Parlare di infinito non è mai facile. Se aggiungiamo che in
teologia o filosofia la parte più importante del lavoro sta
nel trovare delle definizioni accettabili, mentre in matematica
occorre anche tirare fuori tutta una serie di conseguenze
“interessanti”, oltre che naturalmente coerenti, capiamo
che il lavoro è improbo. Purtroppo la nostra esperienza non ci
aiuta affatto a visualizzare l'infinito, e così ci troviamo a
disagio.
In questo testo ho voluto provare a scrivere in maniera
spero abbastanza comprensibile una serie di nozioni a proposito
dell'infinito matematico, cercando di rimanere comprensibile e
possibilmente interessante anche per chi è convinto di odiare
la matematica. Ho ridotto al minimo formule e dimostrazioni, visto
che questo non è un testo di matematica. Non ci sono scuse,
insomma!
Questa versione è ancora molto da sgrezzare: mancano le figure, e l'esposizione - soprattutto sul capitolo che parla di limiti - lascia molto a desiderare. Chiedo quindi a chi la vuole leggere di inviarmi i loro suggerimenti per migliorarla!
Vorrei infine ricordare Franco Conti. Lui avrebbe scritto queste note molto meglio di me, da didatta eccezionale quale lui è stato: ma sono certo che avrebbe comunque apprezzato questo mio sforzo.
Non possiamo scamparla: dobbiamo iniziare a vedere cosa pensavano
gli antichi greci. E' vero che la matematica è nata molto
prima di loro, ma che io sappia né egizi, né
babilonesi, né cinesi si sono messi a trattare l'infinito,
preferendo questioni terra terra.
Non che i greci ammettessero
l'uso dell'infinito in matematica, ad essere pignoli. Ma come, vi
chiederete, ricordando che la retta è infinita. Chi ha
studiato un po' di matematica sa che già Euclide aveva
dimostrato che i numeri primi sono infiniti! Cosa significa tutto
questo? Per capire cosa accadeva in pratica, occorre leggere
attentamente i testi senza le sovrastrutture cui siamo abituati.
Euclide non afferma infatti che una retta è infinita, ma
piuttosto che ogni segmento di retta può essere esteso a
piacere; né i numeri primi sono infiniti, ma bensì
maggiori di ogni quantità definita. Notato il concetto
sottostante? Si continua a lavorare con quantità finite, e si
fa semplicemente in modo da “averne sempre, quando serve”.
Un segmento o un arco di cerchio ha infiniti punti? Boh, basta poter
sempre bisecare il secondo o dividere il primo in un numero qualunque
di parti.
Questo approccio non si limita certo alla matematica.
Guardando i due grandi filosofi classici, Platone afferma che
l'infinito attuale (l'iperuranio) è di per sé
inconoscibile, e dobbiamo accontentarci di una visione delle
“ombre”
da esso prodotte; Aristotele teorizza l'infinito potenziale,
che possiamo definire come qualcosa che sta al di là di quello
che possiamo raggiungere, ma “in quella direzione”, come il
prolungamento del segmento per Euclide. Non pensiate a dire “il
limite”, però: quel concetto era completamente
sconosciuto ai greci.
D'altra parte, come poter dare loro torto, dopo che Zenone di Elea rese noti i famosi suoi paradossi. Tutti conosciamo quello di Achille che non può raggiungere la tartaruga, perché ogni volta che è arrivato alla posizione dove quest'ultima si trovava, essa si è spostata un po' in avanti. Ma ci sono anche altri due paradossi correlati. Zenone diceva che non è possibile andare da un punto A a un altro B, perché prima di arrivare a B bisogna passare per il punto C a metà strada tra A e B, e prima di arrivare a C occorre passare per D, a metà strada tra A e C, e così via. Insomma, non si può nemmeno iniziare il viaggio! Infine, una freccia in un certo momento si trova in una posizione nell'aria. Ma nell'istante successivo essa non può essersi spostata, perché non avrebbe occupato le posizioni in mezzo; né può stare ferma, perchè altrimenti cadrebbe. Un bel ginepraio: si capisce come i suoi compatrioti decidessero di scappare da tutti i procedimenti che toccavano l'infinito.
Lavorare solo su quantità finite semplifica molto la vita per le dimostrazioni, come vedremo nel seguito: questo lo si paga con una pesante limitazione sui teoremi dimostrabili. Per fare un esempio, si può prendere Archimede e il metodo di esaustione, che afferma più o meno “Se da una quantità data ne togliamo più della metà, da quello che resta ne togliamo ancora più della metà, e via discorrendo, possiamo arrivare ad avere meno di una qualunque quantità predefinita”. La cosa sembra lapalissiana, ma non lo è affatto: basta vedere la difficoltà trovata nell'applicare l'esaustione ad alcuni problemi di misurazione. E' famoso il caso della misura dell'area di un cerchio: abbiamo una successione A1, A2... (i poligoni di 6,12,24... lati inscritti alla circonferenza) per cui la differenza tra l'area del cerchio circoscritto e la loro si riduce sempre di più; e una successione B1, B2... (i poligoni di 6,12,24... lati circoscritti alla circonferenza) per cui capita lo stesso, ma con valori superiori. A questo punto possiamo dare degli estreni superiori e inferiori all'area del cerchio. In questo caso, Archimede riuscì solo a dire che il valore di π è compreso tra 3 + 10/71 e 3 + 1/7; in altri casi, come nel caso dell'arco di parabola, riuscì invece a ricavare il valore esatto.
