La prova del nove

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(Trovate questo post tra le mie pagine di matematica light!)
Mi capita relativamente spesso di essere in giro con amici o conoscenti, parlare di operazioni matematiche elementari, e sentirmi chiedere "ma la prova del nove
funziona davvero?" Sono insomma chiare due cose: il concetto è rimasto così impresso agli alunni delle elementari che affiora anche dopo più di trent'anni, e - a parte il nome - il suo funzionamento è sempre stato visto come qualcosa di esoterico e più vicino ad Harry Potter ("accio novem!") che a una vera proprietà matematica. D'altra parte, ci credo: a nessuna maestra alle elementari verrebbe in mente di spiegare il perché la regola funziona, ammesso che almeno loro lo sappiano. Ma finalmente potrete soddisfare la vostra pluridecennale curiosità.
provadel9.PNGInnanzitutto, forse è meglio ricordare cos'è la prova del nove. Quando si fa una moltiplicazione (247*53=13091, tanto per fare un esempio pratico) a ogni numero presente nell'operazione sostituiamo quello formato dalla somma delle sue cifre; se la somma così ottenuta ha più di una cifra, sommiamo quelle cifre e si prosegue fino a che non arriviamo a una singola cifra. Nel nostro esempio, avremo pertanto 2+4+7=13, 1+3=4; 5+3=8; 1+3+0+9+1=14, 1+4=5. A questo punto, facciamo il prodotto delle cifre dei fattori, e se serve sommiamo le cifre del risultato per arrivare ad averne una sola (4*8=32, 3+2=5). Se questa cifra è diversa da quella del risultato dell'operazione, vuol dire che abbiamo sbagliato da qualche parte; se invece è la stessa, forse siamo riusciti a fare il conto correttamente. Come ausilio pratico, si mettono i quattro numeri all'interno di una croce, come mostrato nella figura qui sotto. Non garantisco che
la posizione dei numeri nella croce, come indicata nella figura qui a sinistra, sia quella che ci insegnavano a scuola: qualche dettaglio ormai l'ho perso anch'io!
Per quali operazioni funziona la prova del nove? Addizioni, sottrazioni - basta ricordarci di sommare un 9 se il minuendo ha la somma delle cifre minore del sottraendo, come in 23-7 - e moltiplicazioni. Con le divisioni no, anche se puoi usare il trucco di rifare il calcolo "alla rovescia", cioè vederle come moltiplicazioni, e applicare così la regola. Ad esempio, se dobbiamo verificare 31415/926 = 33 con resto 857, facciamo la prova con 33*926, cioè 6*8 = 48 e quindi 3, gli sommiamo la somma delle cifre di 857, vale a dire 2, e controlliamo se il risultato 5 è uguale alla somma delle cifre di 31415... e per fortuna lo è.
Passato lo choc di avere visto tutte queste operazioni aritmetiche tutte in una
volta, provo a spiegare perché la prova del nove funziona, e soprattutto perché a volte non funziona. Il punto di partenza è quella che tecnicamente si chiama "aritmetica modulare" e che facciamo tutti quando diciamo che "le undici del mattino più tre ore sono le due del pomeriggio". Immagino che chi mi sta leggendo o sa già cos'è l'aritmetica modulare, oppure verrà a chiedermelo e io mi metterò a scrivere qualcosa di più completo al riguardo: per il momento mantengo la prima ipotesi. In pratica, la prova del nove non è altro che fare l'operazione modulo 9, sostituendo cioè ai numeri trovati il loro resto quando li si divide per nove. Le operazioni in aritmetica modulare funzionano per addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni: quello che ci resta da capire è come mai il resto modulo 9 di un numero è uguale alla somma delle sue cifre, il che però è facile. Infatti 1 diviso per nove fa 0 con resto di 1; 10 diviso 9 fa 1 con resto di 1; 100 diviso 9 fa 11 con resto di 1; e così via. Quindi se riprendiamo il nostro 247 e lo scriviamo come 2*100 + 4*10 + 7 scopriamo che il suo resto diviso per 9 è 2+4+7... esattamente la somma delle sue cifre.
provadel9.PNGÈ stato pesante, lo so. Ma adesso viene fuori il bello. Perché si fa la prova "del nove" e non "del sette" oppure "del quindici"? Dal punto di vista matematico, è esattamente la stessa cosa: sempre di aritmetica modulare di tratta. Solo che sommare le cifre di un numero è molto più semplice di calcolare il suo resto modulo 7 oppure 15 (provateci voi, se siete dei temerari). Così ci si limita a fare un calcolo facile, accettando il fatto che non tutti gli errori vengono trovati. Infatti, se ad esempio si sostituisce uno 0 con un 9 la somma finale delle cifre del numero non cambia; ma quel che è più preoccupante è che se ci sbagliamo e scambiamo tra di loro due cifre (10391 invece che 13091) la somma delle cifre è per definizione la stessa, e chiunque sia appena un po' dislessico - oppure sbagli semplicemente a incolonnare i prodotti parziali - rischia grosso.
Ma io una soluzione ce l'avrei anche: adottare la prova dell'undici. La logica che sta dietro è esattamente la stessa, solo che si calcola il resto della divisione per 11 e non di quella per 9. Calcolare questo resto è un po' più complicato, ma nemmeno poi troppo: il metodo consiste nel sommare e sottrarre alternativamente le cifre del numero dato, partendo da destra e andando a sinistra. Se si va sottozero, basta naturalmente aggiungere 11. I resti che possiamo ottenere saranno i numeri da 0 a 10; nell'operazione di cui sopra avremo per la precisione 7-4+2=5, 3-5=9 (previa l'aggiunta di 11); 1-9+0-3+1 = 1; 9*5=45; 5-4=1. A parte vedere se si è
bravi anche a fare le sottrazioni, il che non sarebbe poi così male, il vero vantaggio è quello di potere accorgersi di avere scambiato di posto due cifre, oppure non essersi spostati bene a sinistra quando si è fatta la moltiplicazione. Se avessimo ad esempio allineato a destra i due prodotti parziali 741 e 1235, la somma sarebbe stata 1976, e la prova del nove ci avrebbe detto nulla di strano: la somma delle cifre è sempre 5. La prova dell'undici, in compenso, avrebbe fatto subito suonare un campanello d'allarme: avremmo avuto come risultato 7 (6-7+9-1) e non 1. E scusate se è poco!

