Dove eravamo rimasti con le nostre terne pitagoriche? Ah sì: dimostrare che in ogni "triangolo pitagorico", rettangolo con i tre lati di lunghezza pari a un numero intero, c'è un cateto multiplo di tre, un cateto (non necessariamente distinto dal primo) multiplo di 4, e un lato (cateto o ipotenusa) multiplo di 5. Vediamo come fare: anche in questo caso consideriamo (in genere) le terne pitagoriche base, dove i tre numeri non hanno alcun fattor comune.
Iniziamo con il caso del multiplo di 3. L'idea è considerare le lunghezze dei lati modulo 3, cioè i resti che si ottengono dividendo per tre le varie lunghezze. I resti possibili sono 0, 1 e 2; e i quadrati dei resti sono 0, 1 e 1. (2*2=4, e il resto della divisione 4/3 è 1). Ma allora se né il cateto a né il cateto b fossero multipli di 3 allora il quadrato dell'ipotenusa modulo 3 varrebbe 1+1=2, il che è assurdo. Quindi almeno un cateto è multiplo di 3. Come corollario, si vede che se entrambi i cateti sono multipli di 3 anche l'ipotenusa lo è e la terna non è base; questo è l'unico caso in cui l'ipotenusa è multiplo di 3.
Il caso del multiplo di 5 si dimostra sfruttando la stessa idea: stavolta si prendono le lunghezze dei lati modulo 5. Quando tali lunghezze sono rispettivamente 0,1,2,3 e 4 i loro quadrati sono 0,1,4 (che possiamo leggere come -1), 4 (di nuovo, -1) e 1. Gli unici modi in cui si possono combinare tre di questi valori in modo che la somma dei primi due (sempre modulo 5) sia il terzo sono 0+0=0, 0+1=1, 0+(-1)=-1, 1+(-1)=0. Nel primo caso non abbiamo una terna pitagorica base, ma comunque tutti e tre i valori sono multipli di 5; nel secondo e nel terzo abbiamo un cateto multiplo di 5; nell'ultimo caso ad essere multipla di 5 è l'ipotenusa.
Per il caso del multiplo di 4 dobbiamo tirare fuori dal cilindro - inteso come cappello e non come figura geometrica... - un coniglio di tipo diverso. Ricordate le formule per ricavare le terne pitagoriche base a partire da due numeri dispri coprimi m e n? Il cateto di lunghezza pari era dato dall'espressione b = (m2 - n2)/2. Ora, m e n sono dispari, e quindi della forma 4k+1 oppure 4k+3. Nel primo caso, m2 = 8(2k2+k)+1; nel secondo, m2 = 8(2k3+k)+9. Entrambi i numeri sono uguali a 1 modulo 8: quindi per ogni scelta di m e n la loro differenza è multipla di 8, e la metà della differenza, cioè il nostro cateto b, sarà un multiplo di 4, come volevasi dimostrare.
Che dire? Le dimostrazioni richiedono conoscenze di aritmetica modulare (vedi il mio articolo a riguardo) che in genere non si fanno a scuola, ma non sono di per sé complicate: nei casi di 3 e 5 probabilmente non serve nemmeno una grande fantasia per riuscire a scoprire la strada giusta, mentre nel caso del 4 magari c'è bisogno di una spintarella per sapere quale strada prendere. Detto questo, io di didattica non ne so molto: ma immagino che una ragazza delle medie che sia sveglia, oltre seguita e aiutata dalla sua professoressa, può arrivare non dico a dimostrare ma almeno a seguire il procedimento; e uno studente delle superiori - sempre sufficientemente sveglio - ce la potrebbe fare da solo, sia pure con qualche aiutino di base. Sono però certo che problemi come questo ce li avrebbero potuti dare dopo il primo mese di lezione all'università.
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Maurizio Codogno, 21 dicembre 2008
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