avanti", con la stessa radice verbale che ci ha dato i conducenti e il Duce. In questo senso il verbo italiano si è trasformato in "produrre", e abbiamo espressioni come il Prodotto Nazionale Lordo che fa sempre bella mostra di sé nei giornali. La prima occorrenza in italiano, nella forma "produtto", è del solito Dante.
E allora come mai il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto? Colpa dei commercianti. Quelli hanno iniziato a parlare del "prodotto della vendita", che si calcolava moltiplicando il numero di oggetti venduti per il prezzo unitario. Visto che nel Basso Medioevo e ancora tra Umanesimo e Rinascimento i conti li facevano soltanto loro, il nome è rimasto appiccicato: però paradossalmente fino al sedicesimo secolo non se ne trova traccia: si vede che le moltiplicazioni le facevano solo in latino.

Parlando di prodotto, non si possono non menzionare i suoi componenti, vale a dire i fattori.
Il termine "fattore" fa probabilmente venire in mente il contadino che aveva una fattoria (ia, ia, oh!), o almeno lo faceva venire in mente fino a qualche decennio fa; ora non ne sarei più così sicuro. E in effetti, l'etimologia è proprio quella: il termine deriva dal latino "factor", "fabbricatore". Nell'antichità industrie non ce n'erano, solo artigiani, e dunque un posto dove si producevano tante cose era per definizione una "fattoria". La prima occorrenza in italiano della parola "fattore" col significato di "amministratore di un'azienda agricola" risale addirittura al 1288!
Non che il termine nel senso matematico sia poi così posteriore: già nel 1292 qualcuno ha pensato che i numeri che fabbricavano (facevano) il prodotto potessero essere tranquillamente chiamati fattori. Il bello è che non è stato un matematico a usare per la prima volta questa parola - anche perché nessun matematico avrebbe usato il volgare. Non ci crederete, ma la prima occorrenza matematica della parola si trova in... Dante. Sempre lui, inutile: non possiamo farne a meno.
Per curiosità, aggiungo che "fattoriale", quell'operazione che a partire da un numero ne ottiene uno molto più grande moltiplicando tra loro tutti quelli da 1 fino a lui, deriva sì da fattore, ma con un giro tortuoso: in effetti, la prima occorrenza del termine (nel 1892) aveva il significato "che si riferisce a un fattore".

Non penserete mica di esservela cavata, con le medie? Ne sono state definite di tutti i tipi, sempre per la solita ragione che in alcuni casi conviene usare una definizione diversa da quella abituale. Eccovi allora qualche altro tipo di media più esoterica: non garantisco che vi serviranno nella vita di tutti i giorni, ma magari vi permetterà di fare bella figura in società!
La media geometrica è l'evoluzione della media aritmetica, nel senso che invece che avere somma e divisione si usano il prodotto e l'estrazione di radice. Limitandoci a due termini a e b, la loro media geometrica è data da sqrt(ab); inutile dire che se i termini fossero stati N, avremmo
usato la radice N-sima. Il nome di questa media credo derivi dal fatto che se abbiamo un rettangolo di lati a e b, il quadrato della stessa area ha appunto come lato sqrt(ab); quindi ti permette di dire qual è il "segmento medio" quando pensiamo all'area di una figura. Se vogliamo vedere la cosa in un altro modo e nascondere le radici quadrate, possiamo dirla così: se a è la media aritmetica tra m e n, allora n-a = a-m. Se g è la media geometrica tra m e n, allora n/g = g/m.
La media armonica è più complicata da spiegare, visto che è "l'inverso della media aritmetica degli inversi". Nel caso di due elementi, la formula si semplifica un po', visto che da 1/((1/2)((1/a)+(1/b))) si può arrivare a scrivere 2ab/(a+b); la fregatura è che nessuno si ricorda mai la formula "semplice", e quindi si deve tutte le volte manipolare quella "complicata", ma sicuramente più logica. Mi sarebbe piaciuto poter dire che la media armonica serve per trovare la "nota di mezzo" tra due, ma un po' di conti fanno subito vedere che non è sempre vero. La media armonica tra un do e quello successivo sulla scala, ad esempio, è un fa e non un fa diesis; la media armonica tra un do e il sol superiore è però effettivamente un mi bemolle, il che ci rende un po' più felici. Ma niente paura: esiste davvero un tipo di misura per cui la media armonica è quella naturale. Supponiamo che abbia guidato per 10 chilometri alla velocità media di 30 Km/h e per altri 10 chilometri alla velocità media di 60 Km/h: quale sarà la velocità media complessiva? 45 all'ora? No. La media aritmetica sarebbe stata la risposta giusta se avessi guidato per dieci minuti alle due velocità: allora avrei percorso complessivamente 15 chilometri in venti minuti, e i conti sarebbero tornati. Invece ho impiegato venti minuti per fare il primo tratto e dieci per fare il secondo tratto; in tutto sono stato in auto per mezz'ora e ho percorso 20 km, con una media complessiva di 40 Km/h, che guarda caso è la media armonica di 30 e 60. Questa differenza è tra l'altro alla base di un problemino matematico semplice ma fuorviante. Immaginiamo che io voglia percorrere i 200 Km tra Milano e Bologna alla velocità media di 80 Km/h, ma visto il traffico sull'Autosole sia costretto a fare i primi 100 chilometri ai quaranta all'ora. Se d'improvviso dopo Parma sono spariti tutti, a che velocità devo andare per il resto del percorso per raggiungere la media che volevo fare all'inizio?