Qui ci sono due cose da tenere a mente: una per così dire
“politica” e una più matematica. Per la prima,
almeno fino all'inizio del '700 tutti i matematici affermavano “i
miei metodi sono equivalenti all'esaustione”; ottima scusa per
pararsi le spalle dalle critiche, come vedremo. La seconda è
più sottile. Quello che Archimede sottintendeva tacitamente è
il cosiddetto Principio di Archimede (ma va!). Esso afferma
che prese due grandezze diverse da zero, a furia di sommare copie
della prima si supera la seconda; come direbbe zio Paperone, le
fortune si fanno a partire dai decìni. So già che c'è
chi sta mormorando “che banalità”. Aspettate e
vedrete.
Noticina: il metodo di esaustione non è stato
inventato da Archimede, ma da Eudosso. Ma non importa, dato che il
vero suo utilizzatore è stato il siracusano.
Passano più di 1500 anni dall'uccisione di Archimede. La
matematica in Occidente viene praticamente dimenticata, e in India ed
Arabia si fanno nuove scoperte che restano però legate al
finito. Sembra che insomma l'infinito sia solamente riservato a Dio,
e l'uomo non osi avvicinarsi. Ma il concetto rientra dalla
finestra...
Ringalluzziti dai primi risultati che oltrepassano la
conoscenza classica, come ad esempio la soluzione per radicali delle
equazioni di terzo e quarto grado, i matematici iniziarono a cercare
nuovi metodi più o meno empirici per ricavare delle nuove
formule. Galileo, ad esempio, ritagliò una forma ad arco di
cicloide per pesarla e riuscire così a valutare quanto potesse
valere l'area corrispondente. Per la cronaca, sbagliò.
Bonaventura Cavalieri prese spunto da quell'idea, applicandola
però in un modo completamente diverso. Ad esempio, prendeva un
parallelepipedo e una specie di cilindro inclinato su un lato,
facendo in modo che i due solidi avessero la stessa altezza, e che
tagliandoli con un piano parallelo alla base il rettangolo e il
cerchio ottenuti avessero sempre la stessa area. Ma allora, diceva
Cavalieri, l'area del cilindro storto deve essere uguale al
parallelepipedo: se infatti li affettiamo entrambi in tantissime
parti di altezza infinitesima, queste parti sono sempre
uguali, e la loro somma deve pertanto essere uguale.
Il cosiddetto
principio di Cavalieri è piuttosto intuitivo a prima
vista, ma a un esame più attento potete notare che ci sono dei
punti oscuri. Gli infinitesimi sono parenti stretti dell'infinito: man
mano che lo spessore delle fettine si riduce, il loro numero infatti
cresce. Di per sé, dovremmo arrivare ad avere un numero
infinito di sezioni di altezza nulla per potere dire “abbiamo
sempre due superfici identiche per ogni fetta”. Ma non si
possono sommare aree per ottenere un volume! Inoltre, sommare un
numero infinito di enti di dimensione zero può dare un
risultato qualunque. Non è esattamente un roseo inizio, tanto
più che queste fettine le chiamava indivisibili; la
cosa cozzava contro i postulati di Euclide, oltre a “banalità”
come il fatto che il lato e la diagonale di un triangolo isoscele
equilatero non fossero in rapporto razionale tra di loro.
Ma la corsa agli infinitesimi era ormai diventata la moda: basta
pensare ad esempio a come nello stesso periodo stesse nascendo quello
che si sarebbe poi chiamato calcolo infinitesimale. Fermat
aveva dato il via, cercando di calcolare l'area sotto una curva
vedendola come formata da una serie di piccoli trapezi, e Leibnitz
nel continente e Newton in Inghilterra avevano messo le basi per
l'uso pratico delle formule di derivazione e integrazione, tra le
rimostranze di molti matematici che facevano giustamente notare che
non era molto bello dire che l'elemento differenziale dx era diverso
da zero per potere essere usato come divisore, ma si poteva
trascurare quando era un addendo. Né le flussioni di Newton,
quei “rapporti ultimi” come lui le chiamava, avevano un
fondamento molto stabile.
L'altro grande filone dove l'infinito
veniva usato in maniera estrema era quello degli sviluppi in serie.
