«Le serie divergenti sono opera del diavolo.»

«Insomma, il teorema di Gödel stabilisce l'impossibilità di garantire la non contradditorietà della matematica restando all'interno della matematica stessa. Sembra un paradosso, ma la forza della matematica che doveva consistere nella sua capacità di dimostrare ogni affermazione logicamente, giunge ora a dimostrare semplicemente la propria incapacità a dimostrare. Un'atmosfera da tragedia, con Gödel nel ruolo di Euripide.»

«La crisi della matematica ha il senso del crollo di quelle colonne che annunciano "muoia Sansone e tutti i filistei". Una sensazione che dovrebbe metterci come attorno al fuoco di un caminetto acceso, la sera, per riposarsi dal viaggio e meditare sul bisogno di sapere e sulla impressione, dopo aver visto tante cose, di non aver trovato ciò che si cerca. Io mi sento come chi ha visitato una vasta area archeologica, ha immaginato una grandezza passata ridotta adesso a sole macerie.»

«E ora possiamo risolvere il problema senza alcuna matematica: solo teoria dei gruppi.»

«[Su di lui:] Docile a casa e dominante tra i colleghi, gioioso nella matematica e dannatamente serio nelle liti tra matematici, è stato quanto di più vicino a una reincarnazione di Alcibiade la Germania del diciannovesimo secolo potesse produrre: non solo nella sua entusiastica energia e nell'osare estremo, ma anche nel modo feroce di combattere quando veniva messo in un angolo –Alcibiade dai frigi, Cantor dalle idee.»

«Per un'argomentazione logica completa - cominciò Arthur con ammirevole solennità - ci vogliono due promesse...»

«Una delusione - disse Arthur.»

«Sìiii? - disse lei dubbiosa - Questa non mi pare di ricordarla bene. Ma come si chiama tutta l'argomentazione?»

«Uno scioccologismo.»

«Ah, sì! Ricordo adesso. Ma non mi serve uno scioccologismo, sapete, per dimostrare l'assioma matematico da voi menzionato.»

«Né per dimostrare che «tutti gli angoli sono uguali», suppongo...»

«Certo che no! Una verità così semplice la si dà per scontata!»

«È difficile dare un'idea della vasta estensione della matematica moderna.»

«Non c'è probabilmente nessun'altra scienza che presenti un aspetto così differente per i suoi cultori e chi non la coltiva quanto la matematica. Per questi ultimi è antica, venerabile e completa; un corpus di ragionamenti asciutti, irrefutabili, senza ambiguità. Per il matematico, d'altro canto, la scienza è ancora nella piena fioritura della sua vigorosa giovinezza.»

«La questione dell'infinito ha portato la matematica sull'orlo dell'incertezza.»

«Il motto che adotterei contro un percorso studiato per fermare il progresso delle scoperte sarebbe "ricordatevi di √(-1)"»

«Dall'età dell'antica Grecia fino al XIX secolo inoltrato, matematici e filosofi - per non dire della miriade di dilettanti appassionati - hanno pensato che la quadratura del cerchio fosse un problema difficile, ma non impossibile. Molti, in effetti, hanno supposto che i matematici avessero manifestato una specifica patologia. I sintomi principali di questa malattia, chiamata morbus cyclometricus, sono l'offuscamento della vista, l'insonnia, numerose punzecchiature (causate dallo scivolamento del compasso) e, naturalmente, cerchi sotto gli occhi. Non è nota alcuna cura.»

«La principale attività della ricerca matematica è la caccia a nuovi teoremi.»

«Se mai sentiste il bisogno di esagerare in un'affermazione, potreste sempre dire: "La spesa pubblica cresce più velocemente della funzione di Ackermann".»

«Per il mero interesse umano, non puoi battere i quiz televisivi per investigare la matematica delle decisioni.»

«Perché una malattia diventi un'epidemia, il fattore di diffusione deve essere maggiore di 1. Se il fattore può essere mantenuto sotto di 1 - cioè se si può essere certi che ogni portatore in media contagi meno di un'altra persona durante il periodo in cui è infetto - allora l'epidemia si estinguerà. Questo rende probabilmente "1" il singolo numero piu importante nella storia dell'epidemiologia.»