8 Comments

Geekissimo.
Però le immagini non si vedono.

a me insegnarono una versione light, della Prova del 9: si sommano le cifre del prodotto (fino ad ottenerne una

la dimostrazione l'avevo vista anni fa, ma non in termini di aritmetica modulare bensì di Teoria dei numeri (se ben ricordo).

grazie. spiegazione perfetta. a proposito di aritmetica modulare (credo) conosci la "prova del nove" per le banconote? detta anche "indovino la somma delle cifre del numero di serie con un'occhiata".

grazie per il taglio: avevo scritto uno strafalcione mnemonico mescolando creativamente il ricordo della prova del 9 e quello della divisibilità per 3. :D

Adesso sarebbe carino un due paroline in più sull'aritmetica modulare. Anche la robina di Corax sarebbe interessante da scandagliare.
P.S. grande la responsabilità di insinuare dubbi ed esporre a crepe le sicurezze basilari (come la prova del 9) della gente.

@Corax: no, conoscevo solo il fatto che l'ultima lettera degli euro indica dove sono state stampate.
@Spiritum: a dire il vero, le sicurezze della gente sono così stemperate da decenni di non uso della prova del nove (non che io la usi, a dire il vero) che l'operazione è rimasta tra quelle mitiche. Per l'aritmetica modulare, vedremo.

Non per fare pubblicità non richiesta, ma quanto dice Corax forse coincide con quanto dicemmo, tra l'altro, su Rudi Mathematici nell'articolo "Il Tempo e il Denaro", ovvero il "compleanno" dedicato a Newton:

http://rudimathematici.com/archivio/71.pdf

@Piotr: è proprio quello di cui parlavo. Il giochino che conosco io è leggermente diverso da quello TV, ma il metodo è lo stesso: una rapida occhiata alla lettera e mentre l'altra persona fa tutti i conti io faccio un semplice 8-ordinale della lettera (ricordando che A, J e S valgono 1).

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