Anche gli ingegneri, poi, non volevano essere da meno e si sono inventati ancora un altro tipo di media, che chiamano media quadratica oppure valore efficace. Questo tipo di media è utile ad esempio nel caso si voglia calcolare la media di tensione della corrente alternata. La fregatura della corrente alternata è che a volte la tensione è positiva e a volte negativa: se si fa la media aritmetica viene fuori zero, e chiunque si sia preso una scossa capisce che c'è qualcosa che non va. Un approccio naïf potrebbe essere quello di prendere il valore assoluto di tensione e fare la media di quello; ma gli ingegneri - nonostante affermino il contrario - non amano le semplificazioni e hanno così pensato a un approccio più complicato. Per calcolare la media quadratica si prendono i vari valori, li si eleva al quadrato (capito il motivo del nome?), si fa la media dei nuovi valori ottenuti e si estrae la radice quadrata del tutto. In effetti, a dirla così, la cosa sembra davvero un'inutile complicazione: ma gli ingegneri hanno un asso nella manica e dicono che questo tipo di media tiene anche in conto quanto i dati sono dispersi... ma di questo ne parlerò un'altra volta, anche perché dire il vero non è che la cosa mi convinca troppo.
Quello che invece è interessante notare è che non solo se si prendono due numeri positivi tutte queste medie sono diverse tra loro - a meno che i due numeri siano uguali tra loro, ma allora a che ti serve farne la media? - ma sono sempre in un ben preciso ordine di grandezza relativa. Nella figura qui riportata, potete vedere cosa succede: dati due numeri (quelli in grigio in alto: rispettivamente 6 e 24) la media minore è quella armonica H, che nel nostro caso vale 9.6; segue la media geometrica G, che vale 12; poi c'è quella aritmetica A, che è 15; infine si ha la media quadratica E, che vale sqrt(306) e cioè quasi 17.5. Anche se in questo esempio le varie medie sembrano essere tutte ugualmente distanziate tra di loro, questo è un caso; quello che come dicevo non è casuale è l'ordine relativo tra le medie, che è sempre lo stesso. Addirittura per quanto riguarda la media aritmetica e geometrica, che sono le due più usate, la cosa assume il nome pomposo di disuguaglianza aritmetico-geometrica.

Ci sono ancora due tipi di media che si possono trovare leggendo i giornali; anch'esse hanno in fin dei conti diritto di esistenza, e quindi mi pare giusto parlarne un po'. La media pesata si usa... quando si vogliono confrontare mele con pere. No, non è così, ma l'idea è abbastanza simile. Supponiamo di volere calcolare il reddito medio degli italiani, partendo dal reddito medio degli abitanti delle varie regioni. La prima idea potrebbe essere quella di fare la media dei vari redditi. Però la Provincia Autonoma di Bolzano, con meno di mezzo milione di abitanti, ha un reddito quasi triplo della Sicilia, che di abitanti ne ha dieci volte tanto; fare una semplice media funziona peggio dell'esempio di Trilussa del mezzo pollo. Se non ci credete, provate a pensare a due gruppi, uno con dieci persone che non hanno un euro e uno con una singola persona che possiede ben dieci euro; la media non è certo di cinque euro a testa!
Il trucco per ottenere un dato sensato è moltiplicare il reddito medio delle singole regioni per il numero di abitanti della regione stessa, fare la media (aritmetica) dei risultati, e dividere il totale per il numero complessivo degli abitanti italiani. Abbiamo pertanto dato un "peso" ai singoli valori, peso calcolato sul numero di abitanti. Scritto così sembra chissà che cosa, ma concettualmente non è che sia poi così complicato: se il reddito medio degli altoatesini è di 40000 euro, e il numero di cittadini è mezzo milione, questo significa che è come se ciascuno di loro avesse quel reddito. Facendo quindi la moltiplicazione otteniamo il reddito totale della Provincia Autonoma, che si può sommare a quello delle altre regioni perché "sono tutte mele" (non c'è la parola "media"). Ma visto che la media dobbiamo alla fine farla, ecco che dopo occorre fare una divisione. Detto in un altro modo, la media pesata è una banale media, dove non si prende un singolo rappresentante per ogni elemento del nostro insieme, ma li si prende tutti, ovviamente dando loro lo stesso valore perché è l'unico che conosciamo. Il bello della media è che è vero che la distribuzione dei redditi tra le singole persone è molto disuguale, ma per fare i conti possiamo fare finta che siano tutti uguali: basta ricordarsi di prenderli però tutti, e non limitarsi a un solo rappresentante.
La media mobile si può trovare spesso nelle pagine di economia. Prendiamo il valore di un'azione quotata in borsa. Soprattutto se l'azione non è una delle più trattate, da un giorno all'altro ci sono spesso delle variazioni consistenti, che però alla lunga più o meno si annullano. Oppure consideriamo il numero di copie vendute da un giornale - o il numero di lettori del mio blog. Un quotidiano sportivo vende molte più copie il lunedì, mentre per un quotidiano economico il lunedì è una giornata morta; i miei pochi lettori durante il weekend hanno generalmente qualcosa di meglio da fare che vedere se ho scritto qualcosa... o più probabilmente durante la settimana sono così scazzati che pur di fare qualcosa si mettono a leggermi. In ogni caso, il valore di un singolo giorno ha un'importanza relativa, se voglio sapere la tendenza sul lungo periodo. Bene, il sistema più semplice per ridurre l'influsso di valori spuri è quello di calcolare la media su un numero prefissato di valori: sette giorni nel caso del giornale, magari un intero mese per il titolo azionario. Nel primo caso, la variabilità delle quotazioni è semplicemente nascosta dal grande numero di dati usati; nel secondo caso il ragionamento logico che si fa ha una sua correttezza formale, perché confronti dati coerenti, anche se si spostano (ecco il perché la media si chiama "mobile"!) nel tempo. Le due tabelle disegnate qui sopra mostrano il numero di accessi al mio blog nelle ultime sei settimane; converrete che è molto più semplice vedere qual è la tendenza guardando la media mobile settimanale a sinistra, piuttosto che con il grafico giornaliero a destra. Abbiamo ancora una volta di fronte a noi il potere della media: eliminare dettagli inutili per la nostra analisi, e permetterci di concentrarci su quello che ci interessa realmente.
Per calcolare la media mobile su una finestra di N valori, occorre salvarsi tutti gli ultimi N+1 valori. Il procedimento banale consiste nel sommare gli N numeri e poi dividere per N, ma nel caso N sia grande il calcolo potrebbe dimostrarsi tedioso. Un sistema molto più semplice è prendere il valore della media attuale, e sommargli un N-simo della differenza tra il valore attuale e quello a distanza N. Chi ha voglia di fare i conti può vedere come il conto equivale a buttare via il valore più vecchio e mettere al suo posto quello appena trovato, che poi è l'operazione che si vede capitare se ritagliamo una finestrella da un pezzo di carta, la posizioniamo sul foglio con i nostri dati e la spostiamo di una posizione a destra. Come sempre, nulla di complicato, almeno fino a che non te lo nascondono dietro una serie di paroloni!
Per il momento questo è tutto. Non mi sono dimenticato che ho promesso anche di parlare della varianza e di tutte le belle cose correlate, però preferisco non mettere troppa carne al fuoco. Commenti e segnalazioni di errori, imprecisioni e incomprensibilità sono come sempre i benvenuti.