In questo campo il genio indiscusso è stato Eulero, un
manipolatore formale come ben pochi, che trattava le serie infinite
come un giocoliere, non preoccupandosi della liceità dei
passaggi che faceva fintantoché il risultato finale era
sensato. Ad esempio, osservava che facendo la divisione come se fosse
quella classica otteneva
1/(1-x) = 1 + 1/x + 1/x2 +
1/x3 + 1/x4 + ...
e a questo punto
sostituiva ad esempio a x il valore 2 e “dimostrava” che la
somma 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ... valeva 2. Il fatto che fosse una somma
infinita non lo turbava più di tanto!
Tutti questi nuovi risultati facevano certo piacere ai matematici,
che come chiunque cerca sempre di superarsi. Ma si levavano anche
altre voci che mettevano in guardia contro generalizzazioni senza
un'adeguata dimostrazione. Cominciamo a fare le pulci al concetto di
infinitesimi. Noi stiamo facendo il rapporto tra due quantità.
Se esse sono entrambe nulle, sappiamo bene che questo rapporto ha un
non è definito; se non sono nulle, non è evidentemente
lecito eliminare gli infinitesimi di ordine superiore, che pure non
sono nulli. In entrambi i casi, la fondazione del calcolo
infinitesimale viene minata alla base.
Con le successioni, il
problema è forse addirittura peggiore. Prendiamo una serie che
a prima vista pare innocua: 1-1+1-1+1-... e diciamo che la sua somma
sia S. Ma noi possiamo anche scriverla come 1-(1-1+1-1+...), cioè
1-S. Pertanto, S=1-S e insomma S=1/2, che già sembra poco
sensato visto che le somme parziali sono sempre e solo 1 e 0. Ma
supponiamo ancora di riordinare i termini della serie, e scrivere
ordinatamente quelli di posto 1,3,2,5,7,4,9,11,6,...: insomma
prenderne due di posto dispari e uno di posto pari. Raggruppandoli a
tre a tre otteniamo 1+1+1... che ha evidentemente somma infinita. E
se cambiamo l'ordine possiamo ottenere “meno infinito”, o
qualunque valore vogliamo...
Potreste dire che non è lecito scambiare l'ordine dei termini di una cifra, e sperare di esservi lavate le mani. Niente da fare. Dovreste infatti spiegare perché la proprietà commutativa, quella che dice che a+b=b+a, vale per una somma finita e non per una infinita; o ancora perchè, mentre per le grandezze normali una quantità è sempre maggiore di una sua parte propria, con l'infinito non è vero: già Galileo mostrò nel Dialogo sopra i massimi sistemi come i quadrati perfetti si possano associare a uno a uno con gli interi, e quindi siano “lo stesso numero”, anche se ci sono moltissimi interi che non sono quadrati perfetti.
Nell'800, a furia di trovare controesempi sempre meno “innaturali” che minavano alla base le ipotesi abborracciate alla base dell'uso dell'infinito, un gruppo di matematici riuscì a dare una serie di definizioni accettabili per trattare con questi tipi di infinito. Iniziamo con gli infinitesimi, e vediamo come sono stati tolti di mezzo. Il trucco è stato definire il concetto di limite in una maniera “finitista”. Chi ha fatto lo scientifico magari ha una tenue reminescenza della storia degli epsilon e delta, e non li ha mai capiti. Eppure l'idea è semplicissima. Ricordate gli infinitesimi, e il problema di dovere dividere per qualcosa che non è zero, ma è praticamente nullo? Bene. Invece che dividere per zero, ci disinteressiamo del tutto di cosa succede nel punto dove dobbiamo calcolare il limite, e guardiamo cosa gli succede intorno. Se volete, stiamo tornando al paradosso di Zenone, ma stavolta lo sfruttiamo a nostro favore! Diviniamo infatti un valore possibile per il limite, decidiamo di quale errore intendiamo accontentarci - e la differenza è l'ε - e vediamo se riusciamo ad essere certi che entro una certa distanza dal punto che ci interessa - e questa distanza è il δ - ce ne stiamo sempre entro il nostro errore. Il passaggio successivo è quello di ridurre sempre più l'errore, e verificare che si trova ancora un δ adeguato. Uno può vedere come una funzione questo δ(ε), e in un certo senso ha ragione; ma in pratica stiamo usando un infinito potenziale, perché abbiamo una successione finita di valori.
Un altro punto dove l'infinito si può dire tenuto a bada
sta nella caratterizzazione dei numeri reali. Per capire il
problema, dobbiamo fare un enorme passo indietro, e tornare
addirittura a Pitagora, o più probabilmente alla sua scuola.
