I numeri primi sono infiniti

L'idea di base per la dimostrazione dire "bene, a partire da un insieme qualunque di numeri primi, ne possiamo sempre trovare un altro". Tra l'altro, Euclide era un greco, e quindi per lui il concetto di "infinito" era "pi grande di un qualunque numero dato', quindi questa dimostrazione si adattava perfettamente al suo modo di pensare.

Supponiamo allora di avere i nostri numeri primi, che chiamiamo p1, p2, ..., pn. Li moltiplichiamo tutti tra loro, e a questo risultato ci sommiamo ancora 1.
A questo punto, si hanno due casi: il numero primo - e allora ne abbiamo trovato un altro - oppure composto. Ma in questo caso, non pu essere divisibile per p1, perch la divisione d resto 1: ce l'abbiamo sommato apposta! Lo stesso vale ovviamente per tutti gli altri pk, quindi abbiamo trovato dei nuovi numeri primi anche in questo caso.

Esempio pratico: partiamo da 2, e otteniamo 2+1=3 che primo. Da {2,3} otteniamo (2*3)+1=7 che primo; da {2,3,7} abbiamo (2*3*7)+1=43 che anch'esso primo, da {2,3,7,43} ricaviamo 1807... che non primo, ma dato dal prodotto di 13 e 189, giusto per far vedere che il procedimento non genera sempre numeri primi.

torna alla pagina della matematica
torna alla home page di .mau.