«La matematica delle equazioni differenziali è sicuramente non banale, e c'è un forte rischio che un'ulteriore discussione sull'argomento porti rapidamente a una serie di occhi vitrei.»

«La distanza di Mahalanobis si basa sui principi che sono appena stati discussi, ma viene calcolata utilizzando un insieme di vettori e matrici così intimidatorio che confonderebbe solamente le cose se lo mostrassimo qua.»

Secondo la nostra esperienza fino a oggi, abbiamo il diritto di essere convinti che la Natura è la realizzazione di tutto ciò che si può immaginare di più matematicamente semplice. Sono persuaso che la costruzione puramente matematica ci permette di scoprire questi concetti che ci danno la chiave per comprendere i fenomeni naturali e i principi che li legano fra loro. I concetti matematici utilizzabili possono essere suggeriti dall'esperienza, ma mai esserne dedotti in nessun caso. L'esperienza resta naturalmente l'unico criterio per utilizzare una costruzione matematica per la fisica; ma è nella matematica che si trova il principio veramente creatore.

Il matematico sbircia dietro le spalle di Dio per trasmettere la bellezza della Sua creazione al resto delle Sue creature.

[i numeri come la radice quadrata di meno uno] «non sono né nulla, né qualcosa meno di nulla, il che li rende necessariamente immaginari, o impossibili.»

«La vera ciambella tradizionale ha la topologia di una sfera. È questione di gusti considerarla con le superfici interna ed esterna separata. Quello che è importante è che lo spazio interno deve essere riempito con della buona marmellata di lamponi. Anche questa è una questione di gusti.»

«In pratica, [la cuoca Ernestina] manteneva costante la loro attenzione in veste di consulenti della qualità del fritto misto, giocando con la combinazione del matematico Celestino Sbrogliacci applicata al servizio in tavola: ogni nuova portata successiva alle prime due doveva consistere in un numero di pezzi che era la somma dei due numeri che la precedevano.»

«Per semplificare ai poco avvezzi alle combinazioni numeriche: una bistecchina di tacchino più un amaretto più due cavolfiori, più tre costolettine d'agnello, più cinque costolettine di vitello, più otto pezzi di cervella, più tredici funghi, più ventuno pezzi di salsiccia...»

«Oltre ai poligoni usuali, ce n'è una collezione di altri che sono costruibili geometricamente, ad esempio il 17-gono. Questa scoperta è propriamente un semplice corollario di una scoperta più generale non ancora del tutto completata, che verrà presentata al pubblico non appena terminata.»

Il problema di distinguere i numeri primi dai numeri composti e di risolvere questi ultimi nei loro fattori primi è noto per essere uno dei più importanti e utili nell'aritmetica [...] La dignità della scienza stessa sembra richiedere che ogni strada possibile sia esplorata per la soluzione di un problema così elegante e così celebrato.

«Quale uso possono avere queste soluzioni impossibili [i numeri immaginari]? Io rispondo: triplice - per la certezza della regola generale, per la loro utilità, e perché non ci sono altre soluzioni a certe equazioni.»

«La parte più importante di una qualunque vita che valga qualcosa è la soluzione di problemi.»

«L'algebrista si lamenta dell'imperfezione, quando il suo linguaggio gli presenta un'anomalia; quando trova un'eccezione che disturba la semplicità della sua notazione, o la struttura simmetrica della sua sintassi; quando una formula deve essere scritta con precauzione, e un simbolismo non è universale.»

«La matematica promette certezza - ma si direbbe al prezzo della passione.»

«Certamente zero e i numeri negativi hanno tutti i segni dell'artificio umano: destrezza, ambiguità, understatement.»

«Il segreto di tutta l'invenzione matematica è guardare da un angolo inusuale.»

«Gli scienziati dopo morti tendono a diventare nomi di parti della luna o dei pianeti; i matematici invece server di posta elettronica.»

«Le lingue si confusero mentre la torre di Babele cresceva - forse perché la base nella varietà del linguaggio comune era troppo ampia. La torre della matematica è invertita, ampliandosi verso l'alto e l'esterno a partire da pochi assiomi. Essi unificano una diversità sempre più grande.»