Prima di lui, i greci avevano la convinzione che tutti i rapporti di
due misure potessero venire scritti come una frazione: 3/4, 9/1,
355/113, ... Invece proprio con un'applicazione del teorema di
Pitagora è possibile vedere che il lato e la diagonale di un
triangolo isoscele rettangolo non possono essere messi in un rapporto
di questo tipo, e servirebbe un numero infinito di cifre sia al
numeratore che al denominatore. Lo choc culturale deve essere stato
terribile, tanto che i greci si sono rifiutati di fare operazioni che
non potessero rappresentare geometricamente. Come è possibile
allora definire un numero reale che non sia razionale, cioè
rappresentabile come una frazione? Dirichlet si è inventato un
sistema che a prima vista sembra esagerato, ma come spesso accade
semplifica la vita. Per definire un numero, inizia a considerare una
retta. Quindi la inizia a numerare, cioè dà un valore
ad ogni punto razionale dicendo che un numero è maggiore di un
altro se e solo se il punto corrisponente sta a destra. Questo è
facile da fare per un punto qualsiasi, perché si può
costruire effettivamente il rapporto ad esso corrispondente. Infine
introduce una nuova definizione di numero, che corrisponde alla
coppia di semirette comrendenti rispettivamente i
“vecchi”
numeri minori o uguali a quello dato e quelli maggiori. In questo
modo, i numeri razionali avranno la prima semiretta che finisce con
un punto, e la seconda che ha quel punto come un limite; quelli che
hanno entrambe le semirette senza punto corrispondono ai numeri
reali. Naturalmente la definizione da sola dice poco; quello che
importa è che risulta possibile definire le usuali operazioni
aritmetiche in maniera naturale, e quindi completare l'associazione.
E in fin dei conti, non si sta facendo nulla di così strano: è
un po' come scrivere i numeri con la virgola e infinite cifre
decimali, come 3,14159265358979...
In questo modo sembra che si
sia riusciti a riempire finalmente la retta: a ogni numero reale
corrisponde un punto - e questo è facile, perché
l'abbiamo costruito - e a ogni punto corrisponde un numero reale,
ricavato attraverso la semiretta corrispondente. Ma non è
necessariamente così, e alcuni matematici sono riusciti a dare
diritto di cittadinanza anche agli infinitesimi. Il trucco sta tutto
nel principio di Archimede, che abbiamo visto a suo tempo. Tutto il
lavorìo delle semirette funziona solo se si assume che due
numeri diversi si allontanano sempre di più man mano che li si
moltiplica per un numero intero sempre maggiore. Se così non
è, vicino a un punto ce ne possono essere a piacere. La branca
della matematica che parte da questi assunti si chiama analisi non
standard e ha i suoi estimatori. Non credete che sia una
costruzione puramente teorica senza significato pratico! Per fare un
esempio, in matematica e fisica è spesso comodo misurare
quanto velocemente crescono i valori di una funzione f(x) al crescere
di x. E' immediato che X nche se 10000x all'inizio è maggiore
di x2, quando x è cresciuto a sufficienza sarà
la seconda funzione ad avere i valori maggiori. Si può così
ordinare tutte le classi di funzioni, ed è naturale associare
a ciascuna di esse l'esponente maggiore di x. Insomma, x2/5+8x+1000,
che cresce come x2, avrà ordine di grandezza (il
termine tecnico) 2. Tutto bene: ma prendiamo ora la funzione log(x).
Essa cresce sopra ogni limite, quindi l'ordine di grandezza è
maggiore di zero. Ma si può dimostrare che per ogni ε
piccolo a piacere, xε cresce di più.
Insomma, la crescita è infinitesima. Visto?
Per completezza, aggiungo due parole sulla convergenza delle
serie. I problemi si hanno solo quando ci sono dei termini negativi:
si è scelto pertanto di definire una successione associata
avente come termini i valori assoluti di quella originale. Se questa
seconda serie converge a un valore finito, quella originale si dice
assolutamente convergente e ci si può fare quello che
si vuole. Altrimenti non è lecito usare la proprietà
commutativa, e i termini si devono sommare nell'ordine in cui sono
dati.
Naturalmente se i termini della serie non tendono a zero,
essa non può convergere; ma l'opposto non è vero.
Prendiamo ad esempio la serie armonica, 1+1/2+1/3+1/4+... E' facile
vedere che la somma di questa serie è infinita. Infatti
possiamo vederla come la somma di tanti pezzetti: (1) + (1/2) +
(1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ..., e ciascuna di queste somme è
maggiore di 1/2. La somma parziale della serie cresce molto
lentamente, come log(n); ma si può fare ancora di meglio, o di
peggio. La somma degli inversi dei numeri primi,
1+1/2+1/3+1/5+1/7+..., ad esempio, è infinita, pur andando
come log(log(x)). Ma non si può pretendere troppo: se ad
esempio si sommano gli inversi di tutti i numeri che non contengono
al loro interno la cifra 7, la somma è finita...
A questo punto si potrebbe pensare che l'infinito sia stato ormai domato. Invece siamo solo a un punto di svolta! In pochi anni la trattazione dell'infinito cambia completamente. Il merito, o la colpa, va a Georg Cantor, un personaggio indubbiamente interessante. Nasce a Pietroburgo da genitori danesi, ma vive sempre in Germania; oltre ad essere morto pazzo, mescolava i suoi interessi in matematica con quelli per la teologia - è arrivato al punto di verificare con le gerarchie vaticane che le sue definizioni fossero ortodosse... - e la letteratura, con una serie di saggi che volevano dimostrare che le opere di Shakespeare erano in realtà state scritte da Bacone.