(come sempre, correzioni e suggerimenti sono i benvenuti)

Calcolare qual è la media di un insieme si direbbe un'operazione abbastanza tranquilla, e che non dovrebbe dare problemi di sorta: in fin dei conti, si sente parlare persino sui giornali di medie qua, medie là, e così via... Beh, è vero che non ci sono chissà quali concetti complicati dietro di essa, però è anche vero che non sempre la media per così dire naïf è la cosa che vorremmo davvero sapere; e quindi possiamo essere tranquillamente fregati da chi sa giocare con i numeri. Ecco dunque un po' di informazioni che potranno aiutarvi a districarvi in mezzo alla media!

Innanzitutto, qual è il significato per così dire "filosofico" della media? È un valore che viene tirato fuori a partire da insieme di valori distinti. In genere questi valori sono monodimensionali: li possiamo insomma mettere in riga, come ad esempio le altezze dei ragazzi in una classe, simularli con tante barrette verticali e tirare fuori il nostro numerino. Non è detto che si possano fare proprio sempre delle barrette: se ad esempio calcoliamo la velocità media di un viaggio, abbiamo infiniti istanti di tempo su cui fare la media, e così sfruttiamo il trucco di usare spazio e tempo complessivi che sono stati percorsi invece che la velocità istantanea. Però avremmo potuto anche misurare la velocità ogni secondo e ritornare a vedere le nostre barrette. Esiste anche una media calcolata su dati multidimensionali. Un esempio non è tanto l'altezza media del territorio di una nazione (possiamo suddividerla in tanti pezzetti quadrati della stessa dimensione, e poi mettere i quadratini in fila invece che sparsi per il territorio), quanto il punto medio di una scarica di pallini contro un bersaglio.
In tutti i casi, però, capita una cosa molto importante: si perde informazione. Non c'è nulla di male, intendiamoci: la ragione principale per prendere la media è proprio il fatto che non riusciamo oppure non vogliamo gestire troppa informazione, e ci accontentiamo di una specie di Bignami. La cosa a cui dobbiamo stare attenti, però, è che non esiste il metodo giusto per prendere un unico valore, come vedremo tra poco.

Chi fa statistica, in effetti, distingue ben tre tipi di media (in inglese, "average"); non è un loro vezzo, ma una necessità. Parleranno pertanto di media, mediana e moda: in inglese, i nomi sono rispettivamente mean, median e mode. La media è quella che tutti noi ci si aspetta, vale a dire la media aritmetica: si fa la somma dei elementi tra cui fare la media, si divide il risultato per il numero degli elementi stessi, e quello che esce fuori è la media. La mediana si calcola invece mettendo in fila tutti gli elementi, e prendendo il valore di quello di mezzo; se il numero di elementi presenti è pari, e quindi non c'è "quello di mezzo", si prendono i due "più di mezzo" e si fa la loro media aritmetica. Resta infine la moda, detta anche norma, che è la meno intuitiva; eppure il suo significato è logico. Quando si dice che una cosa è "di moda"? Quando la usano tutti. Allo stesso modo, la moda di un gruppo di elementi è il valore che capita più spesso. Nel caso ci siano due o più valori con lo stesso numero di occorrenze, generalmente si dice che la moda non è definita; d'altra parte, se esiste, è sicuramente un valore tra quelli osservati, mentre la media non è detto lo sia e la mediana lo è sicuramente solo nel caso di un numero dispari di elementi in totale. Tanto per aggiungere un disegnino, nella figura di destra ho preso alcuni numeri (1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 e 15), li ho messi in fila belli ordinati, e ho indicato quali sono la loro media, mediana e moda.

Così a pelle ci si potrebbe chiedere che senso hanno mediana e moda, che possono essere ben lontane da quella che naturalmente associamo alla media, come possiamo ad esempio vedere nella figura qua a fianco, dove la moda è addirittura uno dei valori estremi della nostra distribuzione. Il punto è che ci sono alcuni tipi di misurazioni che conducono in maniera naturale a questi valori, solo che non ci facciamo mai caso.
Ad esempio, quando si vuole sapere se un bambino è più grande o più piccolo della media, non si guarda l'altezza media dei bambini ma si piglia la mediana, per due ottime ragioni: la prima è che i dati troppo lontani dalla norma vengono automaticamente resi irrilevanti, la seconda è che interessa appunto sapere quanti bambini sono più alti o più bassi (oppure più o meno pesanti). Addirittura il concetto di mediana si espande: perché limitarsi a dividere il nostro campione in due sole parti? Abbiamo così i
quartili (si divide il nostro gruppo in quattro parti), i decili (la divisione è in dieci parti), o i percentili (cento parti). Quindi se ti dicono che il tuo test è risultato nel novantasettesimo percentile, magari hai sbagliato metà delle domande e non puoi sapere cosa hanno fatto gli altri: però sai che solo il 3% ha fatto meglio di te, di poco o di tanto che sia.
Per la moda, pensate a quando vi dicono "il vostro biglietto è stato sorteggiato alla lotteria di Tu-campa-cavallo-al-colle. Ci sono dieci premi: uno di 10000 euro e nove di 1 euro". Ora, è vero che la vostra vincita media è leggermente superiore ai 1000 euro; ma credo sarete d'accordo con me quando affermo che quello che potete aspettarvi è di avere vinto un euro, cioè la moda dei valori dei premi. Insomma, la moda ti serve quando non ti interessa un dato prettamente teorico come la media, ma vuoi sapere cosa ti puoi statisticamente aspettare per davvero. È roba per la gente coi piedi ben piantati in terra!

(nella prossima parte, racconterò di altri tipi di media: geometrica, armonica, mobile e pesata... Chissà se parlerò mai di cose turpi tipo varianza e skew che sono le damigelle d'onore della media!)