«La matematica è l'unico grattacielo del pensiero che si solleva sopra la mera opinione per esprimere certezza.»

«La matematica sembra sempre insegnarci due cose: non c'è limite all'ingegnosità della mente umana, e ci sono ancora meno limiti all'intransigenza del mondo.»

«Il piano proiettivo, dopo tutto, non è un tipo di spazio. È una struttura, un insieme di relazioni che se vogliamo possiamo incorporare nello spazio – ma non è più nativo dello spazio che un'anima che trasmigra verso il corpo di una particolare creatura.»

«Non solo la matematica è più strana di quanto immaginiamo; ma è anche più strana di quanto possiamo immaginare.»

«Se lo spazio è stato creato per nutrire l'immaginazione dei geometri, il contare è stato creato per nutrire quella di Cantor.»

«Quando un matematico sta guardando un libro, non sta facendo matematica; quando sta guardando il soffitto, sì.»

«Uno dei trucchi del mestiere della matematica è aggiungere zero a un'espressione nel formato conveniente di quello-che-vogliamo più il suo opposto.»

«La lunga frontiera della matematica si estende come l'impero Romano, attraverso un ignoto senza forma. La Foresta Teutonica potrebbe essere giusto dietro l'orizzonte.»

«Una frase come "Vediamo subito che..." è fin troppo ben nota tra i matematici, come le sue compagne in infamia "È ovvio che..." ed "Ora, chiaramente, ..."; vogliono dire che il lettore si deve aspettare ore o giorni di fatica da spaccarsi la testa per illuminare l'oscurità - e scoprire magari alla fine che chi le ha scritte non si ricorda nemmeno più perché fosse ovvio.»

«Il matematico è ancora considerato come l'eremita che conosce ben poco di com'è la vita al di fuori della sua cella, che spende il suo tempo componendo teorie incredibili e incomprensibili in un gergo strano, mugugnato e inintelligibile.»

«La scienza, e in particolare la matematica, pur sembrando meno pratica e meno reale delle notizie delle ultime trasmissioni radiofoniche si direbbe che stia costruendo l'unico edificio permanente e stabile in un tempo in cui tutti gli altri o stanno crollando o vengono fatti a pezzi.»

«Una caratteristica peculiare della matematica è che non usa tutti quei nomi lunghi e difficili delle altre scienze. Anzi, è più conservatrice delle altre scienze, visto che si avvinghia tenacemente ai vecchi termini.»

«Purtroppo, non appena la gente parla di numeri enormi, sembra impazzire. Sembra che abbiano l'impressione che visto che zero equivale a nulla, essi possano aggiungere un numero a piacere di zeri a un numero senza alcuna conseguenza pratica.»

[sul Googolplex] «Qualcuno potrebbe non credere che un numero così grande possa davvero avere una qualunque applicazione; ma chi pensa così non può certo essere un matematico.»

«Troppo spesso il rigore matematico serve solo a portare un altro tipo di rigore - il rigor mortis della creatività matematica.»

«La matematica si rafforza quando si imbatte nelle assurdità.»

«Il matematico è il sarto per l'alta borghesia della scienza. Crea i vestiti, e chiunque ci stia dentro può indossarli. Detto in altro modo, il matematico fa le regole del gioco; chiunque può giocarci, finché rispetta le regole. Non ha senso nel lamentarsi in seguito che il gioco non ha dato profitti.»

«Probabilità è un mero eufemismo per ignoranza.»

«È l'integrale definito che gli ingegneri strutturali devono ringraziare per il Golden Gate, perché il ponte si basa su di esso più ancora che su cemento e acciaio.»

«Le curve trattate dall'analisi matematica sono normali e in salute: non posseggono alcuna idiosincrasia. Ma i matematici non sarebbero felici se avessero solo configurazioni semplici e robuste. Oltre ad esse, la loro curiosità si estende a pazienti patologici, ciascuno dei quali ha una sua propria storia diversa da tutti gli altri; queste sono le curve patologiche della matematica.»