Cantor ribalta completamente il punto di vista che era stato
mantenuto per più di duemila anni, rivalutando l'infinito
attuale. Ma fosse tutto qui il suo contributo! Innanzitutto, fa
notare che i numeri (finiti e no) possono essere visti in due modi
diversi: ordinali, quando ci interessa contarli (1,2,3...) e
cardinali, quando invece li vediamo come un unico gruppo e ci
interessa sapere “quanti sono”.
Fatta questa
distinzione, il passo successivo di Cantor è lavorare con gli
ordinali infiniti visti come esempi di infinito attuale. Per evitare
di parlare di “infiniti”, ha preferito definire questi
numeri come transfiniti. Insomma, iniziamo a supporre che il
più piccolo ordinale transfinito, quello che si ha contando
man mano tutti i numeri interi, sia un ente vero e proprio. A questo
punto gli si può dare un nome, ω. Anche se Dio dovrebbe
essere l'alfa e l'omega, in realtà si può ancora andare
avanti! Non sappiamo quale sia l'ordinale immediatamente minore di ω,
ma sappiamo che quello successivo è ω+1, seguito da ω+2,
e così via. Attenzione, però: la proprietà
commutativa dell'addizione non vale con gli ordinali transfiniti. 1+ω
non è affatto uguale a ω+1! Per rendersene conto, basta
ricordarsi il loro significato. Nel primo caso, noi contiamo “uno”,
poi ricominciamo da capo e abbiamo “uno”, “due”,
“tre”,... Ma in questo caso abbiamo esattamente ω,
semplicemente scritto in un altro modo. Nel secondo caso, invece,
abbiamo come detto un ordinale “nuovo”. Naturalmente si
può continuare a sommare uno, e arrivare così a ω+ω
(che per comodità scrivo come 2ω, anche se occorre fare attenzione
perché non vale assolutamente la proprietà commutativa!),
3ω, ... ω2, ...
Fermiamoci un attimo con gli ordinali, e passiamo ai cardinali. In
questo caso, visto che ci interessa sapere quanti sono,
dobbiamo trovare un sistema per confrontare due cardinali, cosa che è
facile per quelli finiti, ma non quando si hanno degli insiemi
infiniti. Cantor se ne è uscito fuori con una definizione che
può sembrare banale: due insiemi A e B hanno la stessa
cardinalità quando i rispettivi elementi possono essere tutti
associati a coppie tra di loro. Se invece la corrispondenza è
solo in un senso, cioè possiamo associare a ogni elemento di A
un elemento di B, ma alcuni di quest'ultimo rimangono da soli, allora
la cardinalità di B, indicata come #B o card(B), è maggiore o
uguale a quella di A.
Con gli insiemi finiti è chiaro che
in questo caso la cardinalità non può essere uguale, ma
negli insiemi infiniti potrebbe capitare di scegliere un'associazione
per così dire “sbagliata”. Prendiamo ad esempio i
numeri naturali e i quadrati perfetti. Se associamo 1 ⇔ 1, 4 ⇔
4, 9 ⇔ 9 e così via, lasciamo fuori i numeri 2, 3, 5,
6, ... ma abbiamo visto che in realtà la cardinalità
dei due insiemi è la stessa, perché abbiamo la
associazione biunivoca n ⇔ n^2. Cantor, insieme a Bernstein, è
poi riuscito a dimostrare un teorema che afferma che se #A ≥
#B e #B ≥ #A, allora #A = #B. Anche se non sembra, questo
non è affatto un risultato banale da dimostrare!
A questo punto, Cantor si è messo a fare un po' di conti
per vedere come funzionavano le operazioni aritmetiche con gli infiniti
cardinali. Per prima cosa, è ovviamente partito da quello corrispondente
ai numeri naturali. Già,
occorre anche dare loro un nome: e non possiamo usare ω perché,
come abbiamo detto, ordinalità e cardinalità sono due
concetti distinti. Il buon Cantor si era scocciato di usare sempre le
stesse lettere latine e greche e voleva qualcosa di nuovo: così
è andato a pescare dall'alfabeto ebraico e ha scelto la prima
lettera, alef, che si scrive ℵ. Ha così detto che la
cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è ℵ0,
che si legge “alef-zero”; e che tutti gli insiemi di
cardinalità ℵ0 sono detti numerabili,
perché possiamo metterci a contare gli elementi con i numeri
interi.
Qui sono iniziate le cose buffe. Mentre per i numeri ordinali
non valeva la commutatività della somma, qua non ci sono problemi: che si
metta prima un mucchio e poi un altro, o viceversa, alla fine c'è sempre
la stessa roba. Fin qua, bene. È ovvio che ω
è un insieme contabile, e ha pertanto cardinalità ℵ0.