(Trovate questo post tra le mie pagine di matematica light!)
Mi capita relativamente spesso di essere in giro con amici o conoscenti, parlare di operazioni matematiche elementari, e sentirmi chiedere "ma la prova del nove
funziona davvero?" Sono insomma chiare due cose: il concetto è rimasto così impresso agli alunni delle elementari che affiora anche dopo più di trent'anni, e - a parte il nome - il suo funzionamento è sempre stato visto come qualcosa di esoterico e più vicino ad Harry Potter ("accio novem!") che a una vera proprietà matematica. D'altra parte, ci credo: a nessuna maestra alle elementari verrebbe in mente di spiegare il perché la regola funziona, ammesso che almeno loro lo sappiano. Ma finalmente potrete soddisfare la vostra pluridecennale curiosità.
Innanzitutto, forse è meglio ricordare cos'è la prova del nove. Quando si fa una moltiplicazione (247*53=13091, tanto per fare un esempio pratico) a ogni numero presente nell'operazione sostituiamo quello formato dalla somma delle sue cifre; se la somma così ottenuta ha più di una cifra, sommiamo quelle cifre e si prosegue fino a che non arriviamo a una singola cifra. Nel nostro esempio, avremo pertanto 2+4+7=13, 1+3=4; 5+3=8; 1+3+0+9+1=14, 1+4=5. A questo punto, facciamo il prodotto delle cifre dei fattori, e se serve sommiamo le cifre del risultato per arrivare ad averne una sola (4*8=32, 3+2=5). Se questa cifra è diversa da quella del risultato dell'operazione, vuol dire che abbiamo sbagliato da qualche parte; se invece è la stessa, forse siamo riusciti a fare il conto correttamente. Come ausilio pratico, si mettono i quattro numeri all'interno di una croce, come mostrato nella figura qui sotto. Non garantisco che
la posizione dei numeri nella croce, come indicata nella figura qui a sinistra, sia quella che ci insegnavano a scuola: qualche dettaglio ormai l'ho perso anch'io!
Per quali operazioni funziona la prova del nove? Addizioni, sottrazioni - basta ricordarci di sommare un 9 se il minuendo ha la somma delle cifre minore del sottraendo, come in 23-7 - e moltiplicazioni. Con le divisioni no, anche se puoi usare il trucco di rifare il calcolo "alla rovescia", cioè vederle come moltiplicazioni, e applicare così la regola. Ad esempio, se dobbiamo verificare 31415/926 = 33 con resto 857, facciamo la prova con 33*926, cioè 6*8 = 48 e quindi 3, gli sommiamo la somma delle cifre di 857, vale a dire 2, e controlliamo se il risultato 5 è uguale alla somma delle cifre di 31415... e per fortuna lo è.
Passato lo choc di avere visto tutte queste operazioni aritmetiche tutte in una
volta, provo a spiegare perché la prova del nove funziona, e soprattutto perché a volte non funziona. Il punto di partenza è quella che tecnicamente si chiama "aritmetica modulare" e che facciamo tutti quando diciamo che "le undici del mattino più tre ore sono le due del pomeriggio". Immagino che chi mi sta leggendo o sa già cos'è l'aritmetica modulare, oppure verrà a chiedermelo e io mi metterò a scrivere qualcosa di più completo al riguardo: per il momento mantengo la prima ipotesi. In pratica, la prova del nove non è altro che fare l'operazione modulo 9, sostituendo cioè ai numeri trovati il loro resto quando li si divide per nove. Le operazioni in aritmetica modulare funzionano per addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni: quello che ci resta da capire è come mai il resto modulo 9 di un numero è uguale alla somma delle sue cifre, il che però è facile. Infatti 1 diviso per nove fa 0 con resto di 1; 10 diviso 9 fa 1 con resto di 1; 100 diviso 9 fa 11 con resto di 1; e così via. Quindi se riprendiamo il nostro 247 e lo scriviamo come 2*100 + 4*10 + 7 scopriamo che il suo resto diviso per 9 è 2+4+7... esattamente la somma delle sue cifre.
È stato pesante, lo so. Ma adesso viene fuori il bello. Perché si fa la prova "del nove" e non "del sette" oppure "del quindici"? Dal punto di vista matematico, è esattamente la stessa cosa: sempre di aritmetica modulare di tratta. Solo che sommare le cifre di un numero è molto più semplice di calcolare il suo resto modulo 7 oppure 15 (provateci voi, se siete dei temerari). Così ci si limita a fare un calcolo facile, accettando il fatto che non tutti gli errori vengono trovati. Infatti, se ad esempio si sostituisce uno 0 con un 9 la somma finale delle cifre del numero non cambia; ma quel che è più preoccupante è che se ci sbagliamo e scambiamo tra di loro due cifre (10391 invece che 13091) la somma delle cifre è per definizione la stessa, e chiunque sia appena un po' dislessico - oppure sbagli semplicemente a incolonnare i prodotti parziali - rischia grosso.
Ma io una soluzione ce l'avrei anche: adottare la prova dell'undici. La logica che sta dietro è esattamente la stessa, solo che si calcola il resto della divisione per 11 e non di quella per 9. Calcolare questo resto è un po' più complicato, ma nemmeno poi troppo: il metodo consiste nel sommare e sottrarre alternativamente le cifre del numero dato, partendo da destra e andando a sinistra. Se si va sottozero, basta naturalmente aggiungere 11. I resti che possiamo ottenere saranno i numeri da 0 a 10; nell'operazione di cui sopra avremo per la precisione 7-4+2=5, 3-5=9 (previa l'aggiunta di 11); 1-9+0-3+1 = 1; 9*5=45; 5-4=1. A parte vedere se si è
bravi anche a fare le sottrazioni, il che non sarebbe poi così male, il vero vantaggio è quello di potere accorgersi di avere scambiato di posto due cifre, oppure non essersi spostati bene a sinistra quando si è fatta la moltiplicazione. Se avessimo ad esempio allineato a destra i due prodotti parziali 741 e 1235, la somma sarebbe stata 1976, e la prova del nove ci avrebbe detto nulla di strano: la somma delle cifre è sempre 5. La prova dell'undici, in compenso, avrebbe fatto subito suonare un campanello d'allarme: avremmo avuto come risultato 7 (6-7+9-1) e non 1. E scusate se è poco!