«Nella matematica abbiamo un linguaggio universale, valido, utile, comprensibile in ogni luogo e tempo.»

«Nel loro prosaico arrancare, matematica e logica spesso sorpassano la loro avanguardia e mostrano che il mondo della pura ragione è spesso più strano di quello della pura fantasia»

«La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro, la divisione di un segmento secondo la proporzione armonica. Possiamo comparare il primo a una quantità d'oro, e il secondo a un gioiello prezioso.»

La geometria proiettiva: un dominio senza limiti di innumerevoli campi dove reali e immaginari, finiti e infiniti, entrano in piena parità, dove lo spirito si diletta nell'equilibrio artistico e nella simmetrica reciprocità di una sorta di contrappunto concettuale e logico - un reame incantato dove il pensiero si sdoppia e scorre ovunque in flussi paralleli.

«Chiunque comprenda la materia sarà d'accordo che persino le basi su cui la spiegazione scientifica della natura si basa sono comprensibili solo a coloro che hanno appreso almeno gli elementi fondamentali del calcolo differenziale e integrale.»

«Un istante di assopimento e i vecchi errori sono propagati, e altri nuovi sono introdotti.»

«Io direi questo: i matematici sono come uomini che costruiscono case. Non è soltanto piacevole vivere nelle case, esse consentono ai loro inquilini di fare molte cose che un abitante delle caverne non potrebbe mai realizzare. I matematici sono come uomini che costruiscono, sebbene non possano essere certi che un terremoto non distruggerà i loro edifici. Se un terremoto dovesse distruggere il loro lavoro, nuove costruzioni saranno edificate, e possibilmente più resistenti. Ma gli uomini non decideranno mai di smettere di costruire case, anche perché nemmeno vivere nelle caverne può dare una garanzia di assoluta salvaguardia dagli effetti di un terremoto. I matematici mi sembrano essere nella stessa situazione. La matematica non è soltanto un piacere in se stessa, ma è utile in molteplici importanti applicazioni. I suoi diversi edifici non sono al sicuro dal terremoto della contraddizione. Ma gli uomini non cesseranno per questo di migliorarli e di innalzarne di nuovi.»

«Tutti gli eventi umani si basano sulle probabilità, e la stessa cosa vale ovunque.»

«A volte la logica crea mostri.»

«"La géométrie est l'art de bien raisonner sur des figures mal faites." — la geometria è l'arte di ragionare correttamente sopra figure mal disegnate.»

«"La logistique n'est plus stérile : elle engendre la contradiction." — "La logica non è più sterile: ha generato la contraddizione." »

«In matematica c'è un vivo senso di realizzazione e finalità che deriva da un risultato provato in maniera pulita, che è praticamente unico tra le iniziative intellettuali.»

«Gli strumenti del mestiere del matematico sono carta e penna: come conseguenza, nessun matematico se li porta con sé, e devono sempre farsi prestare una penna e scrivere su un tovagliolo.»

«Per vedere perché la matematica è divertente, bisogna trovare la prospettiva giusta. Dovete smettere di essere intimiditida simboli e gergo, e concentrarvi sulle idee; dovete pensare alla matematica come un amico, non un nemico. Non dico che la matematica sia sempre un divertimento gioioso; ma dovreste essere in grado di godervela, a qualunque livello operiate.»

«Con una passeggiata casuale su una griglia quadrata, si ha ancora probabilità 1 di ritornare al punto di partenza; ma in tre dimensioni la probabilità è circa 0.35. Un ubriaco perso in un deserto raggiungerà prima o poi l'oasi; ma un astronauta inebriato ha più o meno una possibilità su tre di tornare a casa. Forse avrebbero dovuto farlo presente a E.T.»

«Molte persone hanno trovato la poesia in una bottiglia di vino. Non molta matematica, però: hai bisogno di mantenere la testa sgombra.»

«Lo scopo della "matematica moderna" è di incoraggiare la comprensione della matematica, piuttosto che la cieca manipolazione di simboli. Il vero matematico non è un giocoliere con i numeri, ma un giocoliere con i concetti.»