Non credo nessuno si stupisca se affermo che ℵ0 + N,
dove N è un numero intero qualunque, fa ℵ0. In fin dei
conti, gli elementi di N rimangono annegati in mezzo agli infiniti elementi
dell'altro addendo. Quanto fa ℵ0 + ℵ0?
Prendiamo i numeri interi, e scriviamoli nell'ordine 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
È immediato vedere che abbiamo un insieme numerabile, e pertanto la somma
vale ℵ0. Con lo stesso ragionamento, si vede come
N * ℵ0 = ℵ0. Complichiamoci ancora
un poco la vita: quanto fa ℵ0 * ℵ0?
Per avere un esempio di un insieme con tutti quegli elementi, possiamo
vedere i numeri razionali, dove abbiamo infiniti valori possibili a numeratore
e infiniti a denominatore (tralasciamo per il momento il fatto che 3/4 e
6/8 sono lo stesso numero: vedremo che la cosa non è importante). Cantor
è riuscito a dimostrare che i razionali,
che sembrano essere così tanti, sono in realtà
un insieme di cardinalità ℵ0. Per vederlo,
il trucco è stato riuscire a contare i razionali positivi –
poi passare ai negativi diventa naturalmente un gioco. Così si
è messo a scriverli in una specie di tavola pitagorica
illimitata, dove le righe corrispondono al denominatore e le colonne
al numeratore della frazione, e poi ha cominciato un percorso a
zigzag: 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4 ... e così
via. Quindi possiamo scrivere che ℵ02 = ℵ0. Con un sistema simile, Cantor ha anche mostrato che i numeri
algebrici, che sono quelli che si ottengono come risultato di
un'equazione polinomiale a valori interi come 4x3+x2-7x+8=0,
hanno sempre cardinalità ℵ0. Detto in altro modo,
ℵ0N = ℵ0 per un qualunque
valore finito di N.
A questo punto ci si può chiedere se tutto questo gioco con gli
infiniti non sia uno scherzo, e in realtà ne esista uno solo.
Qui è arrivato il genio di Cantor, che ha trovato una
dimostrazione che i numeri reali, anzi quelli compresi tra 0 e 1,
sono sicuramente più di ℵ0. La
dimostrazione è per assurdo. Immaginiamo che siano numerabili:
allora li possiamo scrivere per definizione in un certo ordine. È chiaro
che non saranno in ordine crescente, ma potremmo avere ad esempio
0,96523873450345...
0,2432140000125....
0,312512411439328...
0,987312234832488...
0,15037320000000....
0,14159265358979...
.....
A questo punto, costruiamo un numero in questo modo:
Prendendo la nostra successione di numeri, abbiamo
0,96523873450345...
0,2432140000125....
0,312512411439328...
0,987312234832488...
0,15037320000000....
0,14159265358979...
.....
e costruiamo il numero 0,388838.... Visto che abbiamo detto che
abbiamo messo tutti i numeri nella nostra lista, vediamo dove sta questo qua.
Non può essere il primo, perché la prima cifra dopo la virgola è diversa. Non
può essere il secondo, perché la seconda cifra dopo la virgola è diversa. Non
può essere il terzo... Ehi, non possiamo trovarlo! Ma allora la nostra ipotesi
è falsa, e i numeri tra 0 e 1 non sono un insieme numerabile.
Cantor è rimasto choccato da questa scoperta, che tra l'altro implica che i numeri algebrici sono “pochini”, e “quasi tutti” i numeri reali sono pertanto trascendenti. Dopo essersi ripreso, è riuscito a dimostrare che è sempre possibile trovare un numero cardinale strettamente maggiore di uno dato in partenza: basta prendere il suo “insieme delle parti”. Definire l'insieme delle parti è abbastanza semplice. Prendiamo un qualunque insieme I: per comodità mi limito a uno con tre soli elementi {A,B,C}. Per convenzione gli elementi di un insieme stanno tra le graffe. Adesso costruiamo “un insieme di insiemi”, prendendo tutti i possibili sottoinsiemi come elementi del nuovo insieme. Abbiamo nel nostro caso otto possibilità: {A,B,C}, {A,B}, {A,C}, {B,C}, {A}, {B}, {C}, e {} che è l'insieme vuoto. L'insieme che contiene gli otto elementi qui sopra è l'insieme delle parti di I, che si indica come P(I). Se I è un insieme finito, è facile vedere che il numero di elementi di P(I) è pari a due elevato al numero di elementi di I: per convenzione si dice anche per gli insiemi infiniti che #(P(I)) = 2#(I).
Restava ancora un punticino da dimostrare per completare questa teoria.