(Una versione più ampia e spero più completa di questa notiziola si trova sul mio sito. Commenti sempre benvenuti!)
È un po' che non scrivo di "matematica leggera": però lo spunto che GaS mi ha mandato in un messaggio privato mi pare interessante, e spero che anche per voi sia lo stesso.
Il punto di partenza è questa recensione - che non è mia, mi affretto a precisare - dove viene enunciato il seguente teorema: Se nello schema iniziale di un sudoku appaiono solo sette numeri diversi (ripetuti quanto si vuole: magari lo schema ha 24 numeri preinseriti, ma solo sette di questi ), allora il sudoku non ha una soluzione unica. (e quindi, aggiungo io, non apparirà mai sui giornali).
Per uno che è abituato a masticare un po' di matematica, la dimostrazione è immediata, quindi è inutile che me la scriviate: mi fido. Sono più interessato a sentire commenti di persone che si divertono a risolvere i sudoku, ma sono convinti di non capire nulla di matematica. Non ci sono premi, ma nemmeno gogne pubbliche; il vantaggio di moderare i commenti è che non debbo necessariamente renderli pubblici. Se qualcuno non si fida delle sue capacità, posso anche dargli un aiutino, basta che me lo chieda privatamente.
Perché tutto questo? beh, mi piacerebbe sfatare qualche mito. Perché diciamocela tutta: la matematica è come qualsiasi altra cosa. Ci sono cose difficili se non impossibili, e cose alla portata di tutti. L'importante è non darsi per vinti in partenza.

Tra i commenti a un post precedente, hronir ha scritto:

Una delle cose che piu' mi impressiona(va) dei matematici (all'universita') era proprio questa loro mania di precisione. Ricordo una sessione di open-day per gli studenti delle superiori, in cui un trio di matematiche, cercando di invogliare gli studenti ad iscriversi alla loro facolta', ne elogiavano entusiaste quel suo tratto essenziale di insegnarti la "precisione" nelle cose. [...] Tutt'ora ho un'idea della matematica moooolto lontana da una cosa "da precisini" che poteva intuirsi dalla matematica del liceo. E del resto, se penso a interi settori come la geometria (algebrica, topologica, metrica, proiettiva, differenziale...), la teoria dei gruppi, la teoria della misura... la matematica del liceo non c'entra niente, e' mera computazione!

Ora, è indubbiamente vero che la "matematica", così come si vede a scuola, è completamente diversa non solo dalla matematica "di ricerca" ma anche semplicemente da quella universitaria. Io, che spesso faccio conti per iscritto o a mente, sono effettivamente fuori dai canoni del Vero Matematico. Però la storia della "precisione" è un po' più complicata, e non può essere liquidata così. Lo spiega molto bene Ian Stewart (immagino), nel libro Darwin's Watch: Science of Discworld III, che prima o poi recensirò. Ecco la sua citazione, graziosamente tradotta dal vostro affezionato blogghettaro:

Lo sviluppo di nuove idee matematiche tende a seguire un modello ideale. Se i matematici dovessero costruire una casa, partirebbero dai muri a pianterreno, librantisi senza supporto mezzo metro sopra la soletta catramata... o dove sarebbe dovuto esserci la soletta catramata. Non ci sarebbero porte o finestre, solo buchi della forma giusta. Una volta arrivati al primo piano, la qualità dei muri sarebbe migliorata enormemente, le pareti interne sarebbero intonacate, porte e finestre sarebbero tutte al loro posto, e il pavimento sarebbe sufficientemente robusto per poterci camminare su. Il secondo piano sarebbe ampio, ben rifinito, pieno di tappeti, con quadri sui muri, mobili a iosa, tutti bellissimi anche se di stili che fanno tra loro a pugni, sei tipi diversi di tappezzeria in ogni stanza... L'attico, in compenso, sarebbe poco arredato ma elegante - design minimalista, nulla fuori posto, tutto quello che c'è con uno scopo ben preciso. A questo punto, e solo a questo punto, i matematici tornerebbero al pianterreno, scaverebbero le fondamenta, le riempirebbero di cemento, metterebbero la soletta incatramata, ed estenderebbero in giù i muri fino a raggiungere le fondamenta.
Alla fine di tutto questo si avrebbe una casa che si regge in piedi, ma che per buona parte della sua esistenza sarebbe sembrata altamente improbabile. Però i costruttori, tutti eccitati nel far crescere i muri fino al cielo e decorare gli interni, sarebbero stati troppo impegnati per accorgersene, fino a che gli ispettori edili non avrebbero piantato il naso nelle falle strutturali.

La metafora a me pare davvero bella e azzeccata. Chi fa matematica - e non penso solo ai matematici di professione, ma anche semplicemente a chi si diverte a risolvere i problemini matematici... - non sa assolutamente dove andrà a finire, ma non si preoccupa più di tanto della cosa: la cosa principale è trovare il risultato, nella metafora costruire il primo piano. Se poi in effetti si fa matematica sul serio, si iniziano a buttare giù risultati su risultati (il secondo piano), senza preoccuparsi più di tanto di metterli insieme organicamente: quello al limite è un passo successivo, dove si sfronda tutto quello che non serve direttamente (l'attico). Il guaio è che la matematica che ti insegnano a scuola è appunto l'equivalente logico dell'attico. Capisco che alcune di queste cose ti dovrebbero servire nella vita - anche se già sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado avrei dei dubbi - e non è che si possa stravolgere i programmi di studio. Ma se devo essere sincero comprendo anche il disagio, per non dire lo spavento, di chi si trova queste costruzioni perfettine e senza sbavature. Ci credo che poi resti questa idea della mania di precisione; purtroppo ci sono cascate anche le tre matematiche citate da hronir. Non tutti sono perfetti.
E le fondamenta, starà pensando qualcuno? Beh, il matematico tipico non si preoccupa più di tanto, visto che sa che prima o poi ci sarà qualcuno che gliele farà :-)

