La prova del nove

Mi capita relativamente spesso di essere in giro con amici o conoscenti, parlare di operazioni matematiche elementari, e sentirmi chiedere "ma la prova del nove funziona davvero?" Sono insomma chiare due cose: il concetto è rimasto così impresso agli alunni delle elementari che affiora anche dopo più di trent'anni, e - a parte il nome - il suo funzionamento è sempre stato visto come qualcosa di esoterico e più vicino ad Harry Potter ("accio novem!") che a una vera proprietà matematica. D'altra parte, ci credo: a nessuna maestra alle elementari verrebbe in mente di spiegare il perché la regola funziona, ammesso che almeno loro lo sappiano. Ma finalmente potrete soddisfare la vostra pluridecennale curiosità.

Innanzitutto, forse è meglio ricordare cos'è la prova del nove. Quando si fa una moltiplicazione (247*53=13091, tanto per fare un esempio pratico) a ogni numero presente nell'operazione sostituiamo quello formato dalla somma delle sue cifre; se la somma così ottenuta ha più di una cifra, sommiamo quelle cifre e si prosegue fino a che non arriviamo a una singola cifra. Nel nostro esempio, avremo pertanto 2+4+7=13, 1+3=4; 5+3=8; 1+3+0+9+1=14, 1+4=5. A questo punto, facciamo il prodotto delle cifre dei fattori, e se serve sommiamo le cifre del risultato per arrivare ad averne una sola (4*8=32, 3+2=5). Se questa cifra è diversa da quella del risultato dell'operazione, vuol dire che abbiamo sbagliato da qualche parte; se invece è la stessa, forse siamo riusciti a fare il conto correttamente. Come ausilio pratico, si mettono i quattro numeri all'interno di una croce, come mostrato nella figura qui sotto. Non garantisco che la posizione dei numeri nella croce, come indicata nella figura qui a sinistra, sia quella che ci insegnavano a scuola: qualche dettaglio ormai l'ho perso anch'io!

Per quali operazioni funziona la prova del nove? Addizioni, sottrazioni - basta ricordarci di sommare un 9 se il minuendo ha la somma delle cifre minore del sottraendo, come in 23-7 - e moltiplicazioni. Con le divisioni no, anche se puoi usare il trucco di rifare il calcolo "alla rovescia", cioè vederle come moltiplicazioni, e applicare così la regola. Ad esempio, se dobbiamo verificare 31415/926 = 33 con resto 857, facciamo la prova con 33*926, cioè 6*8 = 48 e quindi 3, gli sommiamo la somma delle cifre di 857, vale a dire 2, e controlliamo se il risultato 5 è uguale alla somma delle cifre di 31415... e per fortuna lo è.

Passato lo choc di avere visto tutte queste operazioni aritmetiche tutte in una volta, provo a spiegare perché la prova del nove funziona, e soprattutto perché a volte non funziona. Il punto di partenza è quella che tecnicamente si chiama "aritmetica modulare" e che facciamo tutti quando diciamo che "le undici del mattino più tre ore sono le due del pomeriggio". Immagino che chi mi sta leggendo o sa già cos'è l'aritmetica modulare, oppure verrà a chiedermelo e io mi metterò a scrivere qualcosa di più completo al riguardo: per il momento mantengo la prima ipotesi. In pratica, la prova del nove non è altro che fare l'operazione modulo 9, sostituendo cioè ai numeri trovati il loro resto quando li si divide per nove. Le operazioni in aritmetica modulare funzionano per addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni: quello che ci resta da capire è come mai il resto modulo 9 di un numero è uguale alla somma delle sue cifre, il che però è facile. Infatti 1 diviso per nove fa 0 con resto di 1; 10 diviso 9 fa 1 con resto di 1; 100 diviso 9 fa 11 con resto di 1; e così via. Quindi se riprendiamo il nostro 247 e lo scriviamo come 2*100 + 4*10 + 7 scopriamo che il suo resto diviso per 9 è 2+4+7... esattamente la somma delle sue cifre.

È stato pesante, lo so. Ma adesso viene fuori il bello. Perché si fa la prova "del nove" e non "del sette" oppure "del quindici"? Dal punto di vista matematico, è esattamente la stessa cosa: sempre di aritmetica modulare di tratta. Solo che sommare le cifre di un numero è molto più semplice di calcolare il suo resto modulo 7 oppure 15 (provateci voi, se siete dei temerari). Così ci si limita a fare un calcolo facile, accettando il fatto che non tutti gli errori vengono trovati. Infatti, se ad esempio si sostituisce uno 0 con un 9 la somma finale delle cifre del numero non cambia; ma quel che è più preoccupante è che se ci sbagliamo e scambiamo tra di loro due cifre (10391 invece che 13091) la somma delle cifre è per definizione la stessa, e chiunque sia appena un po' dislessico - oppure sbagli semplicemente a incolonnare i prodotti parziali - rischia grosso.

Ma io una soluzione ce l'avrei anche: adottare la prova dell'undici. La logica che sta dietro è esattamente la stessa, solo che si calcola il resto della divisione per 11 e non di quella per 9. Calcolare questo resto è un po' più complicato, ma nemmeno poi troppo: il metodo consiste nel sommare e sottrarre alternativamente le cifre del numero dato, partendo da destra e andando a sinistra. Se si va sottozero, basta naturalmente aggiungere 11. I resti che possiamo ottenere saranno i numeri da 0 a 10; nell'operazione di cui sopra avremo per la precisione 7-4+2=5, 3-5=9 (previa l'aggiunta di 11); 1-9+0-3+1 = 1; 9*5=45; 5-4=1. A parte vedere se si è bravi anche a fare le sottrazioni, il che non sarebbe poi così male, il vero vantaggio è quello di potere accorgersi di avere scambiato di posto due cifre, oppure non essersi spostati bene a sinistra quando si è fatta la moltiplicazione. Se avessimo ad esempio allineato a destra i due prodotti parziali 741 e 1235, la somma sarebbe stata 1976, e la prova del nove ci avrebbe detto nulla di strano: la somma delle cifre è sempre 5. La prova dell'undici, in compenso, avrebbe fatto subito suonare un campanello d'allarme: avremmo avuto come risultato 7 (6-7+9-1) e non 1. E scusate se è poco!