È facile vedere che la cardinalità dei numeri reali è
2ℵ0. Questo è il numero transfinito
immediatamente successivo ad ℵ0, oppure ce ne stanno uno
(o più) in mezzo? Questa viene chiamata ipotesi del continuo (per la
precisione, è l'ipotesi debole: quella “forte” dice che per un
qualunque transfinito ℵk, quello immediatamente successivo
è ℵk+1.
Negli anni '30 Kurt Gödel è riuscito a dimostrare che l'ipotesi del continuo è
“compatibile” con gli altri assiomi alla base dell'aritmetica che usiamo.
Per dirla in altro modo, se vogliamo accettarla non cadremo in
contraddizione. Tutto bene? Per nulla. Nel 1963 Paul Cohen ha dimostrato che
negare l'ipotesi del continuo è compatibile con gli altri assiomi.
Possiamo quindi supporre che sia falsa, e non succede nulla di male. Troviamo
così nell'aritmetica l'equivalente delle geometrie non euclidee: non abbiamo
più un modo per dire “questo è sicuramente vero”. Anzi la cosa è persino
peggiore, perché è stato dimostrato che ci sono... infinite scelte possibili
per definire la successione dei numeri transfiniti. La più divertente, almeno
a mio parere, è quella che postula l'esistenza di cardinali
inaccessibili, che non sono degli alti prelati che non ricevono i fedeli,
bensì dei numeri che non possono essere raggiunti andando avanti a partire da
quelli più piccoli. Esistono? non esistono? Di nuovo, possiamo scegliere di
fare matematica in entrambi i casi senza trovare delle contraddizioni.
A parte il problema di non avere un modo per scegliere in maniera “naturale” quale tipo di infiniti si ha, si direbbe che finalmente siamo riusciti ad avere una definizione di infinito a prova di paradossi.... Per nulla. I paradossi di oggi sono diversi da quelli degli antichi greci, ma non per questo meno difficili da accettare.
Inizio patriotticamente dalla curva di Peano. Giuseppe
Peano è stato un matematico cuneese tra i personaggi di spicco della scena
mondiale tra il diciannovesimo e il ventesimo secolo. La curva che prende il
suo nome nasce dai suoi tentativi di definire la differenza tra una curva e
una superficie. Intuitivamente la cosa sembra chiara: un punto di una linea
ha solo i vicini sui due lati, mentre un punto in una superficie ce li ha
tutto intorno. Che si è messo a fare allora Peano? Ha definito quello che
oggi chiamiamo un algoritmo ricorsivo. Per meglio dire, ha preso un
quadrato e l'ha diviso in quattro parti, disegnando una spezzata che unisce i
centri dei quadratini; e questo l'ha chiamato Passo Uno, perché il Passo Zero
era il quadrato iniziale. Poi ha diviso ogni quadratino in quattro parti, ha
disegnato quattro spezzate come quella iniziale, e le ha unite per avere
un'unica linea. Questo è il Passo Due. Nel Passo Tre, i sedici quadratini
sono divisi in quattro, ... e si va avanti così per un numero infinito
(numerabile!) di volte. Alla fine avremo una “curva” che occupa
tutto il quadrato iniziale, epperò è indubbiamente una curva. Chi ama la
scultura, può andare a Cuneo e vedere il monumento a Peano, che raffigura se
non ricordo male il Passo Quattro della curva.
Ma si può fare di meglio, sempre sfruttando un procedimento ricorsivo. Si può
ad esempio partire da un triangolo equilatero al Passo Zero; al Passo Uno si
divide in tre ogni lato, si disegna un triangolo equilatero rivolto verso l'esterno
che abbia come lato la parte centrale, e si cancella quest'ultima, ottenendo
una figura a dodici lati a forma di stella di Davide. Al Passo Due si ripete
l'operazione sui dodici lati, e così via all'infinito. Quello che si ottiene
è la cosiddetta curva a fiocco di neve, o di Koch. Calcoliamo il suo
perimetro. Se il lato del triangolo iniziale misurava 1, al Passo Zero abbiamo
un perimetro di 3; al Passo Uno siamo giunti a 4; al Passo Due il valore è
16/3; ogni volta il perimetro aumenta di un fattore 4/3 e quindi tende
all'infinito. Per l'area, però, il discorso è diverso. Anche senza mettersi
a fare i conti, si vede subito che tutte le figure disegnate ai vari Passi sono iscritte nella circonferenza circoscritta al triangolo iniziale; insomma,
abbiamo una figura di perimetro infinito che ha però un'area finita. C'è
qualcosa che non torna nemmeno qui.
Per complicare ancora di più la vita,
il matematico Felix Hausdorff ha pensato bene di dare un nuovo concetto di
dimensione, proprio per riuscire a parlare di cose patologiche come la
curva a fiocco di neve. Così, una curva "normale" ha dimensione uno,
esattamente come una figura "normale" ha dimensione due. Ma il fiocco di
neve ha una dimensione intermedia, e per la precisione 4/3 (sì, il rapporto
tra la lunghezza al Passo N e quella al passo N-1. Non è un caso,
naturalmente).