(Nota: se sei arrivato qua con un motore di ricerca, ti conviene guardare la versione riveduta...)
Ho trovato casualmente la notizia qui, ma non sono riuscito a trovare nessuna conferma in giro. (beh, no, wikipedia lo indica)
Cohen è noto tra i matematici per avere dimostrato che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi usuali per l'aritmetica... Occhei, ricominciamo da capo.
Poco più di cento anni fa, Georg Cantor ha deciso che l'infinito matematico non era una semplice convenzione, ma che esisteva davvero. Detto in altre parole, si poteva dare una definizione sensata dell'infinito: un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria. I numeri interi sono insomma infiniti perché possiamo dire che i numeri pari sono tanti quanti gli interi, associando a ogni intero n il numero 2n. Poi, con l'argomento diagonale, Cantor si è accorto che i numeri reali sono più degli interi, e quindi che esisteva più di un infinito: per la precisione ce ne sono infiniti.
A questo punto restava un dubbio: l'infinito corrispondente ai numeri reali è quello "subito dopo" quello corrispondente ai numeri interi, oppure ce ne sono altri in mezzo? L'affermazione per cui l'infinito dei numeri reali è immediatamente successivo a quello degli interi prese il nome di ipotesi del continuo, e fu posta da David Hilbert in cima alla sua famosa lista dei 23 problemi matematici per il XX secolo. (A Hilbert le teorie di Cantor erano piaciute tantissimo, ecco il perché di questa posizione di onore). Il problema rimase inattaccato per vari decenni, fino a che nel 1940 Kurt Gödel, non pago di avere dimostrato che la matematica o è incompleta o incoerente, riuscì a provare che l'ipotesi del continuo non era falsa: insomma, se gli altri assiomi matematici standard sono coerenti, aggiungere l'ipotesi del continuo lascia tutto l'insieme coerente. Gödel tra l'altro era convinto che l'ipotesi del continuo fosse vera; peccato appunto che nel 1963 Paul Cohen dimostrò che anche l'opposto dell'ipotesi del continuo non era falsa. (Notate la tripla negazione della frase...) Il risultato pratico è che uno può decidere di fare matematica accettando l'ipotesi del continuo oppure negandola: piena libertà! Che poi - almeno a quanto ne sappia - nessuno si preoccupi più di tanto della cosa tranne qualche logico matematico non significa nulla...

Adesso non venite a lamentarvi che questa non è matematica, ma informatica. Lo so benissimo, anche se dal mio punto di vista le differenze sono relativamente minori (ho dato esami di informatica a matematica, e viceversa). Però sono notoriamente pigro, la parte principale di questo testo l'ho buttata giù al volo perché mi è stata chiesta, e non vedo perché non riciclarmela in altro modo... senza contare che può anche servire per chi non è interessato né alla matematica né all'informatica. E poi, se dobbiamo dirla tutta, sintassi e semantica si usano anche in logica matematica, quindi non è che io sia così fuori tema!
Si sente spesso parlare di sintassi, semantica e grammatica di un linguaggio di programmazione. Se uno si ricorda ancora cosa faceva a scuola, i nomi - almeno grammatica, su... - non sono nuovi; e in effetti il loro significato deriva più o meno direttamente proprio da quello che usano i linguisti. Vediamo qual è il loro significato, partendo proprio da quello che hanno nelle lingue reali.
Partiamo dalla semantica. In linguistica, la semantica è lo studio del significato delle parole e delle frasi in una lingua; detto in parole povere, "che cosa vuol dire quello che c'è scritto?" Nei linguaggi di programmazione, capita esattamente lo stesso: la semantica di un algoritmo è quello che l'algoritmo fa... ammesso naturalmente che non ci siano dei bachi. Similmente, nella logica matematica la semantica è l'interpretazione di una formula. Per fare un esempio, se scrivo ∀x (∃y: y=x+1) la sua semantica è "per tutti gli x possiamo trovare un y che vale x+1". Se vogliamo rimanere più terra terra, se scrivo 2+2=4 la sua semantica è "due più due è uguale a 4".
La sintassi indica come bisogna scrivere la frase perché sia corretta; ad esempio scrivere "qual'è" è sintatticamente scorretto, mentre "qual è" è corretto. In un linguaggio di programmazione come il perl, una regola sintattica è ad esempio che le variabili devono iniziare con $, gli array con @ e gli hash con %, o che una componente di un array è $a[x] mentre una di un hash è $a{x}. La parte più importante da tenere a mente è che la sintassi è una convenzione: non c'è nessuna ragione teorica perché gli elementi degli array stanno tra quadre e quelli di un hash tra graffe, esattamente come non c'è nessuna ragione teorica perché in italiano si accentino solo le parole tronche e non anche le sdrucciole come ad esempio in spagnolo. Notate che la sintassi è facilmente riconoscibile anche da uno stupido com'è un calcolatore: se uno scrive un programma, può capitargli che gli compaia il messaggio di errore "syntax error", ma non certo "semantic error"! Anche nella logica matematica, le formule sintatticamente corrette sono quelle che hanno un senso, anche se magari non sono vere. Ad esempio, tra i numeri interi la formula ∀x∈N (∃y∈N: y=x/2), che dice "per ogni numero intero ce n'è un altro pari alla sua metà", è sintatticamente corretta ma falsa, visto che ad esempio 1/2 non è un intero. La formula ∀=x/N (y∈N: y∃x∈2) non vuol dire nulla, e quindi non è sintatticamente corretta.
La grammatica, infine, è l'insieme delle regole per comporre le frasi (soggetto - verbo - complementi...) , a partire dalle varie parti che la compongono e che hanno dei ruoli diversi (verbo, nome, preposizione...). Nei linguaggi di programmazione il concetto di grammatica è molto più specializzato, perché esiste un insieme di regole formali che permettono di generare tutti i programmi sintatticamente corretti, applicando man mano delle trasformazioni. Anche nella logica matematica ci sono queste regole formali, però stranamente non viene dato loro un nome specifico, almeno per quanto ne so.
Ricapitolando, la semantica dà il significato, la sintassi il modo corretto di scrivere, e la grammatica dà le regole per scrivere correttamente. Vista così, la cosa non è nemmeno troppo complicata; ma basta relativamente poco e arriva uno come Gödel a mischiare le cose (perché il Numero di Gödel usato nel suo teorema di incompletezza non è poi altro che un modo di trovare una formula il cui signficato semantico riprende la formula stessa, invece che essere al di fuori del sistema). Ma credo di avervi già perso, stavolta...