«La matematica non è una materia facile - nessuna materia che valga qualcosa lo è - ma è una materia gratificante. È una parte della nostra cultura, e nessuna persona può dirsi davvero istruita senza avere un'idea di cosa sia e cosa faccia. È soprattutto una materia umana, con i suoi trionfi e disastri, frustrazioni e intuizioni.»

«La forza della matematica sta precisamente nella combinazione di intuizione e rigore. Genialità controllata, logica ispirata.»

«A un qualunque livello della matematica, la personale definizione di "logicamente rigoroso" tende a ridursi a "mi convince", anche se naturalmente nel caso di un logico matematico è una convinzione bella lunga!»

«In matematica è troppo facile concentrarsi troppo su un problema specifico. Se i nostri metodi non sono abbastanza validi per maneggiare il problema, prima a poi ci ferma stridendo, confusi e sconfitti. Spesso la chiave per un ulteriore progresso è di fare un passo indietro, dimenticarsi del problema speciale, e vedere se si può notare qualche caratteristica generale dell'area circostante che ci possa essere utile.»

«Facendo divorziare la matematica dalle sue applicazioni, si può sviluppare la matematica senza alcuno scrupolo logico: in seguito, può essere testata sperimentalmente per vedere se si adatta ai fatti.»

«La matematica è un tutto armonico: tranne che l'armonia è incompleta, perché ci sono sempre buchi nella nostra conoscenza e cenni vagamente compresi di nuove correlazioni.»

«Gauss chiamò la matematica la regina delle scienze. Io preferisco pensarla come un imperatore. E anche se si potrà prima o poi scoprire che l'imperatore è nudo, sarà comunque vestito meglio dei suoi cortigiani.»

«Brindley, l'ingegnere, una volta disse che i fiumi erano stati creati per rifornire i canali navigabili; io sono quasi tentato di dire che lo spazio è stato creato per rifornire l'invenzione matematica.»

«Che favoloso metodo per risparmiare fatica! Per me, "134 diviso 29" significava un lavoraccio tedioso, mentre 134/29 era un oggetto senza lavoro implicito. Andai eccitato da mio padre a spiegare la mia grande scoperta; lui mi disse che naturalmente era così, che a/b e a:b sono semplicemente dei sinonimi. Per lui era semplicemente una piccola variazione di notazione.»

«’Multitudo non est aliud quam aggregatio unitatum’ - un insieme non è altro che un aggregato di unità distinte.»

«L'aritmetica è essere capaci a contare fino a venti senza togliersi le scarpe.»

«Cantor cominciò a scrivere, senza un attimo di tregua, gli articoli che lo avrebbero reso famoso. Si sedeva a lavorare fino al tramonto, ispirato da una voce che - ne era sicuro - non era solo sua. Come gli antichi scribi, tracciava l'incommensurabile sui fogli con la stessa convinzione e la stessa fede con la quale recitava le sue preghiere mattutine. Grazie alla sua nuova teoria degl insiemi, ispirata dalle idee di Dedekind, Cantor era adesso in grado di iniziare il suo avvicinamento all'illimitato. Dopo avere sommato e sottratto insiemi, dopo averli trattati come astrazioni indipendenti dalla realtà e averli adeguati all'analisi aritmetica tradizionale, dopo averli sbattuti da ogni parte e avere insufflato loro la vita come se fossero sue creature, Cantor si trovò in un vicolo cieco: era una specie di malattia o di sconvolgimento che avrebbe potuto condurlo alla follia. Questa anomalia, questo sintomo di pazzia inscritto nella matematica, si rivelò quando si rese conto che l'infinito poteva essere misurato.»

«Avevo l'impressione che stessimo seguendo un copione predeterminato, ma questo non eliminava l'incanto che mi procurava il parlare di matematica con una donna nuda.»

«[rispondendo a Thomas Hobbes, che si lamentava di una pagina "così coperta da croste di simboli che non ho avuto la pazienza di esaminare se è bene o male dimostrata"] Non sarebbe legale per me scrivere Simboli, fino a quando voi non li possiate comprendere? Signore, essi non sono stati scritti perché li legga lei, ma per quelli che sono in grado di farlo.»