Ma ci sono altre belle cose che possono capitare, sempre da premesse
che così ad occhio non hanno nulla di pericoloso. Prendiamo ad esempio
l'assioma della scelta. A sentirlo, sembra una cosa banale detta
solamente in maniera complicata. Ci sono tante formulazioni equivalenti:
eccone una relativamente semplice da scrivere senza troppe formule.
Prendiamo un insieme qualunque X, e consideriamo un nuovo insieme I
composto da tutti i sottoinsiemi non vuoti di X: insomma, quello che
sopra ho scritto come 2X, tranne che gli tolgo l'insieme vuoto
∅. Bene: per l'assioma della scelta è possibile avere una funzione
φ da I a X, tale che per ogni elemento i (che è un insieme!) di I si
abbia che φ(i) ∈ i.
Se il nostro insieme X è finito, non ci sono problemi; basta mettere in
ordine i suoi elementi, e prendere la
funzione che associ ad i il suo elemento più piccolo. Se
però prendiamo ad esempio come insieme X quello dei numeri reali, e come
i i numeri strettamente positivi, questo trucco non si può fare.
È vero che per quell'insieme possiamo scegliere ad esempio il valore 1
come risultato, ma il guaio è che dobbiamo dare in un colpo solo la regola
per tutti i sottoinsiemi dei numeri reali. Purtroppo, l'assioma
della scelta è non costruttivo, quindi ci dice che si può scegliere la
funzione, ma non ci dice come sceglierla.
Sono certo che la maggior parte di voi sta pensando che l'assioma della
scelta è una cosa talmente evidente che non sarebbe quasi nemmeno da
menzionare; né gli interesserà sapere più di tanto che i logici matematici
hanno dimostrato che è nella stessa classe dell'ipotesi del continuo.
Insomma, esso può essere vero oppure falso senza nessun problema di
creare nuove contraddizioni con il resto della matematica; se per questo,
è anche indipendente dall'ipotesi del continuo. Posso anche aggiungere
che il 95% dei matematici accettano senza problemi l'assioma della scelta,
limitandosi a dire "questo teorema richiede l'uso di AC" (Axiom of Choice,
mica volete scriverlo sempre per intero?) Non è un caso che questo sia
chiamato "assioma" e non "ipotesi", come quella del continuo.
Però c'è un simpatico teorema, chiamato il Paradosso di Banach-Tarski,
che dice "Prendiamo una sfera. È allora possibile dividerla in un numero
finito di parti in modo che sia possibile ruotarle e traslarle e ricavare
due sfere identiche a quella di partenza". Tra l'altro, occorrono
solo cinque parti, e una di queste è il punto centrale della
sfera di partenza. Se si vuole vedere la cosa in un altro modo, si può
togliere parte della sfera, spostare quello rimasto e ritornare alla
sfera iniziale, proprio come in un gioco di prestigio. Da un certo punto di vista, il paradosso non è così strano: proprio come i
punti di due segmenti di diversa lunghezza possono essere messi in
corrispondenza a uno a uno, così le due sfere hanno "lo stesso numero
di punti" di quella iniziale. La dimostrazione non è ovviamente costruttiva,
né si può "fare un disegno" di come sono fatti questi pezzi: è tutta
una questione di fede, possiamo dire.
Anche se la pubblicazione del paradosso risale al 1924, già da un paio di
decenni c'era un gruppetto di matematici, il più famoso dei quali è l'olandese
L.E.J. Brouwer, che partiva dal principio che una dimostrazione matematica
non poteva essere considerata valida se era fatta per assurdo, cioè applicava
il principio del terzo escluso che pure arriva dai tempi di Aristotele.
Applicato alla matematica, si parla di costruttivismo: per dimostrare
che esiste un ente, bisogna appunto costruirlo. In questo modo, il paradosso
di Banach-Tarski non esiste più, proprio perché non è possibile definire
esplicitamente quali sono i punti che appartengono ai singoli pezzi della
sfera iniziale che verranno spostati per costruire le due nuove sfere.
Il rovescio della medaglia è che il numero di teoremi che si possono
dimostrare si riduce moltissimo: ecco perché sono molto pochi i matematici
che ad esempio rifiutano di usare l'assioma della scelta nei teoremi che
dimostrano. Che gusto c'è, se non si possono dimostrare tante cose nuove?
Penso sia chiaro che parlare di infinito ci porta inevitabilmente
su un terreno molto scivoloso. Non solo la nostra intuizione non ci
aiuta, ma a volte ci fa viaggiare per la tangente... Credo però
che mettersi a vagare tra questi concetti possa essere divertente.
Hilbert ha forse esagerato quando disse: “Nessuno ci scaccerà
dal paradiso che Cantor ha creato per noi”, ma
Per chi
volesse saperne di più, lascio una rapida bibliografia,
contenente sia libri che documentazione recuperabile in Rete.