Chi ha la mia ormai non più verdissima età forse si ricorderà che la sua antologia scolastica conteneva una poesia - molto sperimentale... - che parlava di "coniglipolli". Questa poesia era una specie di araba fenice, e non ci si ricordava nemmeno l'autore: non possiamo che ringraziare la rivista Rudi Mathematici, che dopo avere lanciato un accorato appello è riuscita a scoprire che è un'opera di Elio Pagliarani da "La merce esclusa". Nel sito di RM potete leggere la poesia, che garantisco merita davvero; io mi limito a un suo riassunto e a una considerazione matematica.
La poesia espone un problema aritmetico, di quelli che vengono dati a scuola dalla maestra e che probabilmente sono la causa principale della disaffezione, quando non addirittura dell'odio, per la matematica. Ecco il testo.
Un ragazzo vede conigli e polli in un cortile. Conta 18 teste e 56 zampe. Quanti polli e conigli ci sono nel cortile?
Il metodo di soluzione esposto nella poesia prevede di considerare un conigliopollo, animale con due teste e sei zampe. Diciotto teste sono quelle di 9 coniglipolli, che hanno in tutto 54 zampe: quindi ce ne avanzano due. Come facciamo? Nessun problema: introduciamo anche il coniglio spollato, animale ottenuto togliendo un pollo da un coniglio e quindi con 1-1 = zero teste e 4-2 = due zampe. In tutto quindi abbiamo 9 coniglipolli e un coniglio spollato; vale a dire ("ed ora i conigli coi conigli e i polli coi polli", come scrive Pagliarani) 9+1=10 conigli e 9-1=8 polli. Et voila.
Ora, dal punto di vista prettamente matematico abbiamo semplicemente fatto un cambio di variabili: X=x+y, Y=x-y. Niente di che. Ma a pensarci un attimo su, l'idea è semplicemente stupenda. Esci completamente dalla realtà - quanti coniglipolli hai mai visto in vita tua? - e in questo modo trasformi quello che, diciamocela tutta, è un noioso esercizio in una scena surreale che ha l'enorme vantaggio di farti calcolare la risposta in un attimo, persino a mente se ne hai voglia. La matematica, in fin dei conti, è anche questo: la ricerca di un modo per risolvere i problemi semplificandoli, un po' come nella barzelletta con la pentola d'acqua da fare bollire dove il matematico se trova la pentola già piena d'acqua la butta via "per ritornare al caso precedente".
Peccato che questa cosa non s'ha da fare; sempre dalla poesia, "non che violasse le leggi è che dissero basta / la famiglia gli amici gli esempi dei libri di testo". Eppure mi chiedo cosa penserebbero gli alunni se una maestra proponesse loro il problema mostrando questa soluzione... forse non avremo dei matematici in più, ma magari almeno ci sarebbe un po' meno gente spaventata dalla matematica.
(Grazie a Layos per il disegno del conigliopollo!)

[Questo testo è stato scopiazzat... ehm, ispirato dal post di Mark C.Chu-Carroll su Good Math, Bad Math. Commenti più che benvenuti!]
Il concetto della "retta dei numeri", quella simpatica astrazione per cui tutti i numeri razionali e irrazionali se ne stanno belli belli l'uno a fianco dell'altro, è abbastanza noto, almeno per chi ha fatto il liceo. Non tutti però sanno che i matematici non si sono accontentati di restarsene confinati in uno spazio monodimensionale, e si sono lanciati in dimensioni sempre maggiori. Stavolta non parlo dei vettori, che sono gruppetti di numeri separati tenuti insieme per un unico scopo, a differenza dei partiti in una coalizione di governo in Italia: in questo caso avremo sempre a che fare con numeri singoli.
Il primo tipo di numeri che incontriamo nel nostro giro sono quelli complessi. Prima di arrivarci, però, facciamo un passo "laterale", e torniamo per un momento ai numeri immaginari. Il nome è tutto un programma: semplicemente, nel Rinascimento, Tartaglia e Cardano hanno scoperto che se facevano finta che le radici quadrate di numeri negativi, che spuntavano mentre cercavano di risolvere le equazioni di terzo grado, fossero dei "veri" numeri, alla fine esse sparivano e si ottenevano le soluzioni corrette. Al tempo i matematici non erano nemmeno certi esistessero i numeri negativi: ma essendo i due molto pragmatici, hanno detto "immaginiamo che quella robaccia sia un numero", e da qui è arrivato il nome di numeri immaginari. Che poi, quanto "reale" è un numero reale? Un terzo di torta uno riesce a immaginarselo, ma 1/pi di torta non credo proprio. Ma ormai il nome è quello, così come i numeri ottenuti sommando un reale e un immaginario sono chiamati "complessi" ma non è che siano così tanto complicati. Ci sono voluti più di due secoli prima che qualcuno riuscisse a vedere i numeri complessi non come due pezzi appiccicati insieme a forza, ma un oggetto singolo. Nel 1787 ci aveva tentato il norvegese Caspar Wessel, che però se ne stava appunto in capo al mondo e inoltre di professione faceva l'agrimensore, così nessuno si è accorto di lui; nel 1801 ci riprovò Jean-Robert Argand, che non faceva il matematico neppure lui ma era un libraio svizzero esule a Parigi, cosa che gli ha permesso di pubblicarsi il libro a sue spese e litigare un po' con il gotha dei matematici, diventando subito noto.
L'idea di Argand, come l'uovo di Colombo, è semplicissima da comprendere dopo che la si è vista; invece che una retta si prende un piano, ci si disegnano due assi cartesiani, e si associa a ogni numero complesso un punto del piano. Siamo finalmente usciti dalla dimensione 1 e arrivati a quella 2, il che è bellissimo: non tanto per tutto lo spazio in più a nostra disposizione, quanto perché possiamo finalmente muoverci a piacere con tutte le operazioni matematiche - salvo dividere per zero, si intende - senza mai uscire dal nostro "giardinetto complesso". Una situazione davvero favolosa, che però ha un rovescio della medaglia. Mentre sulla retta sapevamo sempre dire se un numero era maggiore o minore di un altro, ora abbiamo dei dubbi. Quale dovrebbe essere il numero maggiore tra 0+1i e 1+0i? E perché? Ma si sa, le comodità hanno spesso un prezzo.
I numeri complessi sono davvero comodi per i matematici e non solo: la teoria della relatività e la meccanica quantistica li usano regolarmente. Ma già con Argand ci si accorse che la moltiplicazione tra due numeri corrispondeva a una rotazione nel piano. Ad esempio, moltiplicare per i significa ruotare di 90° in senso antiorario; dunque i*i è un giro di 180°, che è la stessa cosa che moltiplicare per -1. A questo punto l'irlandese William Rowan Hamilton ha detto "Che bello! Allora se aggiungo anche una j posso anche indicare le rotazioni 3d!" Solo che i conti continuavano a non tornargli... fino a che un giorno del 1843, mentre passeggiava con la moglie e stava passando su un ponte, ebbe l'idea risolutiva: ci voleva anche una terza variabile. Dimostrando scarso senso civico, si mise a incidere sul ponte l'equazione risolutiva: i² = j² = k² = ijk = -1. Nascono così i quaternioni, numeri della forma a + bi + cj + dk. Qualcuno si potrà chiedere perché per indicare le rotazioni nello spazio 3d si usi un numero con quattro componenti, e qualcuno un po' più avventuroso dirà "ma a che serve k? basta scrivere ij!" Peccato che ampliando così la dimensione dei nostri numeri ci siamo di nuovo persi qualcosa. È vero che ij = k, ma ji= -k. Per i quaternioni non vale cioè la proprietà commutativa della moltiplicazione. Sulle prime ci si può restare male: che senso ha pensare che cinque file da tre sono diverse da tre file da cinque? Ma ricordiamoci che i quaternioni rappresentano le rotazioni nello spazio. E guarda caso, se facciamo prima una rotazione antioraria di 90° e poi una riflessione allo specchio (cioè una rotazione di 180° nella terza dimensione), oppure facciamo prima la riflessione e poi la rotazione, otteniamo un risultato diverso. Insomma, la cosa ha un suo bel senso.
Uno, due, quattro... si potrebbe immaginare che il prossimo passo sia avere un numero con otto dimensioni, e che questo tipo di numero ci farà perdere ancora qualche proprietà matematica, e in effetti è così. Nel 1845 Arthur Cayley presentò al mondo gli ottetti (detti anche ottonioni per avere il nome simile a quello dei quaternioni). Qua, a parte l'unità standard, ci sono altre sette "unità" il cui quadrato è -1; per evitare di usare troppe lettere, in genere queste unità vengono chiamate e₁, e₂ e così via fino a e₇. La nuova proprietà che si è persa è quella associativa; in pratica, (a*b)*c non è più necessariamente uguale ad a*(b*c). Un altro choc di quelli incredibili, ma sono ragionevolmente certo che ci siano delle ricette di cucina in cui tu hai tre ingredienti, e a seconda dell'ordine in cui li mischi ottieni qualcosa di diverso. Ad ogni modo non preoccupatevi: mentre i quaternioni hanno comunque un certo uso in computer graphic, gli ottetti praticamente non vengono usati... anche se hanno una stranissima associazione col piano di Fano, di cui magari parlerò un'altra volta.
Fine della storia. Non si riesce più ad avere altri numeri multidimensionali... con un'eccezione. Esisterebbero infatti anche i sedenioni, che come dovrebbe dire il nome hanno ben sedici "unità"; con questa estensione però si perde la più importante proprietà algebrica dei numeri. In pratica, è possibile trovare due sedenioni entrambi diversi da zero il cui prodotto è zero: un obbrobrio che fa rabbrividire! (E non venitemi a dire che in un orologio analogico se reitero quattro volte un intervallo di tre ore ottengo che le lancette ritornano sullo zero; quella è un'altra storia...)

Un problema matematico molto antico - se ne parla già nel medioevo - suppone di avere una bilancia a due piatti, un oggetto che pesa un numero intero di grammi, e chiede chiede quale sia il minor numero di pesi necessari per determinare il peso dell'oggetto. Niccolò Tartaglia, a metà del sedicesimo secolo, fu il primo a dare una soluzione, usando quello che si può chiamare "metodo del mangione": in pratica, si va avanti il più a lungo possibile con i pesi esistenti prima di introdurne uno nuovo, e quando non si può fare a meno di aggiungerne un altro si prende il più grande possibile. È chiaro che serve un peso da un grammo, per un oggetto da un grammo. Per pesare due grammi si potrebbe aggiungere un secondo peso da un grammo, ma il "metodo del mangione" ci dice di usarne uno da due grammi, e in effetti così possiamo anche pesare un oggetto da tre grammi. Siamo di nuovo bloccati? niente problema, prendiamo un peso da quattro grammi. Adesso riusciamo a pesare 5=4+1, 6=4+2, 7=4+2+1 grammi, e per proseguire ci occorrerà un peso da 8 grammi. 1, 2, 4, 8... Proprio così. I pesi necessari sono quelli corrispondenti alle potenze di due.

Ma la soluzione di Tartaglia è proprio la migliore? Una sessantina di anni dopo, nel libro Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres, Claude Bachet riesce a fare di meglio. Il trucco è notare che la bilancia ha due piatti, e che nessuno ci obbliga a mettere il nostro oggetto da una parte e i pesi dall'altra. Ricominciamo allora da capo. Il peso da un grammo ci serve. Se abbiamo un oggetto che pesa due grammi, e lo mettiamo dalla stessa parte del peso da un grammo, possiamo usare un peso di tre grammi sull'altro piatto, e avere la bilancia in equilibrio. Tre e quattro grammi si peseranno quindi normalmente; arrivati a cinque grammi, se mettiamo i nostri due pesi assieme all'oggetto vediamo subito che il prossimo peso che ci occorre sarà di nove grammi. 1, 3, 9, ... Anche in questo caso i pesi necessari sono quelli corrispondenti alle potenze di un numero; in questo caso, di 3. Non è difficile dimostrare che con queste serie di potenze può pesare un qualunque oggetto; chi volesse tentarci può ricorrere alla rappresentazione di un numero in base 2 o in base 3.

Post Scriptum: se si vuole davvero risparmiare sui pesi, c'è ancora un trucco che si può sfruttare. È proprio vero che ci occorre un peso da un grammo? Se un oggetto pesa un numero intero di grammi e pesa meno di due grammi, visto che non può essere senza peso, vuol dire che pesa un grammo. In generale, se invece che i pesi da 1, 3, 9, 27... grammi li prendiamo da 2, 6, 18, 54..., riusciremo lo stesso a pesare un qualunque oggetto di un numero intero di grammi!